La règle du marquis de L'Hôpital - Exercice 2

10 min
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Calculer les limites proposées ci-dessous.
Question 1

lim⁡x→0x2−3x5ex−5\lim\limits_{x\to 0 } \frac{x^2-3x}{5e^x-5}

Correction
Soient f:x⟼x2−3xf:x\longmapsto x^2-3x et g(x)=5ex−5g\left(x\right)=5e^x-5 définies et continues sur ]−1;1[\left]-1;1\right[
∀x∈]−1;1[\forall x\in \left]-1;1\right[, on a : f′(x)=2x−3f'\left(x\right)=2x-3 et g′(x)=5exg'\left(x\right)=5e^x
  • ff et gg sont dérivables sur ]−1;1[\left]-1;1\right[ .
  • gg ne s'annule pas sur ]−1;0[∪]−0;1[\left]-1;0\right[ \cup \left]-0;1\right[ .
  • f(0)=g(0)=0f\left(0\right)=g\left(0\right)=0
    • D'après la règle de l'Hospital :
    lim⁡x→0 f′(x) g′(x)=lim⁡x→1−2x−35ex \lim\limits_{x\to 0 } \frac{\mathrm{\ }f'\left(x\right)}{\mathrm{\ }g'\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 1^{-} }\frac{2x-3}{5e^{x}}\
    Ainsi : lim⁡x→0 f′(x) g′(x)=−35\lim\limits_{x\to 0 } \frac{\mathrm{\ }f'\left(x\right)}{\mathrm{\ }g'\left(x\right)}=\frac{-3}{5}
    D'après la règle de l'Hospital, on peut affirmer que :
    lim⁡x→0 f(x) g(x)=lim⁡x→0x2−3x5ex−5=−35\lim\limits_{x\to 0 } \frac{\mathrm{\ }f\left(x\right)}{\mathrm{\ }g\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 0 } \frac{x^2-3x}{5e^x-5}=-\frac{3}{5}
    Question 2

    lim⁡x→1−arccos(x) 1−x2\lim\limits_{x\to 1^{-} } \frac{\mathrm{arccos} \left(x\right)\ }{\sqrt{1-x^2}}

    Correction
    Soient f:x⟼arccos(x) f:x\longmapsto {\mathrm{arccos} \left(x\right)\ } et g(x)=1−x2g\left(x\right)=\sqrt{1-x^2} définies et continues sur ]0;1[\left]0;1\right[
    ∀x∈]0;1[\forall x\in \left]0;1\right[, on a : f′(x)=−11−x2f'\left(x\right)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} et g′(x)=−2x21−x2=−x1−x2g'\left(x\right)=\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}
  • ff et gg sont dérivables sur ]0;1[\left]0;1\right[ .
  • gg ne s'annule pas sur ]0;1[\left]0;1\right[ .
  • f(1)=g(1)=0f\left(1\right)=g\left(1\right)=0
    • D'après la règle de l'Hospital :
    lim⁡x→1− f′(x) g′(x)=lim⁡x→1−(−11−x2)(−2x21−x2) \lim\limits_{x\to 1^{-} } \frac{\mathrm{\ }f'\left(x\right)}{\mathrm{\ }g'\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 1^{-} }\frac{\left(\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\right)}{\left(\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}\right)}\
    lim⁡x→1− f′(x) g′(x)=lim⁡x→1−(−11−x2)(−x1−x2) \lim\limits_{x\to 1^{-} } \frac{\mathrm{\ }f'\left(x\right)}{\mathrm{\ }g'\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 1^{-} }\frac{\left(\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\right)}{\left(\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}\right)}\
    lim⁡x→1− f′(x) g′(x)=lim⁡x→1−−1−x \lim\limits_{x\to 1^{-} } \frac{\mathrm{\ }f'\left(x\right)}{\mathrm{\ }g'\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 1^{-} }\frac{-1}{-x}\
    Ainsi : lim⁡x→1− f′(x) g′(x)=1\lim\limits_{x\to 1^{-} } \frac{\mathrm{\ }f'\left(x\right)}{\mathrm{\ }g'\left(x\right)}=1
    D'après la règle de l'Hospital, on peut affirmer que :
    lim⁡x→1− f(x) g(x)=lim⁡x→1−arccos(x) 1−x2=1\lim\limits_{x\to 1^{-} } \frac{\mathrm{\ }f\left(x\right)}{\mathrm{\ }g\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 1^{-} } \frac{\mathrm{arccos} \left(x\right)\ }{\sqrt{1-x^2}}=1

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