Dérivées partielles croisées d'ordre supérieur à deux - Exercice 1

50 min
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Soit ff une fonction réelle des trois variables réelles xx, yy et zz. Par exemple, les fonctions à trois variables (et plus) comme ff peuvent conduire à des calculs de dérivations partielles (d'ordre trois, ou plus) du type :
∙  ∂3f∂x ∂y ∂z(x ; y ; z)\bullet \,\, \dfrac{\partial^3 f}{\partial x \, \partial y \, \partial z}(x\,;\,y\,;\,z)
∙  ∂3f∂z ∂x ∂y(x ; y ; z)\bullet \,\, \dfrac{\partial^3 f}{\partial z \, \partial x \, \partial y}(x\,;\,y\,;\,z)
∙  ∂3f∂y ∂x ∂z(x ; y ; z)\bullet \,\, \dfrac{\partial^3 f}{\partial y \, \partial x \, \partial z}(x\,;\,y\,;\,z)
∙  ∂3f∂2y ∂x(x ; y ; z)\bullet \,\, \dfrac{\partial^3 f}{\partial^2 y \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z)
L'exercice ci-dessous à pour but de faire calculer l'expression de ses dérivées partielles croisées d'ordre trois, ou plus.
Question 1

Soit la fonction suivante :
(x ; y ; z)∈R3⟼f(x ; y ; z)=x+xy+y2z+exyz(x\,;\,y\,;\,z) \in \mathbb{R}^3 \longmapsto f(x\,;\,y\,;\,z) = x + xy + y^2z + e^{xyz}
Calculer l'expression de ∂3f∂x ∂y ∂z(x ; y ; z)\dfrac{\partial^3 f}{\partial x \, \partial y \, \partial z}(x\,;\,y\,;\,z).

Correction
∂3f∂x ∂y ∂z(x ; y ; z)=∂∂x(∂∂y[∂f∂z])(x ; y ; z)\dfrac{\partial^3 f}{\partial x \, \partial y \, \partial z}(x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{\partial}{\partial x} \left( \dfrac{\partial}{\partial y} \left[ \dfrac{\partial f}{\partial z} \right]\right)(x\,;\,y\,;\,z)
Soit :
∂3f∂x ∂y ∂z(x ; y ; z)=∂∂x(∂∂y[∂∂z(x+xy+y2z+exyz)])\dfrac{\partial^3 f}{\partial x \, \partial y \, \partial z}(x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{\partial}{\partial x} \left( \dfrac{\partial}{\partial y} \left[ \dfrac{\partial }{\partial z} \left( x + xy + y^2z + e^{xyz} \right)\right]\right)
Soit encore :
∂3f∂x ∂y ∂z(x ; y ; z)=∂∂x(∂∂y[(0+0+y2+xyexyz)])\dfrac{\partial^3 f}{\partial x \, \partial y \, \partial z}(x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{\partial}{\partial x} \left( \dfrac{\partial}{\partial y} \left[ \left( 0 + 0 + y^2 + xye^{xyz} \right)\right]\right)
La dérivation partielle par rapport à yy donne alors :
∂3f∂x ∂y ∂z(x ; y ; z)=∂∂x(2y+x(1exyz+yxzexyz))=∂∂x(2y+xexyz+x2yzexyz)\dfrac{\partial^3 f}{\partial x \, \partial y \, \partial z}(x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{\partial}{\partial x} \left( 2y + x\left( 1e^{xyz} + yxze^{xyz} \right)\right) = \dfrac{\partial}{\partial x} \left( 2y + xe^{xyz} + x^2yze^{xyz}\right)
Ce qui nous donne :
∂3f∂x ∂y ∂z(x ; y ; z)=∂∂x(xexyz+x2yzexyz)=∂∂x(xexyz)+yz∂∂x(x2exyz)\dfrac{\partial^3 f}{\partial x \, \partial y \, \partial z}(x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{\partial}{\partial x} \left( xe^{xyz} + x^2yze^{xyz}\right) = \dfrac{\partial}{\partial x} \left( xe^{xyz}\right) + yz\dfrac{\partial}{\partial x} \left( x^2e^{xyz}\right)
D'où :
∂3f∂x ∂y ∂z(x ; y ; z)=(exyz+xyzexyz)+yz(2xexyz+x2yzexyz)\dfrac{\partial^3 f}{\partial x \, \partial y \, \partial z}(x\,;\,y\,;\,z) = \left( e^{xyz} + xyz e^{xyz}\right) + yz \left( 2x e^{xyz} + x^2yz e^{xyz}\right)
Ainsi :
∂3f∂x ∂y ∂z(x ; y ; z)=exyz+xyzexyz+2xyzexyz+2x2y2z2exyz\dfrac{\partial^3 f}{\partial x \, \partial y \, \partial z}(x\,;\,y\,;\,z) = e^{xyz} + xyz e^{xyz} + 2xyz e^{xyz} + 2x^2y^2z^2 e^{xyz}
Finalement :
∂3f∂x ∂y ∂z(x ; y ; z)=(1+2xyz+x2y2z2)exyz{\color{red}{\boxed{\dfrac{\partial^3 f}{\partial x \, \partial y \, \partial z}(x\,;\,y\,;\,z) = \left( 1 + 2xyz + x^2y^2z^2\right)e^{xyz} }}}
Question 2

Calculer l'expression de ∂3f∂z ∂y ∂x(x ; y ; z)\dfrac{\partial^3 f}{\partial z \, \partial y \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z).

Correction
On a :
∂3f∂z ∂y ∂x(x ; y ; z)=∂∂z(∂∂y[∂f∂x])(x ; y ; z)\dfrac{\partial^3 f}{\partial z \, \partial y \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{\partial}{\partial z} \left( \dfrac{\partial}{\partial y} \left[ \dfrac{\partial f}{\partial x} \right] \right)(x\,;\,y\,;\,z)
Soit :
∂3f∂z ∂y ∂x(x ; y ; z)=∂∂z(∂∂y[∂∂x(x+xy+y2z+exyz)])\dfrac{\partial^3 f}{\partial z \, \partial y \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{\partial}{\partial z} \left( \dfrac{\partial}{\partial y} \left[ \dfrac{\partial}{\partial x} \left( x + xy + y^2z + e^{xyz} \right) \right] \right)
Soit encore :
∂3f∂z ∂y ∂x(x ; y ; z)=∂∂z(∂∂y[1+y+0+yzexyz])\dfrac{\partial^3 f}{\partial z \, \partial y \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{\partial}{\partial z} \left( \dfrac{\partial}{\partial y} \left[ 1 + y + 0 + yze^{xyz} \right] \right)
Ce qui nous donne :
∂3f∂z ∂y ∂x(x ; y ; z)=∂∂z(0+1+0+z(exyz+yxzexyz))\dfrac{\partial^3 f}{\partial z \, \partial y \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{\partial}{\partial z} \left( 0 + 1 + 0 + z\left( e^{xyz} + yxz e^{xyz}\right) \right)
Ce qui nous donne donc :
∂3f∂z ∂y ∂x(x ; y ; z)=∂∂z(1+zexyz+xyz2exyz)=∂∂z(zexyz+xyz2exyz)\dfrac{\partial^3 f}{\partial z \, \partial y \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{\partial}{\partial z} \left( 1 + ze^{xyz} + xyz^2 e^{xyz} \right) = \dfrac{\partial}{\partial z} \left(ze^{xyz} + xyz^2 e^{xyz} \right)
Donc :
∂3f∂z ∂y ∂x(x ; y ; z)=∂∂z(zexyz)+xy∂∂z(z2exyz)\dfrac{\partial^3 f}{\partial z \, \partial y \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{\partial}{\partial z} \left(ze^{xyz} \right) + xy \dfrac{\partial}{\partial z} \left(z^2 e^{xyz} \right)
Soit :
∂3f∂z ∂y ∂x(x ; y ; z)=(exyz+zxyexyz)+xy(2zexyz+z2xyexyz)\dfrac{\partial^3 f}{\partial z \, \partial y \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z) = \left(e^{xyz} + zxye^{xyz}\right) + xy \left(2z e^{xyz} + z^2xy e^{xyz}\right)
On obtient alors :
∂3f∂z ∂y ∂x(x ; y ; z)=exyz+xyzexyz+2xyzexyz+x2y2z2exyz\dfrac{\partial^3 f}{\partial z \, \partial y \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z) = e^{xyz} + xyz e^{xyz} + 2xyz e^{xyz} + x^2y^2z^2e^{xyz}
On a donc :
∂3f∂z ∂y ∂x(x ; y ; z)=exyz+3xyzexyz+x2y2z2exyz\dfrac{\partial^3 f}{\partial z \, \partial y \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z) = e^{xyz} + 3xyz e^{xyz} + x^2y^2z^2e^{xyz}
En factorisant :
∂3f∂z ∂y ∂x(x ; y ; z)=(1+3xyz+x2y2z2)exyz\dfrac{\partial^3 f}{\partial z \, \partial y \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z) = \left( 1 + 3xyz + x^2y^2z^2 \right)e^{xyz}
Finalement :
∂3f∂z ∂y ∂x(x ; y ; z)=(1+3xyz+x2y2z2)exyz{\color{red}{\boxed{\dfrac{\partial^3 f}{\partial z \, \partial y \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z) = \left( 1 + 3xyz + x^2y^2z^2 \right) e^{xyz} }}}
Question 3

Calculer l'expression de ∂3f∂y ∂z ∂x(x ; y ; z)\dfrac{\partial^3 f}{\partial y \, \partial z \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z).

Correction
On a :
∂3f∂y ∂z ∂x(x ; y ; z)=∂∂y(∂∂z[∂f∂x])(x ; y ; z)\dfrac{\partial^3 f}{\partial y \, \partial z \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{\partial}{\partial y} \left( \dfrac{\partial}{\partial z} \left[ \dfrac{\partial f}{\partial x} \right] \right)(x\,;\,y\,;\,z)
Soit :
∂3f∂y ∂z ∂x(x ; y ; z)=∂∂y(∂∂z[∂∂x(x+xy+y2z+exyz)])\dfrac{\partial^3 f}{\partial y \, \partial z \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{\partial}{\partial y} \left( \dfrac{\partial}{\partial z} \left[ \dfrac{\partial}{\partial x} \left( x + xy + y^2z + e^{xyz} \right) \right] \right)
Soit encore :
∂3f∂y ∂z ∂x(x ; y ; z)=∂∂y(∂∂z[1+y+0+yzexyz])=∂∂y(∂∂z[yzexyz])=∂∂y(y∂∂z[zexyz])\dfrac{\partial^3 f}{\partial y \, \partial z \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{\partial}{\partial y} \left( \dfrac{\partial}{\partial z} \left[ 1 + y + 0 + yze^{xyz} \right] \right) = \dfrac{\partial}{\partial y} \left( \dfrac{\partial}{\partial z} \left[ yze^{xyz} \right] \right) = \dfrac{\partial}{\partial y} \left( y\dfrac{\partial}{\partial z} \left[ ze^{xyz} \right] \right)
Ce qui nous donne :
∂3f∂y ∂z ∂x(x ; y ; z)=∂∂y(y(1exyz+zxyexyz))=∂∂y(yexyz+xy2zexyz)\dfrac{\partial^3 f}{\partial y \, \partial z \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{\partial}{\partial y} \left( y \left( 1e^{xyz} + zxye^{xyz} \right) \right) = \dfrac{\partial}{\partial y} \left( ye^{xyz} + xy^2ze^{xyz}\right)
On a alors :
∂3f∂y ∂z ∂x(x ; y ; z)=∂∂y(yexyz)+∂∂y(xy2zexyz)=∂∂y(yexyz)+xz∂∂y(y2exyz)\dfrac{\partial^3 f}{\partial y \, \partial z \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{\partial}{\partial y} \left( ye^{xyz} \right) + \dfrac{\partial}{\partial y} \left(xy^2ze^{xyz}\right) = \dfrac{\partial}{\partial y} \left( ye^{xyz} \right) + xz\dfrac{\partial}{\partial y} \left(y^2e^{xyz}\right)
Ainsi :
∂3f∂y ∂z ∂x(x ; y ; z)=(1exyz+yxzexyz)+xz(2yexyz+y2xzexyz)\dfrac{\partial^3 f}{\partial y \, \partial z \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z) = \left( 1e^{xyz} + yxze^{xyz}\right) + xz\left( 2ye^{xyz} + y^2xze^{xyz}\right)
Soit :
∂3f∂y ∂z ∂x(x ; y ; z)=exyz+xyzexyz+2xyzexyz+y2xzexyz\dfrac{\partial^3 f}{\partial y \, \partial z \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z) = e^{xyz} + xyze^{xyz} + 2xyze^{xyz} + y^2xze^{xyz}
Finalement :
∂3f∂y ∂z ∂x(x ; y ; z)=(1+3xyz+x2y2z2)exyz{\color{red}{\boxed{\dfrac{\partial^3 f}{\partial y \, \partial z \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z) = \left( 1 + 3xyz + x^2y^2z^2 \right) e^{xyz} }}}
Question 4

Calculer l'expression de ∂3f∂2z ∂x(x ; y ; z)\dfrac{\partial^3 f}{\partial^2 z \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z).

Correction
On a :
∂3f∂2z ∂x(x ; y ; z)=∂∂z(∂∂z[∂f∂x])(x ; y ; z)\dfrac{\partial^3 f}{\partial^2 z \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{\partial}{\partial z} \left( \dfrac{\partial}{\partial z} \left[ \dfrac{\partial f}{\partial x} \right] \right)(x\,;\,y\,;\,z)
Soit :
∂3f∂2z ∂x(x ; y ; z)=∂∂z(∂∂z[∂∂x(x+xy+y2z+exyz)])\dfrac{\partial^3 f}{\partial^2 z \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{\partial}{\partial z} \left( \dfrac{\partial}{\partial z} \left[ \dfrac{\partial}{\partial x} \left( x + xy + y^2z + e^{xyz} \right) \right] \right)
Soit encore :
∂3f∂2z ∂x(x ; y ; z)=∂∂z(∂∂z[1+y+0+yzexyz])=∂∂z(∂∂z[yzexyz])=y∂∂z(∂∂z[zexyz])\dfrac{\partial^3 f}{\partial^2 z \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{\partial}{\partial z} \left( \dfrac{\partial}{\partial z} \left[ 1 + y + 0 + yze^{xyz} \right] \right) = \dfrac{\partial}{\partial z} \left( \dfrac{\partial}{\partial z} \left[ yze^{xyz} \right] \right) = y\dfrac{\partial}{\partial z} \left( \dfrac{\partial}{\partial z} \left[ ze^{xyz} \right] \right)
Ce qui nous donne :
∂3f∂2z ∂x(x ; y ; z)=y∂∂z(1exyz+zxyexyz)=y∂∂z(exyz)+y∂∂z(zxyexyz)\dfrac{\partial^3 f}{\partial^2 z \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z) = y\dfrac{\partial}{\partial z} \left( 1e^{xyz} + zxy e^{xyz} \right) = y\dfrac{\partial}{\partial z} \left( e^{xyz} \right) + y \dfrac{\partial}{\partial z} \left( zxy e^{xyz} \right)
D'où :
∂3f∂2z ∂x(x ; y ; z)=y∂∂z(exyz)+xy2∂∂z(zexyz)\dfrac{\partial^3 f}{\partial^2 z \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z) = y\dfrac{\partial}{\partial z} \left( e^{xyz} \right) + xy^2 \dfrac{\partial}{\partial z} \left( z e^{xyz} \right)
On obtient alors :
∂3f∂2z ∂x(x ; y ; z)=yxyexyz+xy2(1exyz+zxyexyz)\dfrac{\partial^3 f}{\partial^2 z \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z) = yxy e^{xyz} + xy^2 \left( 1 e^{xyz} + zxy e^{xyz}\right)
Ainsi :
∂3f∂2z ∂x(x ; y ; z)=xy2exyz+xy2exyz+x2y3zexyz\dfrac{\partial^3 f}{\partial^2 z \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z) = xy^2 e^{xyz} + xy^2 e^{xyz} + x^2y^3z e^{xyz}
En regroupant :
∂3f∂2z ∂x(x ; y ; z)=2xy2exyz+x2y3zexyz\dfrac{\partial^3 f}{\partial^2 z \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z) = 2xy^2 e^{xyz} + x^2y^3z e^{xyz}
Finalement, en factorisant par le terme exyze^{xyz}, on trouve que :
∂3f∂2z ∂x(x ; y ; z)=(2xy2z+x2y3z)exyz=xy2z(2+xy)exyz{\color{red}{\boxed{\dfrac{\partial^3 f}{\partial^2 z \, \partial x}(x\,;\,y\,;\,z) = \left( 2xy^2z + x^2y^3z \right) e^{xyz} = xy^2z\left( 2 + xy \right) e^{xyz} }}}

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