Dérivations partielles secondes croisées - Pour aller plus loin - Exercice 1

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Pour une fonction multivariée (donc à plusieurs variables) la notion de dérivée partielle seconde peut prendre une forme plus subtile. En effet, pour se fixer les idée, considérons la fonction ff, dépendante des deux variables réelles xx et yy, suivante :
(x ; y)∈R2 ⟼f(x ; y)=3x2y+xln⁡(1+y2)+x1+y4(x\,;\,y) \in \mathbb{R}^2\, \longmapsto f(x\,;\,y) = 3x^2y + x\ln(1+y^2) + \dfrac{x}{1 + y^4}
Les deux deˊriveˊes partielles premieˋres{\color{blue}{\text{dérivées partielles premières}}} sont :
∙   ∂f∂x(x ; y)=6xy+ln⁡(1+y2)+11+y4{\color{blue}{\bullet \,\,\, \dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,y) }} = 6xy + \ln(1+y^2) + \dfrac{1}{1 + y^4}
∙   ∂f∂y(x ; y)=3x2+x2y1+y2−x4y3(1+y4)2{\color{blue}{\bullet \,\,\, \dfrac{\partial f}{\partial y}(x\,;\,y) }} = 3x^2 + x\dfrac{2y}{1+y^2} - x\dfrac{4y^3}{(1 + y^4)^2}
De suite, on en déduit les deux deˊriveˊes partielles secondes{\color{red}{\text{dérivées partielles secondes}}} qui sont :
∙∙   ∂2f∂x2(x ; y)=6y{\color{red}{\bullet \bullet \,\,\, \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x\,;\,y) }} = 6y
∙∙   ∂2f∂y2(x ; y)=−2x(y14−y12−7y10−23y8−y6+9y4+7y2−1)(1+y2)2(1+y4)3{\color{red}{\bullet \bullet \,\,\, \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x\,;\,y) }} = - \dfrac{2x (y^{14} -y^{12} - 7y^{10} - 23y^8 - y^6 + 9y^4 + 7y^2 - 1 )}{(1+y^2)^2 (1+y^4)^3}
Mais il est possible de dériver une première fois selon une des deux variables, puis de dériver cette dernière expression, mais cette fois par rapport à l'autre variable. On parle alors de deˊriveˊes partielles secondes croiseˊes{\color{green}{\text{dérivées partielles secondes croisées}}}. On a alors les deux possibilités suivantes :
∙∙   ∂2f∂x ∂y(x ; y)=∂∂x(∂f∂y)(x ; y)=∂∂x(3x2+x2y1+y2−x4y3(1+y4)2)=6x+2y1+y2−4y3(1+y4)2{\color{green}{\bullet \bullet \,\,\, \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}(x\,;\,y) }} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)(x\,;\,y) = \dfrac{\partial}{\partial x} \left( 3x^2 + x\dfrac{2y}{1+y^2} - x\dfrac{4y^3}{(1 + y^4)^2}\right) = 6x + \dfrac{2y}{1+y^2} - \dfrac{4y^3}{(1 + y^4)^2}
∙∙   ∂2f∂y ∂x(x ; y)=∂∂y(∂f∂x)(x ; y)=∂∂y(6xy+ln⁡(1+y2)+11+y4)=6x+2y1+y2−4y3(1+y4)2{\color{green}{\bullet \bullet \,\,\, \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x}(x\,;\,y) }} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)(x\,;\,y) = \dfrac{\partial}{\partial y} \left( 6xy + \ln(1+y^2) + \dfrac{1}{1 + y^4}\right) = 6x + \dfrac{2y}{1+y^2} - \dfrac{4y^3}{(1+y^4)^2}
Sur cet exemple on constate l'égalité entre les deux deˊriveˊes partielles secondes croiseˊes{\color{green}{\text{dérivées partielles secondes croisées}}} :
∂2f∂x ∂y(x ; y)=∂2f∂y ∂x(x ; y){\color{green}{\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}(x\,;\,y) }} = {\color{green}{\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x}(x\,;\,y) }}
En général, au point (x ; y)(x\,;\,y), cette eˊgaliteˊ n’est pas vrai !{\color{green}{\text{cette égalité n'est pas vrai !}}}. Elle est souvent vérifiée mais ce n'est absolument pas une généralité. C'est le  theˊoreˋme de Schwarz{\color{green}{\text{ théorème de Schwarz}}} (parfois appelé  theˊoreˋme de Clairaut{\color{green}{\text{ théorème de Clairaut}}}) qui stipule les conditions de l'égalité.
Cependant, en Physique classique{\color{red}{\text{en Physique classique}}}, ces conditions mathématiques, qui permettent de permuter indifféremment les variables de dérivation, sont toujours satisfaites{\color{red}{\text{sont toujours satisfaites}}}. Ceci est lié à l'existence, donc la réalité, des grandeurs ff étudiées. Ceci est particulièrement utilisé en thermodynamique.
Question 1

Pour la fonction ff proposée ci-dessous, déterminer les dérivées partielles premières, secondes et secondes croisées. Puis, vous écrirez l'expression de la différentielle dfdf.
(x ; y)∈R2 ⟼f(x ; y)=3x1+y2+11+xy2(x\,;\,y) \in \mathbb{R}^2\, \longmapsto f(x\,;\,y) = 3x\sqrt{1+y^2} + \dfrac{1}{1+xy^2}

Correction
On a la dérivée partielle première par rapport à xx suivante :
∂f∂x(x ; y)=∂∂x(3x1+y2+11+xy2)=1+y2  ∂∂x(3x)+∂∂x(11+xy2)\dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,y) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left( 3x\sqrt{1+y^2} + \dfrac{1}{1+xy^2} \right) = \sqrt{1+y^2} \,\, \dfrac{\partial }{\partial x} (3x) + \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \dfrac{1}{1+xy^2} \right)
Ce qui nous donne :
∂f∂x(x ; y)=31+y2+−∂∂x(1+xy2)(1+xy2)2=31+y2−∂∂x(xy2)(1+xy2)2=31+y2−y2∂∂x(x)(1+xy2)2\dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,y) = 3\sqrt{1+y^2} + \dfrac{-\dfrac{\partial }{\partial x} \left(1+xy^2\right)}{\left(1+xy^2\right)^2} = 3\sqrt{1+y^2} - \dfrac{\dfrac{\partial }{\partial x} \left(xy^2\right)}{\left(1+xy^2\right)^2} = 3\sqrt{1+y^2} - \dfrac{y^2\dfrac{\partial }{\partial x} \left(x\right)}{\left(1+xy^2\right)^2}
Finalement, avec ∂∂x(x)=1\dfrac{\partial }{\partial x} \left(x\right) = 1, on obtient :
∂f∂x(x ; y)=31+y2−y2(1+xy2)2{\color{blue}{\boxed{ \dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,y) = 3\sqrt{1+y^2} - \dfrac{y^2}{\left(1+xy^2\right)^2} }}}
Puis, on a la dérivée partielle première par rapport à yy suivante :
∂f∂y(x ; y)=∂∂y(3x1+y2+11+xy2)=3x∂∂y(1+y2)+∂∂y(11+xy2)\dfrac{\partial f}{\partial y}(x\,;\,y) = \dfrac{\partial }{\partial y} \left( 3x\sqrt{1+y^2} + \dfrac{1}{1+xy^2} \right) = 3x \dfrac{\partial }{\partial y} \left(\sqrt{1+y^2}\right) + \dfrac{\partial }{\partial y} \left( \dfrac{1}{1+xy^2} \right)
Ce qui nous donne :
∂f∂y(x ; y)=3x∂∂y(1+y2)21+y2+−∂∂y(1+xy2)(1+xy2)2=3x∂∂y(y2)21+y2−∂∂y(xy2)(1+xy2)2=3x∂∂y(y2)21+y2−x∂∂y(y2)(1+xy2)2\dfrac{\partial f}{\partial y}(x\,;\,y) = 3x \dfrac{\dfrac{\partial }{\partial y} \left(1+y^2\right)}{2\sqrt{1+y^2}} + \dfrac{ -\dfrac{\partial }{\partial y} \left( 1+xy^2 \right)}{\left(1+xy^2\right)^2} = 3x \dfrac{\dfrac{\partial }{\partial y} \left(y^2\right)}{2\sqrt{1+y^2}} - \dfrac{ \dfrac{\partial }{\partial y} \left(xy^2 \right)}{\left(1+xy^2\right)^2} = 3x \dfrac{\dfrac{\partial }{\partial y} \left(y^2\right)}{2\sqrt{1+y^2}} - \dfrac{ x\dfrac{\partial }{\partial y} \left(y^2 \right)}{\left(1+xy^2\right)^2}
Soit :
∂f∂y(x ; y)=3x2y21+y2−x2y(1+xy2)2\dfrac{\partial f}{\partial y}(x\,;\,y) = 3x \dfrac{2y}{2\sqrt{1+y^2}} - \dfrac{ x2y}{\left(1+xy^2\right)^2}
Finalement, on obtient :
∂f∂y(x ; y)=3xy1+y2−2xy(1+xy2)2{\color{blue}{\boxed{ \dfrac{\partial f}{\partial y}(x\,;\,y) = \dfrac{3xy}{\sqrt{1+y^2}} - \dfrac{2xy}{\left(1+xy^2\right)^2} }}}
On a la dérivée partielle seconde par rapport à xx suivante :
∂2f∂x2(x ; y)=∂∂x(∂f∂x)(x ; y)=∂∂x(31+y2−y2(1+xy2)2)=−y2∂∂x(1(1+xy2)2)\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x\,;\,y) = \dfrac{\partial }{\partial x}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x} \right) (x\,;\,y) = \dfrac{\partial }{\partial x}\left( 3\sqrt{1+y^2} - \dfrac{y^2}{\left(1+xy^2\right)^2} \right) = - y^2\dfrac{\partial }{\partial x}\left( \dfrac{1}{\left(1+xy^2\right)^2} \right)
Soit :
∂2f∂x2(x ; y)=−y2−∂∂x((1+xy2)2)(1+xy2)4=y22(1+xy2)∂∂x(1+xy2)(1+xy2)4=y22(1+xy2)y2∂∂x(x)(1+xy2)4\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x\,;\,y) = - y^2 \dfrac{-\dfrac{\partial }{\partial x}\left( \left(1+xy^2\right)^2 \right)}{\left(1+xy^2\right)^4} = y^2 \dfrac{2\left(1+xy^2\right)\dfrac{\partial }{\partial x}\left( 1+xy^2 \right)}{\left(1+xy^2\right)^4} = y^2 \dfrac{2\left(1+xy^2\right)y^2\dfrac{\partial }{\partial x}\left( x \right)}{\left(1+xy^2\right)^4}
Or, on a ∂∂x(x)=1\dfrac{\partial }{\partial x}\left( x \right) = 1. Donc :
∂2f∂x2(x ; y)=y22(1+xy2)y2(1+xy2)4=y22y2(1+xy2)3\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x\,;\,y) = y^2 \dfrac{2\left(1+xy^2\right)y^2}{\left(1+xy^2\right)^4} = y^2 \dfrac{2y^2}{\left(1+xy^2\right)^3}
Finalement :
∂2f∂x2(x ; y)=2y4(1+xy2)3{\color{red}{\boxed{\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x\,;\,y) = \dfrac{2 y^4}{\left(1+xy^2\right)^3} }}}
On a la dérivée partielle seconde par rapport à yy suivante :
∂2f∂y2(x ; y)=∂∂y(∂f∂y)(x ; y)=∂∂y(3xy1+y2−2xy(1+xy2)2)=3x∂∂y(y1+y2)−2x∂∂y(y(1+xy2)2)\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x\,;\,y) = \dfrac{\partial }{\partial y}\left(\dfrac{\partial f}{\partial y} \right) (x\,;\,y) = \dfrac{\partial }{\partial y}\left( \dfrac{3xy}{\sqrt{1+y^2}} - \dfrac{2xy}{\left(1+xy^2\right)^2} \right) = 3x\dfrac{\partial }{\partial y}\left( \dfrac{y}{\sqrt{1+y^2}}\right) - 2x \dfrac{\partial }{\partial y}\left( \dfrac{y}{\left(1+xy^2\right)^2}\right)
Soit :
∂2f∂y2(x ; y)=3x(y′1+y2−y(1+y2)′1+y22)−2x(y′(1+xy2)2−y((1+xy2)2)′((1+xy2)2)2)\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x\,;\,y) = 3x\left( \dfrac{y'\sqrt{1+y^2}-y\left( \sqrt{1+y^2} \right)'}{\sqrt{1+y^2}^2}\right) - 2x \left( \dfrac{y'\left(1+xy^2\right)^2-y\left(\left(1+xy^2\right)^2\right)'}{\left(\left(1+xy^2\right)^2\right)^2}\right)
Soit encore :
∂2f∂y2(x ; y)=3x(1+y2−y2y21+y21+y2)−2x(y′(1+xy2)2−y2(1+xy2)(1+xy2)′(1+xy2)4)\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x\,;\,y) = 3x\left( \dfrac{\sqrt{1+y^2}-y\dfrac{2y}{2\sqrt{1+y^2}}}{1+y^2}\right) - 2x \left( \dfrac{y'\left(1+xy^2\right)^2-y 2\left(1+xy^2\right)\left(1+xy^2\right)'}{\left(1+xy^2\right)^4}\right)
Ce qui nous donne :
∂2f∂y2(x ; y)=3x(1+y2−y21+y21+y2)−2x((1+xy2)2−y2(1+xy2)2xy(1+xy2)4)\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x\,;\,y) = 3x\left( \dfrac{\sqrt{1+y^2}-\dfrac{y^2}{\sqrt{1+y^2}}}{1+y^2}\right) - 2x \left( \dfrac{\left(1+xy^2\right)^2-y 2\left(1+xy^2\right)2xy}{\left(1+xy^2\right)^4}\right)
En simplifiant, dans le second terme, par le terme non nul 1+xy21+xy^2 on trouve :
∂2f∂y2(x ; y)=3x(1+y2−y2(1+y2)1+y2)−2x(1+xy2−4xy2(1+xy2)3)\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x\,;\,y) = 3x\left( \dfrac{1+y^2-y^2}{\left(1+y^2\right)\sqrt{1+y^2}}\right) - 2x \left( \dfrac{1+xy^2-4xy^2}{\left(1+xy^2\right)^3}\right)
En simplifiant :
∂2f∂y2(x ; y)=3x1(1+y2)32−2x(1−3xy2(1+xy2)3)\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x\,;\,y) = 3x \dfrac{1}{\left(1+y^2\right)^\frac{3}{2}} - 2x \left( \dfrac{1-3xy^2}{\left(1+xy^2\right)^3}\right)
Ce qui finalement nous donne :
∂2f∂y2(x ; y)=3x(1+y2)32−2x(1−3xy2(1+xy2)3){\color{red}{\boxed{\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x\,;\,y) = \dfrac{3x}{\left(1+y^2\right)^\frac{3}{2}} - 2x \left( \dfrac{1-3xy^2}{\left(1+xy^2\right)^3}\right) }}}
Puis, on a la première dérivée partielle seconde croisée suivante :
∂2f∂x ∂y(x ; y)=∂∂x(∂f∂y)(x ; y)=∂∂x(3xy1+y2−2xy(1+xy2)2)\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}(x\,;\,y) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)(x\,;\,y) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \dfrac{3xy}{\sqrt{1+y^2}} - \dfrac{2xy}{\left(1+xy^2\right)^2} \right)
Soit :
∂2f∂x ∂y(x ; y)=∂∂x(3xy1+y2)−∂∂x(2xy(1+xy2)2)\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}(x\,;\,y) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \dfrac{3xy}{\sqrt{1+y^2}} \right) - \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \dfrac{2xy}{\left(1+xy^2\right)^2} \right)
Soit encore :
∂2f∂x ∂y(x ; y)=3y1+y2∂∂x(x)−2y∂∂x(x(1+xy2)2)\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}(x\,;\,y) = \dfrac{3y}{\sqrt{1+y^2}}\dfrac{\partial }{\partial x} \left( x \right) - 2y \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \dfrac{x}{\left(1+xy^2\right)^2} \right)
Ce qui nous donne :
∂2f∂x ∂y(x ; y)=3y1+y2−2yx′(1+xy2)2−x((1+xy2)2)′(1+xy2)4\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}(x\,;\,y) = \dfrac{3y}{\sqrt{1+y^2}} - 2y \dfrac{x'\left(1+xy^2\right)^2-x\left( \left(1+xy^2\right)^2 \right)'}{\left(1+xy^2\right)^4}
Ce qui nous donne :
∂2f∂x ∂y(x ; y)=3y1+y2−2y(1+xy2)2−x2(1+xy2)(1+xy2)′(1+xy2)4\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}(x\,;\,y) = \dfrac{3y}{\sqrt{1+y^2}} - 2y \dfrac{\left(1+xy^2\right)^2-x2\left(1+xy^2\right)\left( 1+xy^2 \right)'}{\left(1+xy^2\right)^4}
Soit :
∂2f∂x ∂y(x ; y)=3y1+y2−2y(1+xy2)2−x2(1+xy2)y2(1+xy2)4\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}(x\,;\,y) = \dfrac{3y}{\sqrt{1+y^2}} - 2y \dfrac{\left(1+xy^2\right)^2-x2\left(1+xy^2\right)y^2}{\left(1+xy^2\right)^4}
En simplifiant par 1+xy2≠01+xy^2 \neq 0, on trouve que :
∂2f∂x ∂y(x ; y)=3y1+y2−2y(1+xy2)−x2y2(1+xy2)3\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}(x\,;\,y) = \dfrac{3y}{\sqrt{1+y^2}} - 2y \dfrac{\left(1+xy^2\right)-x2y^2}{\left(1+xy^2\right)^3}
Où encore :
∂2f∂x ∂y(x ; y)=3y1+y2−2y1+xy2−2xy2(1+xy2)3\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}(x\,;\,y) = \dfrac{3y}{\sqrt{1+y^2}} - 2y \dfrac{1+xy^2-2xy^2}{\left(1+xy^2\right)^3}
Ce qui nous donne :
∂2f∂x ∂y(x ; y)=3y1+y2−2y1−xy2(1+xy2)3\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}(x\,;\,y) = \dfrac{3y}{\sqrt{1+y^2}} - 2y \dfrac{1-xy^2}{\left(1+xy^2\right)^3}
Finalement, on obtient :
∂2f∂x ∂y(x ; y)=3y1+y2−2y(1−xy2)(1+xy2)3{\color{green}{\boxed{\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}(x\,;\,y) = \dfrac{3y}{\sqrt{1+y^2}} - \dfrac{2y\left(1-xy^2\right)}{\left(1+xy^2\right)^3}}}}
Enfin, on a la seconde dérivée partielle seconde croisée suivante :
∂2f∂y ∂x(x ; y)=∂∂y(∂f∂x)(x ; y)=∂∂y(31+y2−y2(1+xy2)2)\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x}(x\,;\,y) = \dfrac{\partial }{\partial y} \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)(x\,;\,y) = \dfrac{\partial }{\partial y} \left( 3\sqrt{1+y^2} - \dfrac{y^2}{\left(1+xy^2\right)^2} \right)
Soit :
∂2f∂y ∂x(x ; y)=∂∂y(31+y2)−∂∂y(y2(1+xy2)2)\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x}(x\,;\,y) = \dfrac{\partial }{\partial y} \left( 3\sqrt{1+y^2} \right) - \dfrac{\partial }{\partial y} \left( \dfrac{y^2}{\left(1+xy^2\right)^2} \right)
Soit encore :
∂2f∂y ∂x(x ; y)=3∂∂y(1+y2)−∂∂y(y2(1+xy2)2)\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x}(x\,;\,y) = 3\dfrac{\partial }{\partial y} \left( \sqrt{1+y^2} \right) - \dfrac{\partial }{\partial y} \left( \dfrac{y^2}{\left(1+xy^2\right)^2} \right)
Ce qui nous donne :
∂2f∂y ∂x(x ; y)=3(1+y2)′21+y2−((y2)′(1+xy2)2−y2((1+xy2)2)′(1+xy2)4)\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x}(x\,;\,y) = 3 \dfrac{(1+y^2)'}{2\sqrt{1+y^2}} - \left( \dfrac{(y^2)'\left(1+xy^2\right)^2 - y^2 \left(\left(1+xy^2\right)^2\right)'}{\left(1+xy^2\right)^4} \right)
Soit encore :
∂2f∂y ∂x(x ; y)=32y21+y2−(2y(1+xy2)2−y22(1+xy2)(1+xy2)′(1+xy2)4)\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x}(x\,;\,y) = 3 \dfrac{2y}{2\sqrt{1+y^2}} - \left( \dfrac{2y\left(1+xy^2\right)^2 - y^2 2 \left(1+xy^2\right)\left(1+xy^2\right)'}{\left(1+xy^2\right)^4} \right)
Identiquement :
∂2f∂y ∂x(x ; y)=3y1+y2−(2y(1+xy2)2−y22(1+xy2)2xy(1+xy2)4)\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x}(x\,;\,y) = 3 \dfrac{y}{\sqrt{1+y^2}} - \left( \dfrac{2y\left(1+xy^2\right)^2 - y^2 2 \left(1+xy^2\right)2xy}{\left(1+xy^2\right)^4} \right)
Comme 1+xy2≠01+xy^2 \neq 0, on simplifie en :
∂2f∂y ∂x(x ; y)=3y1+y2−(2y(1+xy2)−4xy3(1+xy2)3)\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x}(x\,;\,y) = \dfrac{3y}{\sqrt{1+y^2}} - \left( \dfrac{2y\left(1+xy^2\right) - 4xy^3}{\left(1+xy^2\right)^3} \right)
Ce qui nous donne également :
∂2f∂y ∂x(x ; y)=3y1+y2−(2y+2xy3−4xy3(1+xy2)3)\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x}(x\,;\,y) = \dfrac{3y}{\sqrt{1+y^2}} - \left( \dfrac{2y+2xy^3 - 4xy^3}{\left(1+xy^2\right)^3} \right)
Donc :
∂2f∂y ∂x(x ; y)=3y1+y2−(2y−2xy3(1+xy2)3)\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x}(x\,;\,y) = \dfrac{3y}{\sqrt{1+y^2}} - \left( \dfrac{2y-2xy^3 }{\left(1+xy^2\right)^3} \right)
En factorisant par 2y2y, on obtient :
∂2f∂y ∂x(x ; y)=3y1+y2−2y1−xy2(1+xy2)3\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x}(x\,;\,y) = \dfrac{3y}{\sqrt{1+y^2}} - 2y \dfrac{1-xy^2 }{\left(1+xy^2\right)^3}
Finalement, on obtient :
∂2f∂x ∂y(x ; y)=3y1+y2−2y(1−xy2)(1+xy2)3{\color{green}{\boxed{\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}(x\,;\,y) = \dfrac{3y}{\sqrt{1+y^2}} - \dfrac{2y\left(1-xy^2\right)}{\left(1+xy^2\right)^3}}}}
Enfin la différentielle dfdf va s'écrire :
df(x ; y)=∂f∂x(x ; y) dx+∂f∂y(x ; y) dydf(x\,;\,y) = \dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,y) \, dx + \dfrac{\partial f}{\partial y}(x\,;\,y) \, dy
Ainsi :
df(x ; y)=(31+y2−y2(1+xy2)2) dx+(3xy1+y2−2xy(1+xy2)2) dydf(x\,;\,y) = \left( 3\sqrt{1+y^2} - \dfrac{y^2}{\left(1+xy^2\right)^2} \right) \, dx + \left( \dfrac{3xy}{\sqrt{1+y^2}} - \dfrac{2xy}{\left(1+xy^2\right)^2} \right) \, dy
Finalement, on obtient l'expression suivante :
df(x ; y)=(31+y2−y2(1+xy2)2) dx+xy(31+y2−2(1+xy2)2) dy{\color{black}{\boxed{ df(x\,;\,y) = \left( 3\sqrt{1+y^2} - \dfrac{y^2}{\left(1+xy^2\right)^2} \right) \, dx + xy\left( \dfrac{3}{\sqrt{1+y^2}} - \dfrac{2}{\left(1+xy^2\right)^2} \right) \, dy }}}
Question 2

Pour la fonction ff proposée ci-dessous, déterminer les dérivées partielles premières, secondes et secondes croisées. Puis, vous écrirez l'expression de la différentielle dfdf.
(x ; y)∈R2 ⟼f(x ; y)=3xcosh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)(x\,;\,y) \in \mathbb{R}^2\, \longmapsto f(x\,;\,y) = 3x\cosh(xy)\cos\left(x^2+y^2\right)

Correction
On a la dérivée partielle première par rapport à xx suivante :
∂f∂x(x ; y)=∂∂x(3xcosh⁡(xy)cos⁡(x2+y2))=3∂∂x(xcosh⁡(xy)cos⁡(x2+y2))\dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,y) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left( 3x\cosh(xy)\cos\left(x^2+y^2\right) \right) = 3\dfrac{\partial }{\partial x} \left( x\cosh(xy)\cos\left(x^2+y^2\right) \right)
Ce qui nous donne :
∂f∂x(x ; y)=3(∂∂x(x)cosh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)+x∂∂x(cosh⁡(xy))cos⁡(x2+y2)+xcosh⁡(xy)∂∂x(cos⁡(x2+y2)))\dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,y) = 3\left(\dfrac{\partial }{\partial x} \left( x \right) \cosh(xy)\cos\left(x^2+y^2\right) + x\dfrac{\partial }{\partial x} \left( \cosh(xy)\right) \cos\left(x^2+y^2\right) + x \cosh(xy) \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \cos\left(x^2+y^2 \right) \right)\right)
Soit :
∂f∂x(x ; y)=3(1cosh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)+xysinh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)−xcosh⁡(xy)2xsin⁡(x2+y2))\dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,y) = 3\left(1 \cosh(xy)\cos\left(x^2+y^2\right) + xy \sinh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) - x \cosh(xy) 2x \sin\left(x^2+y^2 \right) \right)
Soit encore :
∂f∂x(x ; y)=3(cosh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)+xysinh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)−2x2cosh⁡(xy)sin⁡(x2+y2))\dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,y) = 3\left(\cosh(xy)\cos\left(x^2+y^2\right) + xy \sinh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) - 2x^2 \cosh(xy) \sin\left(x^2+y^2 \right) \right)
Diverses factorisations sont possibles. Cependant nous conserverons le résultat sous cette forme afin d'envisager une dérivation seconde plus aisée. Ainsi :
∂f∂x(x ; y)=3(cosh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)+xysinh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)−2x2cosh⁡(xy)sin⁡(x2+y2)){\color{blue}{\boxed{ \dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,y) = 3\left(\cosh(xy)\cos\left(x^2+y^2\right) + xy \sinh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) - 2x^2 \cosh(xy) \sin\left(x^2+y^2 \right) \right) }}}
On a la dérivée partielle première par rapport à yy suivante :
∂f∂y(x ; y)=∂∂y(3xcosh⁡(xy)cos⁡(x2+y2))=3x∂∂y(cosh⁡(xy)cos⁡(x2+y2))\dfrac{\partial f}{\partial y}(x\,;\,y) = \dfrac{\partial }{\partial y} \left( 3x\cosh(xy)\cos\left(x^2+y^2\right) \right) = 3x\dfrac{\partial }{\partial y} \left( \cosh(xy)\cos\left(x^2+y^2\right) \right)
Ce qui nous donne :
∂f∂y(x ; y)=3x(∂∂y(cosh⁡(xy))cos⁡(x2+y2)+cosh⁡(xy)∂∂y(cos⁡(x2+y2)))\dfrac{\partial f}{\partial y}(x\,;\,y) = 3x\left(\dfrac{\partial }{\partial y} \left( \cosh(xy) \right) \cos\left(x^2+y^2\right) + \cosh(xy)\dfrac{\partial }{\partial y} \left( \cos\left(x^2+y^2\right) \right)\right)
Soit :
∂f∂y(x ; y)=3x(xsinh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)−cosh⁡(xy)2ysin⁡(x2+y2))\dfrac{\partial f}{\partial y}(x\,;\,y) = 3x\left(x\sinh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) - \cosh(xy)2y \sin\left(x^2+y^2\right) \right)
D'où :
∂f∂y(x ; y)=3x2sinh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)−6xycosh⁡(xy)sin⁡(x2+y2)\dfrac{\partial f}{\partial y}(x\,;\,y) = 3x^2 \sinh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) - 6xy \cosh(xy) \sin\left(x^2+y^2\right)
Finalement, cela nous donne :
∂f∂y(x ; y)=3x(xsinh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)−2ycosh⁡(xy)sin⁡(x2+y2)){\color{blue}{\boxed{ \dfrac{\partial f}{\partial y}(x\,;\,y) = 3x \left( x\sinh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) - 2y \cosh(xy) \sin\left(x^2+y^2\right)\right) }}}
On a la dérivée partielle seconde par rapport à xx suivante :
∂2f∂x2(x ; y)=∂∂x(∂∂x)(x ; y)\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x\,;\,y) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)(x\,;\,y)
Ce qui nous donne :
∂2f∂x2(x ; y)=∂∂x(3(cosh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)+xysinh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)−2x2cosh⁡(xy)sin⁡(x2+y2)))\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x\,;\,y) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left( 3\left(\cosh(xy)\cos\left(x^2+y^2\right) + xy \sinh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) - 2x^2 \cosh(xy) \sin\left(x^2+y^2 \right) \right) \right)
Ainsi :
∂2f∂x2(x ; y)=3∂∂x((cosh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)+xysinh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)−2x2cosh⁡(xy)sin⁡(x2+y2)))\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x\,;\,y) = 3\dfrac{\partial }{\partial x} \left( \left(\cosh(xy)\cos\left(x^2+y^2\right) + xy \sinh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) - 2x^2 \cosh(xy) \sin\left(x^2+y^2 \right) \right) \right)
Soit encore :
13∂2f∂x2(x ; y)=∂∂x(cosh⁡(xy)cos⁡(x2+y2))+y∂∂x(xsinh⁡(xy)cos⁡(x2+y2))−2∂∂x(x2cosh⁡(xy)sin⁡(x2+y2))\dfrac{1}{3}\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x\,;\,y) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left(\cosh(xy)\cos\left(x^2+y^2\right) \right) + y \dfrac{\partial }{\partial x} \left(x \sinh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) \right) - 2 \dfrac{\partial }{\partial x} \left(x^2 \cosh(xy) \sin\left(x^2+y^2 \right) \right)
On a alors :
13∂2f∂x2(x ; y)=∂∂x(cosh⁡(xy))cos⁡(x2+y2)+cosh⁡(xy)∂∂x(cos⁡(x2+y2))+y(∂∂x(x)sinh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)+x∂∂x(sinh⁡(xy))cos⁡(x2+y2)+xsinh⁡(xy)∂∂x(cos⁡(x2+y2)))−2(∂∂x(x2)cosh⁡(xy)sin⁡(x2+y2)+x2∂∂x(cosh⁡(xy))sin⁡(x2+y2)+x2cosh⁡(xy)∂∂x(sin⁡(x2+y2)))\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{3}\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x\,;\,y) & = & \dfrac{\partial }{\partial x} \left(\cosh(xy) \right) \cos\left(x^2+y^2\right) + \cosh(xy)\dfrac{\partial }{\partial x} \left(\cos\left(x^2+y^2\right) \right)\\ & & \\ & + & y \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \left(x \right) \sinh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) + x \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \sinh(xy)\right) \cos\left(x^2+y^2\right) + x \sinh(xy) \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \cos\left(x^2+y^2\right)\right) \right) \\ & & \\& - & 2 \left(\dfrac{\partial }{\partial x} \left(x^2 \right) \cosh(xy) \sin\left(x^2+y^2 \right) + x^2 \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \cosh(xy)\right) \sin\left(x^2+y^2 \right) + x^2 \cosh(xy) \dfrac{\partial }{\partial x} \left(\sin\left(x^2+y^2 \right) \right) \right)\end{array}
D'où :
13∂2f∂x2(x ; y)=ysinh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)−cosh⁡(xy)2xsin⁡(x2+y2)+y(1sinh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)+xycosh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)−xsinh⁡(xy)2xsin⁡(x2+y2))−2(2xcosh⁡(xy)sin⁡(x2+y2)+x2ysinh⁡(xy)sin⁡(x2+y2)+x2cosh⁡(xy)2xcos⁡(x2+y2))\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{3}\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x\,;\,y) & = & y \sinh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) - \cosh(xy) 2x \sin\left(x^2+y^2\right) \\ & & \\ & + & y \left( 1\sinh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) + xy\cosh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) - x \sinh(xy) 2x \sin\left(x^2+y^2\right) \right) \\ & & \\& - & 2 \left(2x \cosh(xy) \sin\left(x^2+y^2 \right) + x^2 y \sinh(xy) \sin\left(x^2+y^2 \right) + x^2 \cosh(xy) 2x\cos\left(x^2+y^2 \right) \right)\end{array}
Ainsi, on obtient :
13∂2f∂x2(x ; y)=2ysinh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)−6xcosh⁡(xy)sin⁡(x2+y2)+x(y2−4x2)cosh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)−4x2ysinh⁡(xy)sin⁡(x2+y2)\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{3}\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x\,;\,y) & = & 2y \sinh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) - 6x\cosh(xy) \sin\left(x^2+y^2\right) \\ & & \\ & + & x\left(y^2 -4x^2\right)\cosh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) - 4x^2y \sinh(xy)\sin\left(x^2+y^2\right) \\ & & \\ \end{array}
Plusieurs factorisations sont possibles. Par exemple, on a :
13∂2f∂x2(x ; y)=x((y2−4x2)cos⁡(x2+y2)−6sin⁡(x2+y2))cosh⁡(xy)+2y(cos⁡(x2+y2)−2x2sin⁡(x2+y2))sinh⁡(xy)\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{3}\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x\,;\,y) & = & x\left(\left(y^2 -4x^2\right) \cos\left(x^2+y^2\right) - 6 \sin\left(x^2+y^2\right) \right) \cosh(xy)\\ & & \\ & + & 2y\left( \cos\left(x^2+y^2\right) - 2x^2 \sin\left(x^2+y^2\right) \right) \sinh(xy)\\ & & \\ \end{array}
Finalement, on obtient :
∂2f∂x2(x ; y)=3x((y2−4x2)cos⁡(x2+y2)−6sin⁡(x2+y2))cosh⁡(xy)+6y(cos⁡(x2+y2)−2x2sin⁡(x2+y2))sinh⁡(xy){\color{red}{\boxed{\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x\,;\,y) = 3x\left(\left(y^2 -4x^2\right) \cos\left(x^2+y^2\right) - 6 \sin\left(x^2+y^2\right) \right) \cosh(xy) + 6y\left( \cos\left(x^2+y^2\right) - 2x^2 \sin\left(x^2+y^2\right) \right) \sinh(xy)}}}
On a la dérivée partielle seconde par rapport à yy suivante :
∂2f∂y2(x ; y)=∂∂y(∂∂y)(x ; y)\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x\,;\,y) = \dfrac{\partial }{\partial y} \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)(x\,;\,y)
Ce qui nous donne :
∂2f∂y2(x ; y)=∂∂y(3x2sinh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)−6xycosh⁡(xy)sin⁡(x2+y2))\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x\,;\,y) = \dfrac{\partial }{\partial y} \left( 3x^2 \sinh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) - 6xy \cosh(xy) \sin\left(x^2+y^2\right) \right)
Soit :
∂2f∂y2(x ; y)=3x2∂∂y(sinh⁡(xy)cos⁡(x2+y2))−6x∂∂y(ycosh⁡(xy)sin⁡(x2+y2))\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x\,;\,y) = 3x^2\dfrac{\partial }{\partial y} \left( \sinh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) \right) - 6x\dfrac{\partial }{\partial y} \left(y \cosh(xy) \sin\left(x^2+y^2\right) \right)
Donc :
∂2f∂y2(x ; y)=3x2(∂∂y(sinh⁡(xy))cos⁡(x2+y2)+sinh⁡(xy)∂∂y(cos⁡(x2+y2)))−6x(∂∂y(y)cosh⁡(xy)sin⁡(x2+y2)+y∂∂y(cosh⁡(xy))sin⁡(x2+y2)+ycosh⁡(xy)∂∂y(sin⁡(x2+y2)))\begin{array}{rcl}\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x\,;\,y) & = & 3x^2 \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \left( \sinh(xy) \right) \cos\left(x^2+y^2\right) + \sinh(xy) \dfrac{\partial }{\partial y} \left( \cos\left(x^2+y^2\right)\right) \right) \\ & & \\ & - & 6x \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \left(y\right) \cosh(xy)\sin\left(x^2+y^2\right) + y \dfrac{\partial }{\partial y} \left( \cosh(xy) \right) \sin\left(x^2+y^2\right) + y \cosh(xy) \dfrac{\partial }{\partial y} \left( \sin\left(x^2+y^2\right)\right)\right) \\ \end{array}
Ce qui nous donne :
∂2f∂y2(x ; y)=3x2(xcosh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)−sinh⁡(xy)2ysin⁡(x2+y2))−6x(1cosh⁡(xy)sin⁡(x2+y2)+yxsinh⁡(xy)sin⁡(x2+y2)+ycosh⁡(xy)2ycos⁡(x2+y2))\begin{array}{rcl}\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x\,;\,y) & = & 3x^2 \left( x\cosh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) - \sinh(xy) 2y \sin\left(x^2+y^2\right)\right) \\ & & \\ & - & 6x \left( 1 \cosh(xy)\sin\left(x^2+y^2\right) + y x\sinh(xy) \sin\left(x^2+y^2\right) + y \cosh(xy) 2y \cos\left(x^2+y^2\right) \right) \\ \end{array}
Soit encore :
∂2f∂y2(x ; y)=3x3cosh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)−6x2ysinh⁡(xy)sin⁡(x2+y2)−6xcosh⁡(xy)sin⁡(x2+y2)−6x2ysinh⁡(xy)sin⁡(x2+y2)−12xy2cosh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)\begin{array}{rcl}\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x\,;\,y) & = & 3x^3\cosh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) - 6x^2y\sinh(xy) \sin\left(x^2+y^2\right) \\ & & \\ & - & 6x \cosh(xy)\sin\left(x^2+y^2\right) - 6x^2y \sinh(xy) \sin\left(x^2+y^2\right) - 12xy^2 \cosh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) \\ \end{array}
Plusieurs factorisations sont possibles. On a par exemple :
∂2f∂y2(x ; y)=3x((x2−4y2)cos⁡(x2+y2)−2sin⁡(x2+y2))cosh⁡(xy)−12x2ysin⁡(x2+y2)sinh⁡(xy){\color{red}{\boxed{\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x\,;\,y) = 3x \left(\left( x^2 - 4y^2 \right) \cos\left(x^2+y^2\right) - 2 \sin\left(x^2+y^2\right)\right) \cosh(xy) - 12 x^2 y \sin\left(x^2+y^2\right) \sinh(xy) }}}
Puis, on a la première dérivée partielle seconde croisée suivante :
∂2f∂x ∂y(x ; y)=∂∂x(∂f∂y)(x ; y)=∂∂x(3x2sinh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)−6xycosh⁡(xy)sin⁡(x2+y2))\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}(x\,;\,y) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)(x\,;\,y) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left( 3x^2 \sinh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) - 6xy \cosh(xy) \sin\left(x^2+y^2\right) \right)
Soit :
∂2f∂x ∂y(x ; y)=3∂∂x(x2sinh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)−2xycosh⁡(xy)sin⁡(x2+y2))\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}(x\,;\,y) = 3\dfrac{\partial }{\partial x} \left( x^2 \sinh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) - 2xy \cosh(xy) \sin\left(x^2+y^2\right) \right)
Soit encore :
13∂2f∂x ∂y(x ; y)=∂∂x(x2)sinh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)+x2∂∂x(sinh⁡(xy))cos⁡(x2+y2)+x2sinh⁡(xy)∂∂x(cos⁡(x2+y2))−2y(∂∂x(x)cosh⁡(xy)sin⁡(x2+y2)+x∂∂x(cosh⁡(xy))sin⁡(x2+y2)+xcosh⁡(xy)∂∂x(sin⁡(x2+y2)))\begin{array}{rcl}\dfrac{1}{3}\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}(x\,;\,y) & = & \dfrac{\partial }{\partial x} \left( x^2 \right) \sinh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) + x^2 \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \sinh(xy) \right) \cos\left(x^2+y^2\right) + x^2 \sinh(xy) \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \cos\left(x^2+y^2\right) \right)\\ & & \\ & - & 2y \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \left( x \right) \cosh(xy) \sin\left(x^2+y^2\right) + x \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \cosh(xy) \right) \sin\left(x^2+y^2\right) + x \cosh(xy) \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \sin\left(x^2+y^2\right) \right) \right) \\ \end{array}
Ce qui nous donne :
13∂2f∂x ∂y(x ; y)=2xsinh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)+x2ycosh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)−x2sinh⁡(xy)2xsin⁡(x2+y2)−2y(1cosh⁡(xy)sin⁡(x2+y2)+xysinh⁡(xy)sin⁡(x2+y2)+xcosh⁡(xy)2xcos⁡(x2+y2))\begin{array}{rcl}\dfrac{1}{3}\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}(x\,;\,y) & = & 2x \sinh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) + x^2 y\cosh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) - x^2 \sinh(xy) 2x \sin\left(x^2+y^2\right) \\ & & \\ & - & 2y \left(1\cosh(xy) \sin\left(x^2+y^2\right) + xy \sinh(xy) \sin\left(x^2+y^2\right) + x \cosh(xy) 2x\cos\left(x^2+y^2\right) \right) \\ \end{array}
Soit encore :
13∂2f∂x ∂y(x ; y)=2xsinh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)+x2ycosh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)−2x3sinh⁡(xy)sin⁡(x2+y2)−2ycosh⁡(xy)sin⁡(x2+y2)−2xy2sinh⁡(xy)sin⁡(x2+y2)−4x2ycosh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)\begin{array}{rcl}\dfrac{1}{3}\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}(x\,;\,y) & = & 2x \sinh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) + x^2 y\cosh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) - 2x^3 \sinh(xy)\sin\left(x^2+y^2\right) \\ & & \\ & - & 2y \cosh(xy) \sin\left(x^2+y^2\right) - 2xy^2 \sinh(xy) \sin\left(x^2+y^2\right) - 4x^2y \cosh(xy)\cos\left(x^2+y^2\right) \\ \end{array}
D'où :
13∂2f∂x ∂y(x ; y)=2xsinh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)−3x2ycosh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)−2x(x2+y2)sinh⁡(xy)sin⁡(x2+y2)−2ycosh⁡(xy)sin⁡(x2+y2)\begin{array}{rcl}\dfrac{1}{3}\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}(x\,;\,y) & = & 2x \sinh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) - 3x^2 y\cosh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) - 2x \left(x^2 + y^2\right) \sinh(xy)\sin\left(x^2+y^2\right) \\ & & \\ & - & 2y \cosh(xy) \sin\left(x^2+y^2\right) \\ \end{array}
Finalement :
∂2f∂x ∂y(x ; y)=3x(2sinh⁡(xy)−3xycosh⁡(xy))cos⁡(x2+y2)−6(x(x2+y2)sinh⁡(xy)+ycosh⁡(xy))sin⁡(x2+y2){\color{green}{\boxed{\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}(x\,;\,y) = 3x\left( 2 \sinh(xy) - 3x y\cosh(xy) \right) \cos\left(x^2+y^2\right) - 6 \left( x \left(x^2 + y^2\right) \sinh(xy) + y \cosh(xy) \right) \sin\left(x^2+y^2\right) }}}
Enfin, on a la seconde dérivée partielle seconde croisée suivante :
∂2f∂y ∂x(x ; y)=∂∂y(∂f∂x)(x ; y)\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x}(x\,;\,y) = \dfrac{\partial }{\partial y} \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)(x\,;\,y)
Soit :
∂2f∂y ∂x(x ; y)=∂∂y(3(cosh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)+xysinh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)−2x2cosh⁡(xy)sin⁡(x2+y2)))\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x}(x\,;\,y) = \dfrac{\partial }{\partial y} \left( 3\left(\cosh(xy)\cos\left(x^2+y^2\right) + xy \sinh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) - 2x^2 \cosh(xy) \sin\left(x^2+y^2 \right) \right) \right)
Soit encore :
13∂2f∂y ∂x(x ; y)=∂∂y(cosh⁡(xy)cos⁡(x2+y2))+x∂∂y(ysinh⁡(xy)cos⁡(x2+y2))−2x2∂∂y(cosh⁡(xy)sin⁡(x2+y2))\dfrac{1}{3}\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x}(x\,;\,y) = \dfrac{\partial }{\partial y} \left( \cosh(xy)\cos\left(x^2+y^2\right) \right) + x \dfrac{\partial }{\partial y} \left( y \sinh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) \right) - 2x^2 \dfrac{\partial }{\partial y} \left(\cosh(xy) \sin\left(x^2+y^2 \right) \right)
Ainsi :
13∂2f∂y ∂x(x ; y)=∂∂y(cosh⁡(xy))cos⁡(x2+y2)+cosh⁡(xy)∂∂y(cos⁡(x2+y2))+x(∂∂y(y)sinh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)+y∂∂y(sinh⁡(xy))cos⁡(x2+y2)+ysinh⁡(xy)∂∂y(cos⁡(x2+y2)))−2x2(∂∂y(cosh⁡(xy))sin⁡(x2+y2)+cosh⁡(xy)∂∂y(sin⁡(x2+y2)))\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{3}\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x}(x\,;\,y) & = & \dfrac{\partial }{\partial y} \left( \cosh(xy) \right) \cos\left(x^2+y^2\right) + \cosh(xy) \dfrac{\partial }{\partial y} \left( \cos\left(x^2+y^2\right) \right)\\ & & \\ & + & x \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \left( y \right) \sinh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) + y \dfrac{\partial }{\partial y} \left(\sinh(xy) \right) \cos\left(x^2+y^2\right) + y\sinh(xy) \dfrac{\partial }{\partial y} \left( \cos\left(x^2+y^2\right) \right)\right) \\ & & \\ & - & 2x^2 \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \left(\cosh(xy) \right) \sin\left(x^2+y^2 \right) + \cosh(xy) \dfrac{\partial }{\partial y} \left(\sin\left(x^2+y^2\right) \right)\right)\\ \end{array}
On a alors :
13∂2f∂y ∂x(x ; y)=xsinh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)−cosh⁡(xy)2ysin⁡(x2+y2)+x(1sinh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)+yxcosh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)−ysinh⁡(xy)2ysin⁡(x2+y2))−2x2(xsinh⁡(xy)sin⁡(x2+y2)+cosh⁡(xy)2ycos⁡(x2+y2))\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{3}\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x}(x\,;\,y) & = & x\sinh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) - \cosh(xy) 2y\sin\left(x^2+y^2\right) \\ & & \\ & + & x \left( 1 \sinh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) + y x\cosh(xy)\cos\left(x^2+y^2\right) - y\sinh(xy) 2y\sin\left(x^2+y^2\right) \right) \\ & & \\ & - & 2x^2 \left( x\sinh(xy) \sin\left(x^2+y^2 \right) + \cosh(xy) 2y\cos\left(x^2+y^2\right)\right)\\ \end{array}
Ce qui nous donne :
13∂2f∂y ∂x(x ; y)=xsinh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)−2ycosh⁡(xy)sin⁡(x2+y2)+xsinh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)+x2ycosh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)−2xy2sinh⁡(xy)sin⁡(x2+y2)−2x3sinh⁡(xy)sin⁡(x2+y2)−4x2ycosh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{3}\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x}(x\,;\,y) & = & x\sinh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) - 2y\cosh(xy) \sin\left(x^2+y^2\right) \\ & & \\ & + & x\sinh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) + x^2y\cosh(xy)\cos\left(x^2+y^2\right) - 2xy^2\sinh(xy)\sin\left(x^2+y^2\right) \\ & & \\ & - & 2x^3\sinh(xy) \sin\left(x^2+y^2 \right) - 4x^2y\cosh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right)\\ \end{array}
Donc :
13∂2f∂y ∂x(x ; y)=2xsinh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)−2ycosh⁡(xy)sin⁡(x2+y2)−2x(x2+y2)sinh⁡(xy)sin⁡(x2+y2)−3x2ycosh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{3}\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x}(x\,;\,y) & = & 2x\sinh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) - 2y\cosh(xy) \sin\left(x^2+y^2\right) - 2x \left(x^2 + y^2 \right)\sinh(xy)\sin\left(x^2+y^2\right) \\ & & \\ & - & 3x^2y\cosh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right)\\ \end{array}
Finalement, on obtient :
∂2f∂y ∂x(x ; y)=3x(2sinh⁡(xy)−3xycosh⁡(xy))cos⁡(x2+y2)−6(x(x2+y2)sinh⁡(xy)+ycosh⁡(xy))sin⁡(x2+y2){\color{green}{\boxed{\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x}(x\,;\,y) = 3x\left( 2 \sinh(xy) - 3x y\cosh(xy) \right) \cos\left(x^2+y^2\right) - 6 \left( x \left(x^2 + y^2\right) \sinh(xy) + y \cosh(xy) \right) \sin\left(x^2+y^2\right) }}}
Enfin la différentielle dfdf va s'écrire :
df(x ; y)=∂f∂x(x ; y) dx+∂f∂y(x ; y) dydf(x\,;\,y) = \dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,y) \, dx + \dfrac{\partial f}{\partial y}(x\,;\,y) \, dy
Finalement, on obtient l'expression suivante :
df(x ; y)=3(cosh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)+xysinh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)−2x2cosh⁡(xy)sin⁡(x2+y2)) dx+3x(xsinh⁡(xy)cos⁡(x2+y2)−2ycosh⁡(xy)sin⁡(x2+y2)) dy{\color{black}{\boxed{ \begin{array}{rcl} df(x\,;\,y) & = & 3\left(\cosh(xy)\cos\left(x^2+y^2\right) + xy \sinh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) - 2x^2 \cosh(xy) \sin\left(x^2+y^2 \right) \right) \, dx \\ & & \\ & + & 3x \left( x\sinh(xy) \cos\left(x^2+y^2\right) - 2y \cosh(xy) \sin\left(x^2+y^2\right) \right) \, dy \\ \end{array} }}}
Question 3
Pour la fonction ff proposée ci-dessous, déterminer les dérivées partielles premières, secondes et secondes croisées. Puis, vous écrirez l'expression de la différentielle dfdf.

Soit AA, λ\lambda, kk et ω\omega quatre constantes réelles strictement positives. Soit φ\varphi une grandeur réelle. On considère la fonction suivante : (x ; y)∈R2 ⟼f(x ; t)=Ae−λtcos⁡(kx+ωt+φ)(x\,;\,y) \in \mathbb{R}^2\, \longmapsto f(x\,;\,t) = Ae^{-\lambda t}\cos\left(kx + \omega t + \varphi \right)

Correction
On a la dérivée partielle première par rapport à xx suivante :
∂f∂x(x ; t)=∂∂x(Ae−λtcos⁡(kx+ωt+φ))=Ae−λt∂∂x(cos⁡(kx+ωt+φ))\dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left( Ae^{-\lambda t}\cos\left(kx + \omega t + \varphi \right) \right) = A e^{-\lambda t}\dfrac{\partial }{\partial x} \left( \cos\left(kx + \omega t + \varphi \right) \right)
Ce qui nous donne :
∂f∂x(x ; t)=−Ae−λt∂∂x(kx+ωt+φ)sin⁡(kx+ωt+φ)\dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,t) = - A e^{-\lambda t} \dfrac{\partial }{\partial x} \left( kx + \omega t + \varphi \right) \sin\left(kx + \omega t + \varphi \right)
Soit :
∂f∂x(x ; t)=−Ae−λtksin⁡(kx+ωt+φ)\dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,t) = - A e^{-\lambda t} k\sin\left(kx + \omega t + \varphi \right)
Finalement :
∂f∂x(x ; t)=−kAe−λtsin⁡(kx+ωt+φ){\color{blue}{\boxed{ \dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,t) = -kAe^{-\lambda t}\sin\left(kx + \omega t + \varphi \right) }}}
On a la dérivée partielle première par rapport à tt suivante :
∂f∂t(x ; t)=∂∂t(Ae−λtcos⁡(kx+ωt+φ))=A∂∂t(e−λtcos⁡(kx+ωt+φ))\dfrac{\partial f}{\partial t}(x\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial t} \left( Ae^{-\lambda t}\cos\left(kx + \omega t + \varphi \right) \right) = A \dfrac{\partial }{\partial t} \left( e^{-\lambda t} \cos\left(kx + \omega t + \varphi \right) \right)
Ce qui nous donne :
∂f∂t(x ; t)=A(∂∂t(e−λt)cos⁡(kx+ωt+φ)+e−λt∂∂t(cos⁡(kx+ωt+φ)))\dfrac{\partial f}{\partial t}(x\,;\,t) = A \left( \dfrac{\partial }{\partial t} \left( e^{-\lambda t} \right) \cos\left(kx + \omega t + \varphi \right) + e^{-\lambda t} \dfrac{\partial }{\partial t} \left( \cos\left(kx + \omega t + \varphi \right) \right) \right)
Soit :
∂f∂t(x ; t)=A(−λe−λtcos⁡(kx+ωt+φ)−e−λt∂∂t(kx+ωt+φ)sin⁡(kx+ωt+φ))\dfrac{\partial f}{\partial t}(x\,;\,t) = A \left( - \lambda e^{-\lambda t} \cos\left(kx + \omega t + \varphi \right) - e^{-\lambda t} \dfrac{\partial }{\partial t} \left( kx + \omega t + \varphi \right) \sin\left(kx + \omega t + \varphi \right)\right)
Soit encore :
∂f∂t(x ; t)=A(−λe−λtcos⁡(kx+ωt+φ)−e−λtωsin⁡(kx+ωt+φ))\dfrac{\partial f}{\partial t}(x\,;\,t) = A \left( - \lambda e^{-\lambda t} \cos\left(kx + \omega t + \varphi \right) - e^{-\lambda t} \omega \sin\left(kx + \omega t + \varphi \right)\right)
Finalement :
∂f∂t(x ; t)=−Ae−λt(λcos⁡(kx+ωt+φ)+ωsin⁡(kx+ωt+φ)){\color{blue}{\boxed{ \dfrac{\partial f}{\partial t}(x\,;\,t) = -Ae^{-\lambda t} \left( \lambda \cos\left(kx + \omega t + \varphi \right) + \omega\sin\left(kx + \omega t + \varphi \right) \right) }}}
On a la dérivée partielle seconde par rapport à xx suivante :
∂2f∂x2(x ; y)=∂∂x(∂∂x)(x ; t)\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x\,;\,y) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)(x\,;\,t)
Ce qui nous donne :
∂2f∂x2(x ; t)=∂∂x(−kAe−λtsin⁡(kx+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left( -kAe^{-\lambda t}\sin\left(kx + \omega t + \varphi \right) \right)
Ainsi :
∂2f∂x2(x ; t)=−kAe−λt∂∂x(sin⁡(kx+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x\,;\,t) = -kAe^{-\lambda t}\dfrac{\partial }{\partial x} \left( \sin\left(kx + \omega t + \varphi \right) \right)
D'où :
∂2f∂x2(x ; t)=−kAe−λt∂∂x(kx+ωt+φ)cos⁡(kx+ωt+φ)\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x\,;\,t) = -kAe^{-\lambda t}\dfrac{\partial }{\partial x} \left( kx + \omega t + \varphi \right) \cos\left(kx + \omega t + \varphi \right)
Ce qui nous donne :
∂2f∂x2(x ; t)=−kAe−λtkcos⁡(kx+ωt+φ)\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x\,;\,t) = -kAe^{-\lambda t}k \cos\left(kx + \omega t + \varphi \right)
Finalement :
∂2f∂x2(x ; t)=−k2Ae−λtcos⁡(kx+ωt+φ){\color{red}{\boxed{ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x\,;\,t) = -k^2Ae^{-\lambda t} \cos\left(kx + \omega t + \varphi \right)}}}
Puis, on a la dérivée partielle seconde par rapport au temps tt suivante :
∂2f∂t2(x ; y)=∂∂t(∂∂t)(x ; t)\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}(x\,;\,y) = \dfrac{\partial }{\partial t} \left( \dfrac{\partial }{\partial t} \right)(x\,;\,t)
Ce qui nous donne :
∂2f∂t2(x ; t)=∂∂t(−Ae−λt(λcos⁡(kx+ωt+φ)+ωsin⁡(kx+ωt+φ)))\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}(x\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial t} \left( -Ae^{-\lambda t} \left( \lambda \cos\left(kx + \omega t + \varphi \right) + \omega\sin\left(kx + \omega t + \varphi \right) \right) \right)
Ainsi :
∂2f∂t2(x ; t)=−A∂∂t(e−λt(λcos⁡(kx+ωt+φ)+ωsin⁡(kx+ωt+φ)))\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}(x\,;\,t) = -A\dfrac{\partial }{\partial t} \left( e^{-\lambda t} \left( \lambda \cos\left(kx + \omega t + \varphi \right) + \omega\sin\left(kx + \omega t + \varphi \right) \right) \right)
Ce sui nous donne :
∂2f∂t2(x ; t)=−A(∂∂t(e−λt)(λcos⁡(kx+ωt+φ)+ωsin⁡(kx+ωt+φ))+e−λt∂∂t(λcos⁡(kx+ωt+φ)+ωsin⁡(kx+ωt+φ)))\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}(x\,;\,t) = -A \left(\dfrac{\partial }{\partial t} \left( e^{-\lambda t} \right) \left( \lambda \cos\left(kx + \omega t + \varphi \right) + \omega\sin\left(kx + \omega t + \varphi \right) \right) + e^{-\lambda t} \dfrac{\partial }{\partial t} \left( \lambda\cos\left(kx + \omega t + \varphi \right) + \omega\sin\left(kx + \omega t + \varphi \right) \right)\right)
On a alors :
∂2f∂t2(x ; t)=−A(−λe−λt(λcos⁡(kx+ωt+φ)+ωsin⁡(kx+ωt+φ))+e−λtω(−λsin⁡(kx+ωt+φ)+ωcos⁡(kx+ωt+φ)))\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}(x\,;\,t) = -A \left( - \lambda e^{-\lambda t} \left( \lambda \cos\left(kx + \omega t + \varphi \right) + \omega\sin\left(kx + \omega t + \varphi \right) \right) + e^{-\lambda t} \omega \left(- \lambda\sin\left(kx + \omega t + \varphi \right) + \omega\cos\left(kx + \omega t + \varphi \right) \right)\right)
Ainsi :
∂2f∂t2(x ; t)=Ae−λt(λ(λcos⁡(kx+ωt+φ)+ωsin⁡(kx+ωt+φ))−ω(−λsin⁡(kx+ωt+φ)+ωcos⁡(kx+ωt+φ)))\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}(x\,;\,t) = A e^{-\lambda t}\left( \lambda\left( \lambda \cos\left(kx + \omega t + \varphi \right) + \omega\sin\left(kx + \omega t + \varphi \right) \right) - \omega \left(- \lambda\sin\left(kx + \omega t + \varphi \right) + \omega\cos\left(kx + \omega t + \varphi \right) \right)\right)
D'où :
∂2f∂t2(x ; t)=Ae−λt(λ2cos⁡(kx+ωt+φ)+λωsin⁡(kx+ωt+φ)+λωsin⁡(kx+ωt+φ)−ω2cos⁡(kx+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}(x\,;\,t) = A e^{-\lambda t}\left( \lambda^2 \cos\left(kx + \omega t + \varphi \right) + \lambda \omega \sin\left(kx + \omega t + \varphi \right) + \lambda \omega \sin\left(kx + \omega t + \varphi \right) - \omega^2 \cos\left(kx + \omega t + \varphi \right) \right)
Ce qui nous donne finalement :
∂2f∂t2(x ; t)=Ae−λt(λ2cos⁡(kx+ωt+φ)+2λωsin⁡(kx+ωt+φ)−ω2cos⁡(kx+ωt+φ)){\color{red}{\boxed{ \dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}(x\,;\,t) = A e^{-\lambda t}\left( \lambda^2 \cos\left(kx + \omega t + \varphi \right) + 2\lambda \omega \sin\left(kx + \omega t + \varphi \right) - \omega^2 \cos\left(kx + \omega t + \varphi \right) \right) }}}
Puis, on a la première dérivée partielle seconde croisée suivante :
∂2f∂x ∂t(x ; t)=∂∂x(∂f∂t)(x ; t)=∂∂x(−Ae−λt(λcos⁡(kx+ωt+φ)+ωsin⁡(kx+ωt+φ)))\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial t}(x\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \dfrac{\partial f}{\partial t} \right)(x\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left( -Ae^{-\lambda t} \left( \lambda \cos\left(kx + \omega t + \varphi \right) + \omega\sin\left(kx + \omega t + \varphi \right) \right) \right)
Soit :
∂2f∂x ∂t(x ; t)=−Ae−λt∂∂x(λcos⁡(kx+ωt+φ)+ωsin⁡(kx+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial t}(x\,;\,t) = -Ae^{-\lambda t}\dfrac{\partial }{\partial x} \left( \lambda \cos\left(kx + \omega t + \varphi \right) + \omega\sin\left(kx + \omega t + \varphi \right) \right)
On a alors :
∂2f∂x ∂t(x ; t)=−Ae−λt(−λksin⁡(kx+ωt+φ)+ωkcos⁡(kx+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial t}(x\,;\,t) = -Ae^{-\lambda t} \left( -\lambda k \sin\left(kx + \omega t + \varphi \right) + \omega k \cos\left(kx + \omega t + \varphi \right) \right)
Ce qui nous donne :
∂2f∂x ∂t(x ; t)=−Ake−λt(−λsin⁡(kx+ωt+φ)+ωcos⁡(kx+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial t}(x\,;\,t) = -Ake^{-\lambda t} \left( -\lambda \sin\left(kx + \omega t + \varphi \right) + \omega \cos\left(kx + \omega t + \varphi \right) \right)
Finalement :
∂2f∂x ∂t(x ; t)=Akeλt(λsin⁡(kx+ωt+φ)−ωcos⁡(kx+ωt+φ)){\color{green}{\boxed{ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial t}(x\,;\,t) = Ake^{\lambda t} \left( \lambda \sin\left(kx + \omega t + \varphi \right) - \omega \cos\left(kx + \omega t + \varphi \right) \right) }}}
Puis, on a la seconde dérivée partielle croisée suivante :
∂2f∂t ∂x(x ; t)=∂∂t(∂f∂x)(x ; t)=∂∂t(−kAe−λtsin⁡(kx+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial t \, \partial x}(x\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial t} \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)(x\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial t} \left( -kAe^{-\lambda t}\sin\left(kx + \omega t + \varphi \right) \right)
Soit :
∂2f∂t ∂x(x ; t)=−kA∂∂t(e−λtsin⁡(kx+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial t \, \partial x}(x\,;\,t) = -kA\dfrac{\partial }{\partial t} \left( e^{-\lambda t}\sin\left(kx + \omega t + \varphi \right)\right)
On a alors :
∂2f∂t ∂x(x ; t)=−kA(∂∂t(e−λt)sin⁡(kx+ωt+φ)+e−λt∂∂t(sin⁡(kx+ωt+φ)))\dfrac{\partial^2 f}{\partial t \, \partial x}(x\,;\,t) = -kA \left( \dfrac{\partial }{\partial t} \left( e^{-\lambda t}\right) \sin\left(kx + \omega t + \varphi \right) + e^{-\lambda t} \dfrac{\partial }{\partial t} \left(\sin\left(kx + \omega t + \varphi \right) \right)\right)
Ce qui nous donne :
∂2f∂t ∂x(x ; t)=−kA(−λe−λtsin⁡(kx+ωt+φ)+e−λtωcos⁡(kx+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial t \, \partial x}(x\,;\,t) = -kA \left( -\lambda e^{-\lambda t} \sin\left(kx + \omega t + \varphi \right) + e^{-\lambda t} \omega \cos\left(kx + \omega t + \varphi \right) \right)
Finalement :
∂2f∂x ∂t(x ; t)=Akeλt(λsin⁡(kx+ωt+φ)−ωcos⁡(kx+ωt+φ)){\color{green}{\boxed{ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial t}(x\,;\,t) = Ake^{\lambda t} \left( \lambda \sin\left(kx + \omega t + \varphi \right) - \omega \cos\left(kx + \omega t + \varphi \right) \right) }}}
Enfin la différentielle dfdf va s'écrire :
df(x ; t)=∂f∂x(x ; t) dx+∂f∂t(x ; t) dtdf(x\,;\,t) = \dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,t) \, dx + \dfrac{\partial f}{\partial t}(x\,;\,t) \, dt
Finalement, on obtient l'expression suivante :
df(x ; t)=−Ae−λt(ksin⁡(kx+ωt+φ) dx+(λcos⁡(kx+ωt+φ)+ωsin⁡(kx+ωt+φ)) dt){\color{black}{\boxed{ df(x\,;\,t) = -Ae^{-\lambda t} \left( k\sin\left(kx + \omega t + \varphi \right) \, dx + \left( \lambda \cos\left(kx + \omega t + \varphi \right) + \omega\sin\left(kx + \omega t + \varphi \right) \right) \, dt \right) }}}
Question 4

Soit i2=−1i^2 = -1. Soit AA une fonction réelle au moins deux fois dérivables sur chacune des deux variables réelles yy et zz. Soit kxk_x, kyk_y, kzk_z et ω\omega quatre constantes réelles strictement positives. Soit φ\varphi une grandeur réelle. On considère la fonction suivante : (x ; y ; z) ; t∈R3×R+ ⟼f(x ; y ; z ; t)=A(y ; z)ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)(x\,;\,y\,;\,z)\,;\, t \in \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^{+}\, \longmapsto f(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = A(y\,;\,z)e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)}
Pour la fonction ff proposée ci-dessous, déterminer les dérivées partielles premières, secondes et secondes croisées. Puis, vous écrirez l'expression de la différentielle dfdf.

Correction
On a :
∂f∂x(x ; y ; z ; t)=∂∂x(A(y ; z)ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))=A(y ; z)∂∂x(ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial x}\left( A(y\,;\,z)e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right) = A(y\,;\,z) \dfrac{\partial }{\partial x}\left( e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
Soit :
∂f∂x(x ; y ; z ; t)=ikxA(y ; z)ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ){\color{blue}{\boxed{ \dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = i k_x A(y\,;\,z) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} }}}
Puis, on a :
∂f∂y(x ; y ; z ; t)=∂∂y(A(y ; z)ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial f}{\partial y}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial y}\left( A(y\,;\,z)e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
Soit :
∂f∂y(x ; y ; z ; t)=∂∂y(A(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)+A(y ; z)∂∂y(ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial f}{\partial y}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial y}\left( A(y\,;\,z) \right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} + A(y\,;\,z)\dfrac{\partial }{\partial y}\left(e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
Donc :
∂f∂y(x ; y ; z ; t)=∂∂y(A(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)+A(y ; z)ikyei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)\dfrac{\partial f}{\partial y}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial y}\left( A(y\,;\,z) \right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} + A(y\,;\,z) i k_y e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)}
Finalement :
∂f∂y(x ; y ; z ; t)=(∂∂y(A(y ; z))+ikyA(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ){\color{blue}{\boxed{ \dfrac{\partial f}{\partial y}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \left( \dfrac{\partial }{\partial y}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_y A(y\,;\,z) \right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} }}}
On a également :
∂f∂z(x ; y ; z ; t)=∂∂z(A(y ; z)ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial f}{\partial z}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial z}\left( A(y\,;\,z)e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
Soit :
∂f∂z(x ; y ; z ; t)=∂∂z(A(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)+A(y ; z)∂∂z(ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial f}{\partial z}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial z}\left( A(y\,;\,z) \right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} + A(y\,;\,z)\dfrac{\partial }{\partial z}\left(e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
Donc :
∂f∂z(x ; y ; z ; t)=∂∂z(A(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)+A(y ; z)ikzei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)\dfrac{\partial f}{\partial z}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial z}\left( A(y\,;\,z) \right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} + A(y\,;\,z) i k_z e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)}
Finalement :
∂f∂z(x ; y ; z ; t)=(∂∂z(A(y ; z))+ikzA(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ){\color{blue}{\boxed{ \dfrac{\partial f}{\partial z}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \left( \dfrac{\partial }{\partial z}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_z A(y\,;\,z) \right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} }}}
Enfin, on a :
∂f∂t(x ; y ; z ; t)=∂∂t(A(y ; z)ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))=A(y ; z)∂∂t(ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial f}{\partial t}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial t}\left( A(y\,;\,z)e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right) = A(y\,;\,z) \dfrac{\partial }{\partial t}\left( e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
Soit :
∂f∂t(x ; y ; z ; t)=iωA(y ; z)ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ){\color{blue}{\boxed{ \dfrac{\partial f}{\partial t}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = i \omega A(y\,;\,z) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} }}}
La dérivée partielle seconde en xx est donnée par :
∂2f∂x2(x ; y ; z ; t)=∂∂x(∂f∂x)(x ; y ; z ; t)=∂∂x(ikxA(y ; z)ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial x}\left( \dfrac{\partial f}{\partial x}\right)(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial x}\left( i k_x A(y\,;\,z) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
Soit :
∂2f∂x2(x ; y ; z ; t)=ikxA(y ; z)∂∂x(ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = i k_x A(y\,;\,z)\dfrac{\partial }{\partial x}\left( e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
Soit encore :
∂2f∂x2(x ; y ; z ; t)=i2kx2A(y ; z)ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = i^2 k_x^2 A(y\,;\,z) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)}
Finalement :
∂2f∂x2(x ; y ; z ; t)=−kx2A(y ; z)ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ){\color{red}{\boxed{ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = - k_x^2 A(y\,;\,z) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} }}}
De plus la dérivée partielle seconde en yy est donnée par :
∂2f∂y2(x ; y ; z ; t)=∂∂y(∂f∂y)(x ; y ; z ; t)=∂∂y((∂∂y(A(y ; z))+ikyA(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial y}\left( \dfrac{\partial f}{\partial y}\right)(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial y}\left( \left( \dfrac{\partial }{\partial y}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_y A(y\,;\,z) \right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
Soit :
∂2f∂y2(x ; y ; z ; t)=∂∂y(∂∂y(A(y ; z))+ikyA(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)+(∂∂y(A(y ; z))+ikyA(y ; z))∂∂y(ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial y}\left( \dfrac{\partial }{\partial y}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_y A(y\,;\,z) \right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} + \left( \dfrac{\partial }{\partial y}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_y A(y\,;\,z) \right) \dfrac{\partial }{\partial y}\left( e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
Soit encore :
∂2f∂y2(x ; y ; z ; t)=(∂2∂y2(A(y ; z))+iky∂∂y(A(y ; z)))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)+(∂∂y(A(y ; z))+ikyA(y ; z))ikyei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \left(\dfrac{\partial^2 }{\partial y^2}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_y \dfrac{\partial }{\partial y}\left( A(y\,;\,z) \right) \right)e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} + \left( \dfrac{\partial }{\partial y}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_y A(y\,;\,z) \right) i k_y e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)}
Finalement :
∂2f∂y2(x ; y ; z ; t)=(∂2∂y2(A(y ; z))+2iky∂∂y(A(y ; z))−ky2A(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ){\color{red}{\boxed{ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial y^2}\left( A(y\,;\,z) \right) + 2 i k_y \dfrac{\partial }{\partial y}\left( A(y\,;\,z) \right) - k_y^2A(y\,;\,z)\right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} }}}
De plus la dérivée partielle seconde en zz est donnée par :
∂2f∂z2(x ; y ; z ; t)=∂∂z(∂f∂z)(x ; y ; z ; t)=∂∂z((∂∂z(A(y ; z))+ikzA(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial z}\left( \dfrac{\partial f}{\partial z}\right)(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial z}\left( \left( \dfrac{\partial }{\partial z}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_z A(y\,;\,z) \right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
Soit :
∂2f∂z2(x ; y ; z ; t)=∂∂z(∂∂z(A(y ; z))+ikzA(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)+(∂∂z(A(y ; z))+ikzA(y ; z))∂∂z(ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial z}\left( \dfrac{\partial }{\partial z}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_z A(y\,;\,z) \right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} + \left( \dfrac{\partial }{\partial z}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_z A(y\,;\,z) \right) \dfrac{\partial }{\partial z}\left( e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
Soit encore :
∂2f∂z2(x ; y ; z ; t)=(∂2∂z2(A(y ; z))+ikz∂∂z(A(y ; z)))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)+(∂∂z(A(y ; z))+ikzA(y ; z))ikzei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)\dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \left(\dfrac{\partial^2 }{\partial z^2}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_z \dfrac{\partial }{\partial z}\left( A(y\,;\,z) \right) \right)e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} + \left( \dfrac{\partial }{\partial z}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_z A(y\,;\,z) \right) i k_z e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)}
Finalement :
∂2f∂z2(x ; y ; z ; t)=(∂2∂z2(A(y ; z))+2ikz∂∂z(A(y ; z))−ky2A(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ){\color{red}{\boxed{ \dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial z^2}\left( A(y\,;\,z) \right) + 2 i k_z \dfrac{\partial }{\partial z}\left( A(y\,;\,z) \right) - k_y^2A(y\,;\,z)\right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} }}}
Enfin, la dérivée partielle seconde en tt est donnée par :
∂2f∂t2(x ; y ; z ; t)=∂∂t(∂f∂t)(x ; y ; z ; t)=∂∂t(iωA(y ; z)ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial t}\left( \dfrac{\partial f}{\partial t}\right)(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial t}\left( i \omega A(y\,;\,z) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
Soit :
∂2f∂t2(x ; y ; z ; t)=iωA(y ; z)∂∂t(ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = i \omega A(y\,;\,z)\dfrac{\partial }{\partial t}\left( e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
Soit encore :
∂2f∂t2(x ; y ; z ; t)=i2ω2A(y ; z)ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = i^2 \omega^2 A(y\,;\,z) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)}
Finalement :
∂2f∂t2(x ; y ; z ; t)=−ω2A(y ; z)ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ){\color{red}{\boxed{ \dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = - \omega^2 A(y\,;\,z) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} }}}
On a maintenant la première dérivée partielle seconde croisée suivante :
∂2f∂x ∂y(x ; y ; z ; t)=∂∂x(∂f∂y)(x ; y ; z ; t)=∂∂x((∂∂y(A(y ; z))+ikyA(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \left( \dfrac{\partial }{\partial y}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_y A(y\,;\,z) \right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
Soit :
∂2f∂x ∂y(x ; y ; z ; t)=(∂∂y(A(y ; z))+ikyA(y ; z))∂∂x(ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \left( \dfrac{\partial }{\partial y}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_y A(y\,;\,z) \right)\dfrac{\partial }{\partial x} \left( e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
Soit encore :
∂2f∂x ∂y(x ; y ; z ; t)=(∂∂y(A(y ; z))+ikyA(y ; z))ikxei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \left( \dfrac{\partial }{\partial y}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_y A(y\,;\,z) \right) i k_x e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)}
Finalement :
∂2f∂x ∂y(x ; y ; z ; t)=ikx(∂∂y(A(y ; z))+ikyA(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ){\color{green}{\boxed{ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = i k_x \left( \dfrac{\partial }{\partial y}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_y A(y\,;\,z) \right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} }}}
On a maintenant la deuxième dérivée partielle seconde croisée suivante :
∂2f∂y ∂x(x ; y ; z ; t)=∂∂y(∂f∂x)(x ; y ; z ; t)=∂∂y(ikxA(y ; z)ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial y} \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial y} \left( i k_x A(y\,;\,z) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
Soit :
∂2f∂y ∂x(x ; y ; z ; t)=ikx∂∂y(A(y ; z)ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = ik_x \dfrac{\partial }{\partial y} \left( A(y\,;\,z) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
Ce qui nous donne :
∂2f∂y ∂x(x ; y ; z ; t)=ikx(∂∂y(A(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)+A(y ; z)∂∂y(ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)))\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = ik_x \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \left( A(y\,;\,z) \right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} + A(y\,;\,z) \dfrac{\partial }{\partial y} \left( e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right) \right)
D'où :
∂2f∂y ∂x(x ; y ; z ; t)=ikx(∂∂y(A(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)+A(y ; z)ikyei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = ik_x \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \left( A(y\,;\,z) \right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} + A(y\,;\,z) i k_y e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
Finalement :
∂2f∂y ∂x(x ; y ; z ; t)=ikx(∂∂y(A(y ; z))+ikyA(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ){\color{green}{\boxed{ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = i k_x \left( \dfrac{\partial }{\partial y}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_y A(y\,;\,z) \right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} }}}
On a maintenant la dérivée partielle seconde croisée suivante :
∂2f∂x ∂z(x ; y ; z ; t)=∂∂x(∂f∂z)(x ; y ; z ; t)=∂∂x((∂∂z(A(y ; z))+ikzA(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial z}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \left( \dfrac{\partial }{\partial z}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_z A(y\,;\,z) \right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
Soit :
∂2f∂x ∂z(x ; y ; z ; t)=(∂∂z(A(y ; z))+ikzA(y ; z))∂∂x(ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial z}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \left( \dfrac{\partial }{\partial z}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_z A(y\,;\,z) \right)\dfrac{\partial }{\partial x} \left( e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
Soit encore :
∂2f∂x ∂z(x ; y ; z ; t)=(∂∂z(A(y ; z))+ikyA(y ; z))ikxei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial z}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \left( \dfrac{\partial }{\partial z}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_y A(y\,;\,z) \right) i k_x e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)}
Finalement :
∂2f∂x ∂z(x ; y ; z ; t)=ikx(∂∂z(A(y ; z))+ikzA(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ){\color{green}{\boxed{ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial z}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = i k_x \left( \dfrac{\partial }{\partial z}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_z A(y\,;\,z) \right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} }}}
On a maintenant la dérivée partielle seconde croisée associée suivante :
∂2f∂z ∂x(x ; y ; z ; t)=∂∂z(∂f∂x)(x ; y ; z ; t)=∂∂z(ikxA(y ; z)ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial z \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial z} \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial z} \left( i k_x A(y\,;\,z) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
Soit :
∂2f∂z ∂x(x ; y ; z ; t)=ikx∂∂z(A(y ; z)ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial z \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = ik_x \dfrac{\partial }{\partial z} \left( A(y\,;\,z) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
Ce qui nous donne :
∂2f∂z ∂x(x ; y ; z ; t)=ikx(∂∂z(A(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)+A(y ; z)∂∂z(ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)))\dfrac{\partial^2 f}{\partial z \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = ik_x \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \left( A(y\,;\,z) \right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} + A(y\,;\,z) \dfrac{\partial }{\partial z} \left( e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right) \right)
D'où :
∂2f∂z ∂x(x ; y ; z ; t)=ikx(∂∂z(A(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)+A(y ; z)ikzei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial z \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = ik_x \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \left( A(y\,;\,z) \right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} + A(y\,;\,z) i k_z e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
Finalement :
∂2f∂z ∂x(x ; y ; z ; t)=ikx(∂∂z(A(y ; z))+ikzA(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ){\color{green}{\boxed{ \dfrac{\partial^2 f}{\partial z \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = i k_x \left( \dfrac{\partial }{\partial z}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_z A(y\,;\,z) \right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} }}}
Puis, on a la dérivée partielle seconde croisée suivante :
∂2f∂x ∂t(x ; y ; z ; t)=∂∂x(∂f∂t)(x ; y ; z ; t)=∂∂x(iωA(y ; z)ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial t}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \dfrac{\partial f}{\partial t} \right)(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left( i \omega A(y\,;\,z) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
Soit :
∂2f∂x ∂t(x ; y ; z ; t)=iωA(y ; z)∂∂x(ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial t}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = i \omega A(y\,;\,z)\dfrac{\partial }{\partial x} \left( e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
D'où :
∂2f∂x ∂t(x ; y ; z ; t)=iωA(y ; z)ikxei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial t}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = i \omega A(y\,;\,z) i k_x e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)}
Finalement :
∂2f∂x ∂t(x ; y ; z ; t)=−kxωA(y ; z)ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ){\color{green}{\boxed{ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial t}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = -k_x \omega A(y\,;\,z) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} }}}
Puis, on a alors :
∂2f∂t ∂x(x ; y ; z ; t)=∂∂t(∂f∂x)(x ; y ; z ; t)=∂∂t(ikxA(y ; z)ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial t \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial t} \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial t} \left( i k_x A(y\,;\,z) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
Soit :
∂2f∂t ∂x(x ; y ; z ; t)=ikxA(y ; z)∂∂t(ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial t \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = i k_x A(y\,;\,z)\dfrac{\partial }{\partial t} \left( e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
D'où :
∂2f∂t ∂x(x ; y ; z ; t)=ikxA(y ; z)iωei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)\dfrac{\partial^2 f}{\partial t \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = i k_x A(y\,;\,z) i \omega e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)}
Finalement :
∂2f∂t ∂x(x ; y ; z ; t)=−kxωA(y ; z)ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ){\color{green}{\boxed{ \dfrac{\partial^2 f}{\partial t \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = -k_x \omega A(y\,;\,z) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} }}}
On a maintenant la dérivée partielle seconde croisée suivante :
∂2f∂y ∂z(x ; y ; z ; t)=∂∂y(∂f∂z)(x ; y ; z ; t)=∂∂y((∂∂z(A(y ; z))+ikzA(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial z}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial y} \left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial y} \left( \left( \dfrac{\partial }{\partial z}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_z A(y\,;\,z) \right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
Soit :
∂2f∂y ∂z(x ; y ; z ; t)=∂∂y(∂∂z(A(y ; z))+ikzA(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)+(∂∂z(A(y ; z))+ikzA(y ; z))∂∂y(ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial z}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial y} \left( \dfrac{\partial }{\partial z}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_z A(y\,;\,z) \right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} + \left( \dfrac{\partial }{\partial z}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_z A(y\,;\,z) \right) \dfrac{\partial }{\partial y} \left( e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
Ce qui nous donne :
∂2f∂y ∂z(x ; y ; z ; t)=(∂2∂y ∂z(A(y ; z))+ikz∂∂y(A(y ; z)))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)+(∂∂z(A(y ; z))+ikzA(y ; z))ikyei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial z}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial y \, \partial z}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_z \dfrac{\partial }{\partial y} \left(A(y\,;\,z) \right) \right)e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} + \left( \dfrac{\partial }{\partial z}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_z A(y\,;\,z) \right) i k_y e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)}
Finalement :
∂2f∂y ∂z(x ; y ; z ; t)=(∂2∂y ∂z(A(y ; z))+ikz∂∂y(A(y ; z))+iky∂∂z(A(y ; z))−kykzA(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ){\color{green}{\boxed{ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial z}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial y \, \partial z}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_z \dfrac{\partial }{\partial y} \left(A(y\,;\,z) \right) + i k_y \dfrac{\partial }{\partial z} \left(A(y\,;\,z) \right) - k_y k_z A(y\,;\,z)\right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} }}}
Puis, on a :
∂2f∂z ∂y(x ; y ; z ; t)=∂∂z(∂f∂y)(x ; y ; z ; t)=∂∂z((∂∂y(A(y ; z))+ikyA(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial z \, \partial y}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial z} \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial z} \left( \left( \dfrac{\partial }{\partial y}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_y A(y\,;\,z) \right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
Soit :
∂2f∂z ∂y(x ; y ; z ; t)=∂∂z(∂∂y(A(y ; z))+ikyA(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)+(∂∂y(A(y ; z))+ikyA(y ; z))∂∂z(ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial z \, \partial y}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial z} \left( \dfrac{\partial }{\partial y}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_y A(y\,;\,z) \right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} + \left( \dfrac{\partial }{\partial y}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_y A(y\,;\,z) \right) \dfrac{\partial }{\partial z} \left( e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
Ce qui nous donne :
∂2f∂z ∂y(x ; y ; z ; t)=(∂2∂z ∂y(A(y ; z))+iky∂∂z(A(y ; z)))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)+(∂∂y(A(y ; z))+ikyA(y ; z))ikzei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)\dfrac{\partial^2 f}{\partial z \, \partial y}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial z \, \partial y}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_y \dfrac{\partial }{\partial z} \left(A(y\,;\,z) \right) \right)e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} + \left( \dfrac{\partial }{\partial y}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_y A(y\,;\,z) \right) i k_z e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)}
Finalement :
∂2f∂z ∂y(x ; y ; z ; t)=(∂2∂z ∂y(A(y ; z))+ikz∂∂y(A(y ; z))+iky∂∂z(A(y ; z))−kykzA(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ){\color{green}{\boxed{ \dfrac{\partial^2 f}{\partial z \, \partial y}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial z \, \partial y}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_z \dfrac{\partial }{\partial y} \left(A(y\,;\,z) \right) + i k_y \dfrac{\partial }{\partial z} \left(A(y\,;\,z) \right) - k_y k_z A(y\,;\,z)\right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} }}}
Si la fonction AA satisfait au théorème de SchwarzSchwarz alors, sous cette condition, on a ∂2f∂y ∂z=∂2f∂z ∂y\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial z} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial z \, \partial y}.
On a maintenant :
∂2f∂y ∂t(x ; y ; z ; t)=∂∂y(∂f∂t)(x ; y ; z ; t)=∂∂y(iωA(y ; z)ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial t}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial y} \left( \dfrac{\partial f}{\partial t} \right)(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial y} \left( i \omega A(y\,;\,z) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
Soit :
∂2f∂y ∂t(x ; y ; z ; t)=iω∂∂y(A(y ; z)ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial t}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = i \omega \dfrac{\partial }{\partial y} \left( A(y\,;\,z) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
D'où :
∂2f∂y ∂t(x ; y ; z ; t)=iω(∂∂y(A(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)+A(y ; z)∂∂y(ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)))\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial t}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = i \omega \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \left(A(y\,;\,z)\right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} + A(y\,;\,z) \dfrac{\partial }{\partial y} \left( e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right) \right)
Ce qui nous donne :
∂2f∂y ∂t(x ; y ; z ; t)=iω(∂∂y(A(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)+A(y ; z)ikyei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial t}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = i \omega \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \left(A(y\,;\,z)\right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} + A(y\,;\,z)i k_y e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
Finalement :
∂2f∂y ∂t(x ; y ; z ; t)=iω(∂∂y(A(y ; z))+ikyA(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ){\color{green}{\boxed{ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial t}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = i \omega \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \left(A(y\,;\,z)\right) + i k_y A(y\,;\,z) \right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} }}}
De plus :
∂2f∂t ∂y(x ; y ; z ; t)=∂∂t(∂f∂y)(x ; y ; z ; t)=∂∂t((∂∂y(A(y ; z))+ikyA(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial t \, \partial y}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial t} \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial t} \left( \left( \dfrac{\partial }{\partial y}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_y A(y\,;\,z) \right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
Soit :
∂2f∂t ∂y(x ; y ; z ; t)=(∂∂y(A(y ; z))+ikyA(y ; z))∂∂t(ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial t \, \partial y}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \left( \dfrac{\partial }{\partial y}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_y A(y\,;\,z) \right) \dfrac{\partial }{\partial t} \left( e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
D'où :
∂2f∂t ∂y(x ; y ; z ; t)=(∂∂y(A(y ; z))+ikyA(y ; z))iωei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)\dfrac{\partial^2 f}{\partial t \, \partial y}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \left( \dfrac{\partial }{\partial y}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_y A(y\,;\,z) \right) i \omega e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)}
Finalement :
∂2f∂t ∂y(x ; y ; z ; t)=iω(∂∂y(A(y ; z))+ikyA(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ){\color{green}{\boxed{ \dfrac{\partial^2 f}{\partial t \, \partial y}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = i \omega \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \left(A(y\,;\,z)\right) + i k_y A(y\,;\,z) \right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} }}}
Puis, on a maintenant :
∂2f∂z ∂t(x ; y ; z ; t)=∂∂z(∂f∂t)(x ; y ; z ; t)=∂∂z(iωA(y ; z)ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial z \, \partial t}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial z} \left( \dfrac{\partial f}{\partial t} \right)(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial z} \left( i \omega A(y\,;\,z) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
Soit :
∂2f∂z ∂t(x ; y ; z ; t)=iω∂∂z(A(y ; z)ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial z \, \partial t}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = i \omega \dfrac{\partial }{\partial z} \left( A(y\,;\,z) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
D'où :
∂2f∂z ∂t(x ; y ; z ; t)=iω(∂∂z(A(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)+A(y ; z)∂∂z(ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)))\dfrac{\partial^2 f}{\partial z \, \partial t}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = i \omega \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \left(A(y\,;\,z)\right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} + A(y\,;\,z) \dfrac{\partial }{\partial z} \left( e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right) \right)
Ce qui nous donne :
∂2f∂z ∂t(x ; y ; z ; t)=iω(∂∂z(A(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)+A(y ; z)ikzei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial z \, \partial t}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = i \omega \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \left(A(y\,;\,z)\right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} + A(y\,;\,z) i k_z e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
Finalement :
∂2f∂z ∂t(x ; y ; z ; t)=iω(∂∂z(A(y ; z))+ikzA(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ){\color{green}{\boxed{ \dfrac{\partial^2 f}{\partial z \, \partial t}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = i \omega \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \left(A(y\,;\,z)\right) + i k_z A(y\,;\,z) \right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} }}}
De plus :
∂2f∂t ∂z(x ; y ; z ; t)=∂∂t(∂f∂z)(x ; y ; z ; t)=∂∂t((∂∂z(A(y ; z))+ikzA(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial t \, \partial z}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial t} \left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial t} \left( \left( \dfrac{\partial }{\partial z}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_z A(y\,;\,z) \right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
Soit :
∂2f∂t ∂z(x ; y ; z ; t)=(∂∂z(A(y ; z))+ikzA(y ; z))∂∂t(ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ))\dfrac{\partial^2 f}{\partial t \, \partial z}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \left( \dfrac{\partial }{\partial z}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_z A(y\,;\,z) \right) \dfrac{\partial }{\partial t} \left( e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \right)
D'où :
∂2f∂t ∂z(x ; y ; z ; t)=(∂∂z(A(y ; z))+ikzA(y ; z))iωei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)\dfrac{\partial^2 f}{\partial t \, \partial z}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \left( \dfrac{\partial }{\partial z}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_z A(y\,;\,z) \right) i \omega e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)}
Finalement :
∂2f∂t ∂z(x ; y ; z ; t)=iω(∂∂z(A(y ; z))+ikzA(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ){\color{green}{\boxed{ \dfrac{\partial^2 f}{\partial t \, \partial z}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = i \omega \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \left(A(y\,;\,z)\right) + i k_z A(y\,;\,z) \right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} }}}
Enfin, la différentielle dfdf va s'écrire comme :
df(x ; y ; z ; t)=∂f∂x(x ; y ; z ; t) dx+∂f∂y(x ; y ; z ; t) dy+∂f∂z(x ; y ; z ; t) dz+∂f∂t(x ; y ; z ; t) dtdf(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) \, dx + \dfrac{\partial f}{\partial y}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) \, dy + \dfrac{\partial f}{\partial z}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) \, dz + \dfrac{\partial f}{\partial t}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) \, dt
D'où :
df(x ; y ; z ; t)=ikxA(y ; z)ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ) dx+(∂∂y(A(y ; z))+ikyA(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ) dy+(∂∂z(A(y ; z))+ikzA(y ; z))ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ) dz+iωA(y ; z)ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ) dt\begin{array}{rcl} df(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) & = & i k_x A(y\,;\,z) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \, dx \\ & & \\ & + & \left( \dfrac{\partial }{\partial y}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_y A(y\,;\,z) \right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \, dy \\ & & \\ & + & \left( \dfrac{\partial }{\partial z}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_z A(y\,;\,z) \right) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \, dz \\& & \\ & + & i \omega A(y\,;\,z) e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)} \, dt \\ \end{array}
Finalement :
df(x ; y ; z ; t)=ei(kxx+kyy+kzz+ωt+φ)(ikxA(y ; z) dx+(∂∂y(A(y ; z))+ikyA(y ; z)) dy+(∂∂z(A(y ; z))+ikzA(y ; z)) dz+iωA(y ; z) dt){\color{black}{\boxed{ \begin{array}{rcl} df(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) & = & e^{i\left( k_x x + k_y y + k_z z + \omega t + \varphi\right)}\Bigg( i k_x A(y\,;\,z) \, dx \\ & & \\ & + & \left( \dfrac{\partial }{\partial y}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_y A(y\,;\,z) \right) \, dy \\ & & \\ & + & \left( \dfrac{\partial }{\partial z}\left( A(y\,;\,z) \right) + i k_z A(y\,;\,z) \right) \, dz \\& & \\ & + & i \omega A(y\,;\,z) \, dt \Bigg) \\ \end{array} }}}

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