A la limite du supportable ! - Exercice 1

La limite proposée est une forme indéterminée du type $$\dfrac{0}{0}$$.
La fonction du numérateur $$x \longmapsto 1 - \cos(x)$$ est dérivable, donc continue, sur $$\mathbb{R}$$. Il en est de même pour la fonction du dénominateur $$x \longmapsto (1 - e^x)^2$$. En outre cette dernière fonction ne s'annule jamais sur $$\mathbb{R}$$. De plus, on a :
$$\bullet \,\, \left( 1-\cos(x) \right)' = \sin(x) \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \left( 1-\cos(x) \right)'_{x=0} = \sin(0) = 0$$
$$\bullet \bullet \,\, \left( (1 - e^x)^2 \right)' = -2(1 - e^x)e^x \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \left( (1 - e^x)^2 \right)'_{x=0} = -2(1 - e^0)e^0 = 0$$
Donc, la limite $$\lim_{x \, \longrightarrow \, 0} \dfrac{\left(1 - \cos(x)\right)'}{\left((1 - e^x)^2\right)'}$$ est encore une forme indéterminée du type $$\dfrac{0}{0}$$. Nous allons donc réitérer la procédure. On a alors :
$$\bullet \,\, \left( 1-\cos(x) \right)'' = \left(\sin(x)\right)' = \cos(x) \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \left( 1-\cos(x) \right)''_{x=0} = \cos(0) = 1$$
$$\bullet \bullet \,\, \left( (1 - e^x)^2 \right)'' = \left(-2(1 - e^x)e^x\right)' = -2\left(e^x -2e^{2x} \right) \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \left( (1 - e^x)^2 \right)-'_{x=0} = -2\left(e^0 -2e^{0} \right) = 2 \neq 0$$
La fonction dérivée seconde $$x \longmapsto -2\left(e^x -2e^{2x} \right)$$ s'annulle vers $$x = - \ln(2)\simeq -0,7$$, et est donc positive au voisinage très proche de $$x \simeq 0$$ lorsque $$x \, \longrightarrow \, 0$$.
On en déduit donc que :
$$\lim_{x \, \longrightarrow \, 0} \dfrac{\left(1 - \cos(x)\right)''}{\left((1 - e^x)^2\right)''} = \dfrac{1}{2} \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \lim_{x \, \longrightarrow \, 0} \dfrac{\left(1 - \cos(x)\right)'}{\left((1 - e^x)^2\right)'} = \dfrac{1}{2} \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \lim_{x \, \longrightarrow \, 0} \dfrac{1 - \cos(x)}{(1 - e^x)^2} = \dfrac{1}{2}$$
De fait, on peut finalement écrire que :
$${\color{red}{\boxed{\lim_{x \, \longrightarrow \, 0} \dfrac{1 - \cos(x)}{(1 - e^x)^2} = \dfrac{1}{2} }}}$$

On constate que cette limite se présente sous la forme d'une forme indéterminée du type $$\dfrac{0}{0}$$.
Puis, sur l'intervalle $$[-1\,;\,1]$$ la fonction se trouvant au numérateur $$x \longmapsto x(\cos(x)-1) + \tan(x) - \sin(x)$$ est dérivable, donc continue, et comme $$0 \in [-1\,;\,1]$$ on a :
$$\left(x(\cos(x)-1) + \tan(x) - \sin(x)\right)' = \dfrac{1}{\cos^2(x)}-x\sin(x)-1$$
Ce qui implique que :
$$\left(x(\cos(x)-1) + \tan(x) - \sin(x)\right)'_{x = 0} = 0$$
Puis, sur l'intervalle $$[-1\,;\,1]$$, la fonction se trouvant au dénominateur $$x \longmapsto x^2\sin(x) + \tan(x) - x$$ est dérivable, donc continue, et comme $$0 \in [-1\,;\,1]$$ on a :
$$\left( x^2\sin(x) + \tan(x) - x \right)' = 2x\sin(x) + x^2\cos(x) + \dfrac{1}{\cos^2(x)}-1$$
Ce qui implique que :
$$\left(x^2\sin(x) + \tan(x) - x\right)'_{x = 0} = 0$$
Et on constate alors que la limite $$\lim_{x \, \longrightarrow \, 0} \dfrac{\left(x(\cos(x)-1) + \tan(x) - \sin(x)\right)'}{\left(x^2\sin(x) + \tan(x) - x\right)'}$$ est également une forme indéterminée du type $$\dfrac{0}{0}$$. On va donc réitérer la procédure.
Sur l'intervalle $$[-1\,;\,1]$$ la fonction se trouvant au numérateur $$x \longmapsto x(\cos(x)-1) + \tan(x) - \sin(x)$$ est deux fois dérivable, donc continue, et comme $$0 \in [-1\,;\,1]$$ on a :
$$\left(x(\cos(x)-1) + \tan(x) - \sin(x)\right)'' = 2\dfrac{\sin(x)}{\cos^3(x)}-\sin(x)-x\cos(x)$$
Ce qui implique que :
$$\left(x(\cos(x)-1) + \tan(x) - \sin(x)\right)''_{x = 0} = 2\dfrac{\sin(0)}{\cos^3(0)}-\sin(0)-0\cos(0)= 0$$
Puis, sur l'intervalle $$[-1\,;\,1]$$, la fonction se trouvant au dénominateur $$x \longmapsto x^2\sin(x) + \tan(x) - x$$ est deux fois dérivable, donc continue, et comme $$0 \in [-1\,;\,1]$$ on a :
$$\left( x^2\sin(x) + \tan(x) - x \right)'' = 2\sin(x) + 4x\cos(x) + 2\dfrac{\sin(x)}{\cos^3(x)}-x^2\sin(x)$$
Ce qui implique que :
$$\left(x^2\sin(x) + \tan(x) - x\right)''_{x = 0} = 0$$
Et on constate alors que la limite $$\lim_{x \, \longrightarrow \, 0} \dfrac{\left(x(\cos(x)-1) + \tan(x) - \sin(x)\right)''}{\left(x^2\sin(x) + \tan(x) - x\right)''}$$ est à nouveau une forme indéterminée du type $$\dfrac{0}{0}$$. On va donc réitérer une nouvelle fois la procédure.
Sur l'intervalle $$[-1\,;\,1]$$ la fonction se trouvant au numérateur $$x \longmapsto x(\cos(x)-1) + \tan(x) - \sin(x)$$ est trois fois dérivable, donc continue, et comme $$0 \in [-1\,;\,1]$$ on a :
$$\left(x(\cos(x)-1) + \tan(x) - \sin(x)\right)''' = 4\dfrac{\sin^2(x)}{\cos^4(x)}+x\sin(x) + \dfrac{2}{\cos^4(x)} - 2\cos(x)$$
Ce qui implique que :
$$\left(x(\cos(x)-1) + \tan(x) - \sin(x)\right)'''_{x = 0} = 4\dfrac{\sin^2(0)}{\cos^4(0)}+0\sin(0) + \dfrac{2}{\cos^4(0)} - 2 \cos(0) = 2 - 2 = 0$$
Puis, sur l'intervalle $$[-1\,;\,1]$$, la fonction se trouvant au dénominateur $$x \longmapsto x^2\sin(x) + \tan(x) - x$$ est deux fois dérivable, donc continue, et comme $$0 \in [-1\,;\,1]$$ on a :
$$\left( x^2\sin(x) + \tan(x) - x \right)''' = \dfrac{2}{\cos^4(x)} - 6x\sin(x) + 4\dfrac{\sin^2(x)}{\cos^4(x)}-x^2\cos(x) + 6 \cos(x)$$
Ce qui implique que :
$$\left(x^2\sin(x) + \tan(x) - x\right)'''_{x = 0} = \dfrac{2}{\cos^4(0)} - 6\times 0\sin(0) + 4\dfrac{\sin^2(0)}{\cos^4(0)}-0^2\cos(0) + 6 \cos(0) = 2 + 6 = 8 \neq 0$$
Et on constate alors que la limite $$\lim_{x \, \longrightarrow \, 0} \dfrac{\left(x(\cos(x)-1) + \tan(x) - \sin(x)\right)'''}{\left(x^2\sin(x) + \tan(x) - x\right)'''}$$ existe bien. Et on a :
$$\lim_{x \, \longrightarrow \, 0} \dfrac{\left(x(\cos(x)-1) + \tan(x) - \sin(x)\right)'''}{\left(x^2\sin(x) + \tan(x) - x\right)'''} = \dfrac{0}{8} = 0$$
On en déduit alors que :
$$\lim_{x \, \longrightarrow \, 0} \dfrac{\left(x(\cos(x)-1) + \tan(x) - \sin(x)\right)'''}{\left(x^2\sin(x) + \tan(x) - x\right)'''} = 0 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \lim_{x \, \longrightarrow \, 0} \dfrac{\left(x(\cos(x)-1) + \tan(x) - \sin(x)\right)''}{\left(x^2\sin(x) + \tan(x) - x\right)''} = 0$$
Puis :
$$\lim_{x \, \longrightarrow \, 0} \dfrac{\left(x(\cos(x)-1) + \tan(x) - \sin(x)\right)''}{\left(x^2\sin(x) + \tan(x) - x\right)''} = 0 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \lim_{x \, \longrightarrow \, 0} \dfrac{\left(x(\cos(x)-1) + \tan(x) - \sin(x)\right)'}{\left(x^2\sin(x) + \tan(x) - x\right)'} = 0$$
Et donc :
$$\lim_{x \, \longrightarrow \, 0} \dfrac{\left(x(\cos(x)-1) + \tan(x) - \sin(x)\right)'}{\left(x^2\sin(x) + \tan(x) - x\right)'} = 0 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \lim_{x \, \longrightarrow \, 0} \dfrac{x(\cos(x)-1) + \tan(x) - \sin(x)}{x^2\sin(x) + \tan(x) - x} = 0$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{ \lim_{x \, \longrightarrow \, 0} \dfrac{x(\cos(x)-1) + \tan(x) - \sin(x)}{x^2\sin(x) + \tan(x) - x} = 0 }}}$$
Dans ce cas précis, pour la fonction $$F : x \longmapsto F(x) =\dfrac{x(\cos(x)-1) + \tan(x) - \sin(x)}{x^2\sin(x) + \tan(x) - x}$$ un prolongement par continuité est possible à l'origine en imposant la condition $$F(x=0) = 0$$. Graphiquement, sur l'intervalle $$[-1\,;\,1]$$, on vérifie ceci avec la représentation graphique de $$F$$ :

La fonction $$x \longmapsto a^x - b^x$$ est dérivable, donc continue sur $$\mathbb{R}$$. Il en est de même pour la fonction identité $$\mathrm{Id} : x \longmapsto \mathrm{Id}(x) = x$$. Puis, on a :
$$\bullet \,\, \left( a^x - b^x \right)' = \ln(a) a^x - \ln(b) b^x \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \left( a^x - b^x \right)'_{x=0} = \ln(a) a^0 - \ln(b) b^x0 = \ln(a) - \ln(b) = \ln\left(\dfrac{a}{b}\right)$$
$$\bullet \bullet \,\, \left(x\right)' = 1 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \left(x\right)'_{x=0} = 1$$
Donc :
$$\lim_{x \, \longrightarrow \, 0} \dfrac{\left(a^x - b^x\right)'}{x'} = \dfrac{\ln\left( \dfrac{a}{b} \right)}{1} = \ln\left( \dfrac{a}{b} \right) \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \lim_{x \, \longrightarrow \, 0} \dfrac{a^x - b^x}{x} = \ln\left( \dfrac{a}{b} \right)$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{\lim_{x \, \longrightarrow \, 0} \dfrac{a^x - b^x}{x} = \ln\left( \dfrac{a}{b} \right) }}}$$

On constate que cette limite se présente sous la forme d'une forme indéterminée du type $$\dfrac{0}{0}$$.
Puis, sur l'intervalle $$\left] - \dfrac{\pi}{2a} \,;\, \dfrac{\pi}{2a} \right[$$, la fonction se trouvant au numérateur $$x \longmapsto \ln\left( \cos(ax) \right)$$ est dérivable, donc continue. Donc, sur l'intervalle $$\left] - \dfrac{\pi}{2a} \,;\, \dfrac{\pi}{2a} \right[$$, on a:
$$\left(\ln\left( \cos(ax) \right)\right)' = \dfrac{-a\sin(ax)}{\cos(ax)} = - a \tan(ax)$$
Ce qui implique que :
$$\left(\ln\left(\cos(ax)\right)\right)'_{x = 0} = - a \tan(a0) = - a \times 0 = 0$$
De même, sur l'intervalle $$\left] - \dfrac{\pi}{2b} \,;\, \dfrac{\pi}{2b} \right[$$, la fonction se trouvant au dénominateur $$x \longmapsto \ln\left( \cos(bx) \right)$$ est dérivable, donc continue. Donc, sur l'intervalle $$\left] - \dfrac{\pi}{2b} \,;\, \dfrac{\pi}{2b} \right[$$, on a:
$$\left(\ln\left( \cos(bx) \right)\right)' = \dfrac{-b\sin(bx)}{\cos(bx)} = - b \tan(bx)$$
Ce qui implique que :
$$\left(\ln\left(\cos(bx)\right)\right)'_{x = 0} = - b \tan(b0) = - b \times 0 = 0$$
Ainsi, sur l'intervalle $$\left] - \dfrac{\pi}{2a} \,;\, \dfrac{\pi}{2a} \right[ \cap \left] - \dfrac{\pi}{2b} \,;\, \dfrac{\pi}{2b} \right[$$ (et $$0$$ y appartient), la limite $$\lim_{x \, \longrightarrow \, 0} \dfrac{\left(\ln\left( \cos(ax) \right)\right)'}{\left(\ln\left( \cos(bx) \right)\right)'}$$ n'est pas définie car toujours du type $$\dfrac{0}{0}$$. On réitère donc la procédure.
Sur l'intervalle $$\left] - \dfrac{\pi}{2a} \,;\, \dfrac{\pi}{2a} \right[$$, la fonction se trouvant au numérateur $$x \longmapsto \ln\left( \cos(ax) \right)$$ est deux fois dérivable, donc continue. Donc, sur l'intervalle $$\left] - \dfrac{\pi}{2a} \,;\, \dfrac{\pi}{2a} \right[$$, on a :
$$\left(\ln\left( \cos(ax) \right)\right)'' = \left( - a \tan(ax) \right)' = -a^2 \left( 1 + \tan^2(ax) \right)$$
Ce qui implique que :
$$\left(\ln\left(\cos(ax)\right)\right)''_{x = 0} = - a^2 \left( 1 + \tan^2(a0) \right) = -a^2 \left( 1 + 0 \right) = - a^2$$
De même, sur l'intervalle $$\left] - \dfrac{\pi}{2b} \,;\, \dfrac{\pi}{2b} \right[$$, la fonction se trouvant au dénominateur $$x \longmapsto \ln\left( \cos(bx) \right)$$ est deux fois dérivable, donc continue. Donc, sur l'intervalle $$\left] - \dfrac{\pi}{2b} \,;\, \dfrac{\pi}{2b} \right[$$, on a :
$$\left(\ln\left( \cos(bx) \right)\right)'' = \left( - b \tan(bx) \right)' = -b^2 \left( 1 + \tan^2(bx) \right)$$
Ce qui implique que :
$$\left(\ln\left(\cos(ax)\right)\right)''_{x = 0} = - b^2 \left( 1 + \tan^2(a0) \right) = -b^2 \left( 1 + 0 \right) = - b^2 \neq 0$$
Ainsi, sur l'intervalle $$\left] - \dfrac{\pi}{2a} \,;\, \dfrac{\pi}{2a} \right[ \cap \left] - \dfrac{\pi}{2b} \,;\, \dfrac{\pi}{2b} \right[$$ (et $$0$$ y appartient), la limite $$\lim_{x \, \longrightarrow \, 0} \dfrac{\left(\ln\left( \cos(ax) \right)\right)''}{\left(\ln\left( \cos(bx) \right)\right)''}$$ existe. On a donc :
$$\lim_{x \, \longrightarrow \, 0} \dfrac{\left(\ln\left( \cos(ax) \right)\right)''}{\left(\ln\left( \cos(bx) \right)\right)''} = \dfrac{-a^2}{-b^2} = \dfrac{a^2}{b^2} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^2$$
On en déduit donc que :
$$\lim_{x \, \longrightarrow \, 0} \dfrac{\left(\ln\left( \cos(ax) \right)\right)''}{\left(\ln\left( \cos(bx) \right)\right)''} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^2 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \lim_{x \, \longrightarrow \, 0} \dfrac{\left(\ln\left( \cos(ax) \right)\right)'}{\left(\ln\left( \cos(bx) \right)\right)'} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^2 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \lim_{x \, \longrightarrow \, 0} \dfrac{\ln\left( \cos(ax) \right)}{\ln\left( \cos(bx) \right)} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^2$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{\lim_{x \, \longrightarrow \, 0} \dfrac{\ln\left( \cos(ax) \right)}{\ln\left( \cos(bx) \right)} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^2 }}}$$