Calculs de dérivées : Pour se remettre en jambes :) - Exercice 1

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ car toute fonction polynôme est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ .
On reconnaît la forme $$\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'}$$ avec $$u\left(x\right)=3x^2-5x+2$$ et $$v\left(x\right)=4x-1$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=6x-5$$ et $$v'\left(x\right)=4$$.
Il vient alors que :
$$f\left(x\right)=\left(3x^2-5x+2\right)\left(4x-1\right)$$
$$f'\left(x\right)=\left(6x-5\right)\times \left(4x-1\right)+\left(3x^2-5x+2\right)\times 4$$
$$f'\left(x\right)=24x^2-6x-20x+5+12x^2-20x+8$$
Ainsi :

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ comme produit de fonctions dérivables sur $$\mathbb{R}$$ .
On reconnaît la forme $$\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'}$$ avec $$u\left(x\right)=-2x^3+6x-1$$ et $$v\left(x\right)=e^{4x-3}$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=6x^2+6$$ et $$v'\left(x\right)=4e^{4x-3}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\left(-6x^2+6\right)\times e^{4x-3}+\left(-2x^3+6x-1\right)\times \left(4e^{4x-3}\right)$$
$$f'\left(x\right)=\left(-6x^2+6\right)\times e^{4x-3}+\left(-8x^3+24x-4\right)\times e^{4x-3}$$
$$f'\left(x\right)=\left(-6x^2+6-8x^3+24x-4\right)e^{4x-3}$$
Finalement :

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ comme composées de fonctions dérivables sur $$\mathbb{R}$$ .On reconnaît ici $$u^{n}$$ où $$u\left(x\right)=2{\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+3{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }+51$$ et $$n=4$$. Ainsi $$u'\left(x\right)=-2{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }+3{\mathrm{cos} \left(x\right)}$$.
Il en résulte que :
$$f'\left(x\right)={4\left(-2{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }+3{\mathrm{cos} \left(x\right)\ }\right)\left(2{\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+3{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }+5\right)}^3$$
Finalement :

$$f$$ est dérivable si et seulement si : $${\mathrm{ln} \left(x\right)\ }>0\Longrightarrow x>1$$
$$f$$ est dérivable sur $$\left]1;+\infty\right[$$
On a : $$u\left(x\right)=\mathrm{ln} \left(x\right)$$ et $$u'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x}}{{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }}$$
Ainsi :

$$f$$ est dérivable si et seulement si $$2{\mathrm{cos} \left(3x\right)\ }+x^2+6>0$$ .
Pour tout réel $$x$$, nous savons que $$-1\le\mathrm{cos} \left(3x\right)\le1$$ ainsi $$2\mathrm{cos} \left(3x\right)+6>0$$ .
Pour tout réel $$x$$, il en résulte que $$2{\mathrm{cos} \left(3x\right)\ }+x^2+6>0$$
$$f$$ est dérivable sur $$\left]-\infty;+\infty\right[$$
On reconnaît ici $$\sqrt{u}$$ où $$u\left(x\right)=2{\mathrm{cos} \left(3x\right)\ }+x^2+6$$. Ainsi $$u'\left(x\right)=-6{\mathrm{sin} \left(3x\right)\ }+2x$$.
Il en résulte que :

Soit $$g\left(x\right)=\frac{1}{2-x}$$
$$g$$ est dérivable sur $$\left]2;+\infty \right[$$.
On reconnaît la forme $$\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v'}{v^{2} }$$ avec $$v\left(x\right)=2-x$$
Ainsi : $$v'\left(x\right)=-1$$.
Il vient alors que :
$$g'\left(x\right)=\frac{-\left(-1\right)}{\left(2-x\right)^{2} }$$

On a donc $$f\left(x\right)={\mathrm{cos} \left(\frac{1}{2-x}\right)\ }$$ que l'on peut écrire $$f\left(x\right)={\mathrm{cos} \left(g\left(x\right)\right)\ }$$ .
On reconnaît ici $$\cos \left(u\right)$$ où $$u\left(x\right)=g\left(x\right)=\frac{1}{2-x}$$ . Ainsi $$u'\left(x\right)=g'\left(x\right)=\frac{1}{\left(2-x \right)^{2} }$$.
Il en résulte que : que l'on peut écrire : $$f'\left(x\right)=-\frac{\sin \left(2x+3\right)}{\left(2-x \right)^{2} }$$

Soit $$f\left(x\right)=\frac{2\sqrt{x}-3x+4}{5x+3\sqrt{x}+3}$$ . $$f$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty \right[$$ .
On reconnaît la forme $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=2\sqrt{x}-3x+4$$ et $$v\left(x\right)=5x+3\sqrt{x}+3$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=2\times \frac{1}{2\sqrt{x}}-3$$ et $$v'\left(x\right)=5+\frac{3}{2\sqrt{x}}$$
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{\left(2\times \frac{1}{2\sqrt{x}}-3\right)\times \left(5x+3\sqrt{x}+3\right)-\left(2\sqrt{x}-3x+4\right)\times \left(5+\frac{3}{2\sqrt{x}}\right)}{{\left(5x+3\sqrt{x}+3\right)}^2}$$
$$f'\left(x\right)=\frac{\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-3\right)\times \left(5x+3\sqrt{x}+3\right)-\left(2\sqrt{x}-3x+4\right)\times \left(5+\frac{3}{2\sqrt{x}}\right)}{{\left(5x+3\sqrt{x}+3\right)}^2}$$
$$f'\left(x\right)=\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}\times 5x+\frac{1}{\sqrt{x}}\times 3\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\times 3-15x-9\sqrt{x}-9-\left(10\sqrt{x}-15x+20+2\sqrt{x}\times \frac{3}{2\sqrt{x}}-3x\times \frac{3}{2\sqrt{x}}+4\times \frac{3}{2\sqrt{x}}\right)}{{\left(5x+3\sqrt{x}+3\right)}^2}$$
$$f'\left(x\right)=\frac{\frac{5x}{\sqrt{x}}+\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{x}}-15x-9\sqrt{x}-9-\left(10\sqrt{x}-15x+20+\frac{3\times 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}-\frac{9x}{2\sqrt{x}}+\frac{12}{2\sqrt{x}}\right)}{{\left(5x+3\sqrt{x}+3\right)}^2}$$
Nous allons mettre le numérateur sur le dénominateur $$2\sqrt{x}$$ .
$$f'\left(x\right)=\frac{\frac{10x}{2\sqrt{x}}+\frac{6\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}+\frac{6}{2\sqrt{x}}-\frac{15x\times 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}-\frac{9\sqrt{x}\times 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}-\frac{9\times 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}-\left(\frac{10\sqrt{x}\times 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}-\frac{15x\times 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}+\frac{20\times 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}+\frac{3\times 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}-\frac{9x}{2\sqrt{x}}+\frac{12}{2\sqrt{x}}\right)}{{\left(5x+3\sqrt{x}+3\right)}^2}$$
$$f'\left(x\right)=\frac{\frac{10x}{2\sqrt{x}}+\frac{6\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}+\frac{6}{2\sqrt{x}}-\frac{30x\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}-\frac{18x}{2\sqrt{x}}-\frac{18\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}-\left(\frac{20x}{2\sqrt{x}}-\frac{30x\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}+\frac{40\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}+\frac{6\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}-\frac{9x}{2\sqrt{x}}+\frac{12}{2\sqrt{x}}\right)}{{\left(5x+3\sqrt{x}+3\right)}^2}$$
$$f'\left(x\right)=\frac{\frac{10x}{2\sqrt{x}}+\frac{6\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}+\frac{6}{2\sqrt{x}}-\frac{30x\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}-\frac{18x}{2\sqrt{x}}-\frac{18\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}-\frac{20x}{2\sqrt{x}}+\frac{30x\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}-\frac{40\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}-\frac{6\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}+\frac{9x}{2\sqrt{x}}-\frac{12}{2\sqrt{x}}}{{\left(5x+3\sqrt{x}+3\right)}^2}$$
$$f'\left(x\right)=\frac{\frac{10x+6\sqrt{x}+6-30x\sqrt{x}-18x-18\sqrt{x}-20x+30x\sqrt{x}-40\sqrt{x}-6\sqrt{x}+9x-12}{2\sqrt{x}}}{{\left(5x+3\sqrt{x}+3\right)}^2}$$
$$f'\left(x\right)=\frac{\frac{-19x-58\sqrt{x}-6}{2\sqrt{x}}}{{\left(5x+3\sqrt{x}+3\right)}^2}$$
Ainsi :

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ comme quotient de fonctions dérivables sur $$\mathbb{R}$$ .On reconnaît la forme $$\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }}$$ avec $$u\left(x\right)=3x+5$$ et $$v\left(x\right)=2{\mathrm{sin} \left(3x-1\right)\ }+7$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=3$$ et $$v'\left(x\right)=6{\mathrm{cos} \left(3x-1\right)\ }$$.
Il vient alors que :

$$f'\left(x\right)=\frac{3\left(2{\mathrm{sin} \left(3x-1\right)\ }+7\right)-\left(3x+5\right)\left(6{\mathrm{cos} \left(3x-1\right)\ }\right)}{{\left(2{\mathrm{sin} \left(3x-1\right)\ }+7\right)}^2}$$
Ainsi :

Soit $$x\in \mathbb{R}$$ .
On pose : $$f\left(x\right)=\frac{e^{-x} }{x}$$
$$f$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty \right[$$ .
On reconnaît la forme $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=e^{-x}$$ et $$v\left(x\right)=x$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=-e^{-x}$$ et $$v'\left(x\right)=1$$
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{-e^{-x} \times x-e^{-x} \times 1}{x^{2} }$$

Or $$g\left(x\right)=\sqrt{\frac{e^{-x} }{x}}$$ peut également s'écrire $$g\left(x\right)=\sqrt{f\left(x\right)}$$ .
Il vient alors que :
$$g'\left(x\right)=\frac{f'\left(x\right)}{2\sqrt{f\left(x\right)}}$$
$$g'\left(x\right)=\frac{\frac{e^{-x}\left(-x-1\right)}{x^2}}{2\sqrt{\frac{e^{-x}}{x}}}$$
Ainsi :