Pour le plaisir - Exercice 1

La fonction $$x \,\longmapsto \, \tanh\left( \sinh\left( x \right) \right)$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$, en tant que composée de fonction elles mêmes dérivables sur $$\mathbb{R}$$.
Puis, la fonction $$x \,\longmapsto \, \arctan\left( e^x - 1 \right)$$ est également dérivable sur $$\mathbb{R}$$, en tant que composée de fonction elles mêmes dérivables sur $$\mathbb{R}$$.
De plus on a la dérivée du dénominateur qui est donnée par :
$$\left( \arctan\left( e^x - 1 \right) \right)' = \dfrac{e^x}{1 + \left( e^x - 1 \right)^2}$$
Donc, pris en $$x=0$$, on trouve que :
$$\left( \arctan\left( e^x - 1 \right) \right)' = \left(\dfrac{e^x}{1 + \left( e^x - 1 \right)^2}\right)_{x=0} = \dfrac{e^0}{1 + \left( e^0 - 1 \right)^2} = \dfrac{1}{1 + \left( 1 - 1 \right)^2} = \dfrac{1}{1 + 0^2} = \dfrac{1}{1} = 1 \neq 0$$
En outre, on constate que :
$$\bullet \,\, \left( \tanh\left( \sinh\left( x \right) \right) \right)_{x = 0} = 0$$
$$\bullet \bullet \,\, \left( \arctan\left( e^x - 1 \right)) \right)_{x = 0} = 0$$
Nous avons donc une limite à déterminer qui se trouve être une forme indéterminée du type $$\dfrac{0}{0}$$. Nous allons donc appliquer la règle de l'$$Hôpital$$. On a donc :
$$\lim_{x\, \longrightarrow \,0} \dfrac{\left(\tanh\left( \sinh\left( x \right) \right)\right)'}{\left(\arctan\left( e^x - 1 \right)\right)'} = \lim_{x\, \longrightarrow \,0} \dfrac{\dfrac{\cosh(x)}{\cosh^2\left( \sinh\left( x \right)\right)}}{\dfrac{e^x}{1 + \left( e^x - 1 \right)^2}} = \dfrac{1}{1} = 1$$
Dans ce cas, ce dernier résultat implique que la limite recherchée vaut :
$${\color{red}{\boxed{\lim_{x\, \longrightarrow \,0} \dfrac{\tanh\left( \sinh\left( x \right) \right)}{\arctan\left( e^x - 1 \right)} = 1}}}$$
Graphiquement, on obtient :