Dérivabilité , Monotonie, Théorème de Rolle, Théorème des accroissements finis, Taylor-Lagrange

$${\color{red}{\bf{1 - Fonction \,\, dérivable}}}$$
$$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{blue}{\bf{\bullet \,\,Définition}}}$$
Soit $$f$$ une fonction définie sur un intervalle ouvert de centre $$x_0$$, on dit que $$f$$ est $${\color{red}{\bf{dérivable}}}$$ en $$x_0$$ si
$$\varphi : h \longrightarrow \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$
admet une limite lorsque $$h \longrightarrow 0$$. Lorsque cette limite existe elle est notée $$f'(x_0)$$ ou $$\dfrac{df}{dx}(x_0)$$ et s'appelle le nombre dérivé en $$x_0$$.
$$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{green}{\bf{\bullet \,\,Théorème}}}$$
Soit $$f$$ une fonction définie sur un intervalle ouvert de centre $$x_0$$, si $$f$$ est dérivable en $$x_0$$ alors $$f$$ est continue en $$x_0$$.
$$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{blue}{\bf{\bullet \bullet \,\,Définition}}}$$
Soit $$f$$ une fonction définie sur un intervalle du type $$]x_0 - \alpha \, ; \, x_0 ]$$ (respectivement $$[x_0 \, ; \, x_0 + \alpha ]$$) où $$\alpha >0$$, on dit que $$f$$ est $${\color{red}{\bf{dérivable \,\, à \,\, gauche}}}$$ (respectivement $${\color{red}{\bf{à droite}}}$$) en $$x_0$$ si
$$\varphi : h \longrightarrow \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$
admet une limite lorsque $$h \longrightarrow 0^-$$ (respectivement $$h \longrightarrow 0^+$$) de $$f$$ en $$x_0$$. Lorsque cette limite existe elle est notée $$f'_g(x_0)$$ ou $$\left(\dfrac{df}{dx}\right)_g(x_0)$$ (respectivement $$f'_d(x_0)$$ ou $$\left(\dfrac{df}{dx}\right)_d(x_0)$$) et s'appelle le nombre dérivé à gauche (respectivement à droite).
$$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{green}{\bf{\bullet \bullet \,\,Théorème}}}$$
Soit $$f$$ une fonction définie sur un intervalle ouvert de centre $$x_0$$. On dit que $$f$$ est $${\color{red}{\bf{dérivable}}}$$ en $$x_0$$ si et seulement si $$f$$ admet, en $$x_0$$, un nombre dérivé à gauche et un nombre dérivé à droite égaux.
$$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{green}{\bf{\bullet \bullet \bullet \,\,Théorème}}}$$
Soit $$f$$ une fonction définie sur un intervalle ouvert de centre $$x_0$$. Soit $$g$$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $$f(x_0)$$ et dérivable en $$f(x_0)$$. Dans ce cas, on dit que $$g \circ f$$ est dérivable en $$x_0$$, et :
$$(g \circ f)'(x_0) = g'\big( f(x_0) \big) \times f'(x_0)$$
où
$$\dfrac{d \, g \circ f}{dx} (x_0) = \dfrac{dg}{dx} \big( f(x_0) \big) \times \dfrac{df}{dx} (x_0)$$
$$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{green}{\bf{\bullet \bullet \bullet \bullet \,\,Théorème}}}$$
Soit $$f$$ et $$g$$ deux fonctions définies sur un intervalle ouvert de centre $$x_0$$. Dans ce cas $$f \pm g$$ et $$fg$$ sont dérivable en $$x_0$$ et on a :
$$\looparrowright \, (f \pm g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0)$$
$$\looparrowright \, (fg)'(x_0) = f'(x_0) g(x_0) + f(x_0) g'(x_0)$$
$$\looparrowright \,$$ si $$f(x_0) \neq 0$$ alors $$\dfrac{1}{f}$$ est définie dans un intervalle ouvert de centre $$x_0$$ et $$\dfrac{1}{f}$$ est dérivable en $$x_0$$ avec $$\left( \dfrac{1}{f}\right)'(x_0) = - \dfrac{f'(x_0)}{\big(f(x_0)\big)^2}$$
$$\looparrowright \,$$ si $$g(x_0) \neq 0$$ alors $$\dfrac{f}{g}$$ est définie dans un intervalle ouvert de centre $$x_0$$ et $$\dfrac{f}{g}$$ est dérivable en $$x_0$$ avec $$\left( \dfrac{f}{f}\right)'(x_0) = \dfrac{f'(x_0)g(x_0) - f(x_0)g'(x_0)}{\big(g(x_0)\big)^2}$$
$$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{green}{\bf{\bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \,\,Théorème}}}$$
Soit $$f$$ une fonction dérivable et strictement sur un intervalle ouvert $$I$$. Sa bijection réciproque $$\mathcal{R}_f$$ (où $$f^{-1}$$) est dérivable en tout point $$y_0 = f(x_0)$$ de $$f(I)$$ tel que $$f'(x_0) \neq 0$$ et
$$\mathcal{R}'_f(y_0) = \dfrac{1}{f'(x_0)} = \dfrac{1}{f'\big(\mathcal{R}_f(y_0)\big)}$$
Si $$f'$$ ne s'annule pas sur un intervalle $$J$$, inclus dans $$I$$, alors $$\mathcal{R}_f$$ est dérivable sur $$f(J)$$.
$$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{green}{\bf{\bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \,\,Théorème}}}$$
Soit $$f$$ une fonction continue sur $$[a\,;\,b]$$ et dérivable sur $$]a\,;\,b[$$. Si $$\lim_{\begin{array}{c} x \longrightarrow a \\x > a\end{array}} f'(x) = + \infty$$ alors $$\lim_{\begin{array}{c} x \longrightarrow a \\x > a\end{array}} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} = + \infty$$.
$${\color{red}{\bf{2 - Dérivées \,\, successives}}}$$
$$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{blue}{\bf{\bullet \,\,Définition}}}$$
Soit $$f$$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $$I$$. On note $$f^{(0)} = f$$ et $$f^{(1)} = f'$$.
Pour $$n \geqslant 1$$, si $$f^{(n-1)}$$ est dérivable sur $$I$$, alors on définit la $$n$$-ième dérivée de $$f$$ par : $$f^{(n)} = \big(f^{(n-1)}\big)'$$.
Soit $$n \in \mathbb{N}$$. On dit que $$f$$ est de $${\color{red}{\bf{classe}}}$$ $$C^n$$ sur $$I$$ si $$f^{(n)}$$ existe $${\color{red}{\bf{et}}}$$ est continue sur l'intervalle $$I$$.
On dit que $$f$$ est de $${\color{red}{\bf{classe}}}$$ $$C^\infty$$ sur $$I$$ si $$f$$ est de classe $$C^n$$ sur $$I$$ pour tout $$n \in \mathbb{N}$$. Ceci est équivalent à dire que $$f^{(n)}$$ existe pour tout $$n \in \mathbb{N}$$.
$$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{green}{\bf{\bullet \,\,Théorème : formule \,\, de \,\, Leibniz}}}$$
Soit $$n \in \mathbb{N}$$. Soit $$f$$ et $$g$$ deux fonctions définies sur un intervalle ouvert $$I$$ admettant des dérivées $$n$$-ième sur $$I$$. Le projet $$fg$$ admet une dérivée $$n$$-ième sur $$I$$ dont l'expression est donnée par :
$$(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C^k_n f^{(k)}g^{(n-k)}$$
Avec : $$C^k_n = \left( \begin{array}{c} k \\ n\end{array} \right) = \dfrac{n !}{k! \, (n-k)!}$$.
$$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{green}{\bf{\bullet \bullet \,\,Théorème}}}$$
Soit $$f$$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $$I$$. Soit $$g$$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $$J$$ contenant $$f(I)$$. Soit $$n \in \mathbb{N}$$. Si $$f$$ est de classe $$C^n$$ sur $$I$$ et $$g$$ de classe $$C^n$$ sur $$J$$ alors $$g \circ f$$ est de classe $$C^n$$ sur $$I$$.
$$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{blue}{\bf{\bullet \bullet \,\,Définition}}}$$
Soit $$f$$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $$I$$. Soit $$n \in \mathbb{N}$$. On dit que $$f$$ est un $${\color{red}{C^n \,\, \bf{difféomorphisme}}}$$ si $$f$$ est une bijection $${\color{red}{\bf{et}}}$$ si $$f$$ et $$\mathcal{R}_f$$ sont de classe $$C^n$$.
$$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{green}{\bf{\bullet \bullet \bullet \,\,Théorème}}}$$
Soit $$f$$ une bijection sur un intervalle ouvert $$I$$. Soit $$n \in \mathbb{N}$$. La bijection $$f$$ est un $${\color{red}{C^n \,\, \bf{difféomorphisme}}}$$ si et seulement si $$f$$ est de classe $$C^n$$ $${\color{red}{\bf{et}}}$$ $$f'$$ ne s'annule pas sur $$I$$.
$${\color{red}{\bf{3 - Théorème \,\, de \,\, Rolle \,\, \& \,\, Théorème \,\, des \,\, accroissements \,\, finis}}}$$
$$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{green}{\bf{\bullet \,\, Théorème \,\, de \,\, Rolle}}}$$
Soit $$f$$ une fonction continue sur l'intervalle $$[a\,;\,b]$$, dérivable sur $$]a\,;\,b[$$, telle $$f(a) = f(b)$$. Il existe un réel $$c$$ appartenant à $$]a\,;\,b[$$ tel que $$f'(c) = 0$$.
Ceci s'illustre par :

$$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{green}{\bf{\bullet \bullet \,\, Théorème \,\, des \,\, accroissements \,\, finis}}}$$
Soit $$f$$ une fonction continue sur l'intervalle $$[a\,;\,b]$$, dérivable sur $$]a\,;\,b[$$. Il existe un réel $$c$$ appartenant à $$]a\,;\,b[$$ tel que :
$$f(b) - f(a) = (b_a) f'(c)$$
Ceci s'illustre par :

Le fait d'introduire la pente moyenne permet également d'écrire que :
$$f'(c) = \dfrac{1}{b-a} \int_a^b f'(x) \, dx = \bar{f'}_{[a\,;\,b]}$$
$$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{green}{\bf{\bullet \bullet \bullet \,\, Théorème \,\, de \,\, l'inégalité \,\, des \,\, accroissements \,\, finis}}}$$
Soit $$f$$ une fonction continue sur l'intervalle $$[a\,;\,b]$$, dérivable sur $$]a\,;\,b[$$, tel que $$a<b$$. S'il existe deux nombres réels $$m$$ et $$M$$ tels que
$$\forall x \in ]a\,;\,b[, \,\,\, m \leqslant f'(x) \leqslant M$$
alors
$$m (b-a) \leqslant f(b) - f(a) \leqslant M(b-a)$$
De plus, s'il existe un nombre réel $$k$$ tel que
$$\forall x \in ]a\,;\,b[, \,\,\, | \, f'(x) \, | \leqslant k$$
alors
$$| \, f(b) - f(a) \, | \leqslant k(b-a)$$
Dans ce cas, on dit que $$f$$ est $${\color{red}{k-\bf{lipschitzienne}}}$$.
$${\color{red}{\bf{4 - Théorème \,\, de \,\, Taylor \,\, \& \,\, Lagrange}}}$$
Soit $$n$$ un nombre entier naturel non nul. Soit $$f$$ une fonction de classe $$C^n$$ sur l'intervalle $$I = [a\,;\,b]$$ et qui admet une dérivées d'ordre $$n+1$$. Il existe un nombre réel c qui appartient à l'intervalle $$]a\,;\,b[$$ tel que :
$${\color{red}{\boxed{f(b) = f(a) + \sum_{k=1}^n \dfrac{(b-a)^k}{k!} f^{(k)}(a) + \dfrac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!} f^{(n+1)}(c)}}}$$
$${\color{red}{\bf{5 - Monotonie \,\, et \,\, dérivabilité}}}$$
$$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{green}{\bf{\bullet \,\, Théorème}}}$$
Soit $$f$$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $$I$$.
La fonction $$f$$ est constante sur $$I$$ si, et seulement si, sa fonction dérivée $$f'$$ est nulle sur $$I$$.
La fonction $$f$$ est croissante sur $$I$$ si, et seulement si, sa fonction dérivée $$f'$$ est positive sur $$I$$.
La fonction $$f$$ est décroissante sur $$I$$ si, et seulement si, sa fonction dérivée $$f'$$ est négative sur $$I$$.
$$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{green}{\bf{\bullet \bullet \,\, Théorème}}}$$
Soit $$f$$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $$I$$. Si $$f'$$ est strictement positive (respectivement négative) sur $$I$$ sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s'annule, alors $$f$$ est strictement croissante (respectivement décroissante) sur l'intervalle $$I$$.
$${\color{red}{\bf{6 - Dérivées \,\, usuelles}}}$$
Si $$f(x) = x^p$$ alors $$f'(x) = px^{p-1}$$ sur le domaine $$\mathbb{R}^{+\star}$$ avec $$p \in \mathbb{R}$$
Si $$f(x) = e^x$$ alors $$f'(x) = e^x$$ sur le domaine $$\mathbb{R}$$
Si $$f(x) = \ln(|x|)$$ alors $$f'(x) = \dfrac{1}{x}$$ sur le domaine $$\mathbb{R}^{\star}$$
Si $$f(x) = \cosh(x)$$ alors $$f'(x) = \sinh(x)$$ sur le domaine $$\mathbb{R}$$
Si $$f(x) = \sinh(x)$$ alors $$f'(x) = \cosh(x)$$ sur le domaine $$\mathbb{R}$$
Si $$f(x) = \tanh(x)$$ alors $$f'(x) = \dfrac{1}{\cosh^2(x)} = 1 - \tanh^2(x)$$ sur le domaine $$\mathbb{R}$$
Si $$f(x) = \mathrm{cotanh}(x)$$ alors $$f'(x) = -\dfrac{1}{\sinh^2(x)} = 1 - \mathrm{cotanh}^2(x)$$ sur le domaine $$\mathbb{R}^\star$$
Si $$f(x) = \cos(x)$$ alors $$f'(x) = -\sin(x)$$ sur le domaine $$\mathbb{R}$$
Si $$f(x) = \sin(x)$$ alors $$f'(x) = \cos(x)$$ sur le domaine $$\mathbb{R}$$
Si $$f(x) = \tan(x)$$ alors $$f'(x) = \dfrac{1}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x)$$ pour $$x \neq \dfrac{\pi}{2} \, \mod[\pi]$$
Si $$f(x) = \mathrm{cotan}(x)$$ alors $$f'(x) = -\dfrac{1}{\sin^2(x)} = -1 - \mathrm{cotan}^2(x)$$ pour $$x \neq \pi \, \mod[\pi]$$
Si $$f(x) = \mathrm{argsinh}(x)$$ alors $$f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$ sur le domaine $$\mathbb{R}$$
Si $$f(x) = \mathrm{argcosh}(x)$$ alors $$f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}$$ sur le domaine $$]1 \,;\, + \infty[$$
Si $$f(x) = \mathrm{argtanh}(x)$$ alors $$f'(x) = \dfrac{1}{1-x^2}$$ sur le domaine $$]-1 \,;\, 1[$$
Si $$f(x) = \mathrm{argcotanh}(x)$$ alors $$f'(x) = \dfrac{1}{1-x^2}$$ sur le domaine $$]- \infty \,;\, -1[ \, \cup \, ]1 \,;\, + \infty[$$
Si $$f(x) = \arcsin(x)$$ alors $$f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$ sur le domaine $$]-1 \,;\, 1[$$
Si $$f(x) = \arccos(x)$$ alors $$f'(x) = -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$ sur le domaine $$]-1 \,;\, 1[$$
Si $$f(x) = \arctan(x)$$ alors $$f'(x) = \dfrac{1}{1+x^2}$$ sur le domaine $$\mathbb{R}$$
Si $$f(x) = \mathrm{arccotan}(x)$$ alors $$f'(x) = -\dfrac{1}{1+x^2}$$ sur le domaine $$\mathbb{R}$$