Ce qu'il faut savoir sur les déterminants

On désigne par $$n$$ et $$p$$ deux nombres entiers naturels non nuls.
On désigne par $$\mathbb{K}$$ l'ensemble $$\mathbb{C}$$ ou $$\mathbb{R}$$.
On désigne par $$E$$ un espace vectoriel de dimension $$n$$ de base $$\mathcal{B} = \{e_1 , ... , e_n \}$$.
$${\color{red}{\bf{I \,\, - \,\, Définitions \,\, et \,\, propriétés \,\, des \,\, déterminants }}}$$
$${\color{blue}{\bf{1 \,\, - \,\, Formes \,\, {\it{p-}}linéaire \,\, alternée }}}$$
$${\color{green}{\bf{Définitions}}}$$
Une forme $$p-$$linéaire est une application de $$E^p$$ dans $$\mathbb{K}$$ telle que pour tout $$i$$ de $$\{1 , ... , p\}$$ et tout $$(a_k)_{1 \leqslant k \leqslant p}$$ de $$E^p$$ l'application
$$\begin{array}{rcl} E & \longrightarrow & K \\ x & \longmapsto & f(a_1 , ... , a_{i-1} , x , a_{i+1} , ... , a_p) \end{array}$$
soit une forme linéaire.
Une forme $$p-$$linéaire $$f$$ est alternée si et seulement si elle est nulle pour tout élément de $$E^p$$ ayant deux composantes égales.
$$\bullet \,\, Théorème \, :$$ L'ensemble des formes $$n-$$linéaires alternées sur $$E$$ forme un espace vectoriel de dimension $$1$$.
$${\color{blue}{\bf{2 \,\, - \,\, Définition \,\, des \,\, déterminants }}}$$
$$\looparrowright \,\,$$ Déterminant de $$n$$ éléments, notés $$x_1 , ... , x_n$$, de $$E$$ :
Le déterminant $$\det_\mathcal{B}(x_1 , ... , x_n)$$ est l'image de $$(x_1 , ... , x_n)$$ par l'unique forme $$n-$$linéaire alternée, $$\det_\mathcal{B}$$, de $$E^n$$ dans $$\mathbb{K}$$ telle que $$\det_\mathcal{B}(e_1 , ... , e_n) = 1$$
$$\looparrowright \,\,$$ Déterminant d'une matrice $$A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$$ que nous noterons $$\det A$$ :
Le terme $$\det A$$ est le déterminant dans la base canonique des vecteurs colonnes de $$A$$.
Si $$\forall i \in \{1, ... , n\}$$, $$x_i = \sum_{j=1}^{n} a_{i,j} \, e_j$$ alors on a les notations suivantes $$\det_\mathcal{B}(x_1 , ... , x_n) = \det(x_1 , ... , x_n) = \det(a_{i,j}) = |\, a_{i,j} \,|$$.
On dit que $$n$$ est l'ordre du déterminant.
Si $$f$$ est une transformation élémentaire de $$A$$ alors $$f\left( \det A \right) = \det f(A)$$.
$${\color{blue}{\bf{3 \,\, - \,\, Propriétés }}}$$
On désigne par $$S_n$$ le $$n-$$ième groupe symétrique et par $$\epsilon(\sigma)$$ une $$signature$$ de la permutation $$\sigma$$. Dans ce cas on a le théorème suivant :
$$\bullet \,\, Théorème \, : \,\, \det(a_{i,j}) = \sum_{\sigma \in S_n} \epsilon(\sigma) \times a_{1,\sigma(1)} \times ... \times a_{n,\sigma(n)} = \sum_{\sigma \in S_n} \epsilon(\sigma) \times a_{\sigma(1),1} \times ... \times a_{\sigma(n),n}$$
Puis on a :
$$\bullet \,\, Théorème \, :$$ Soit $$A = (a_{i,j}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$$. On a :
$$-$$ si une colonne de $$A$$ est entièrement nulle alors $$\det A = 0$$
$$-$$ si une ligne de $$A$$ est entièrement nulle alors $$\det A = 0$$
$$-$$ si deux colonnes de $$A$$ sont égales alors $$\det A = 0$$
$$-$$ si deux lignes de $$A$$ sont égales alors $$\det A = 0$$
$$-$$ si on échange deux colonnes de $$A$$ alors $$\det A$$ est multiplié par $$-1$$ ;
$$-$$ si on échange deux lignes de $$A$$ alors $$\det A$$ est multiplié par $$-1$$ ;
$$-$$ si ajoute à une colonne de $$A$$ une combinaison linéaire des autres colonnes alors $$\det A$$ est inchangé ;
$$-$$ si ajoute à une ligne de $$A$$ une combinaison linéaire des autres lignes alors $$\det A$$ est inchangé ;
$$-$$ le $$\det A$$ est linéaire par rapport à chaque colonne de la matrice $$A$$ ;
$$-$$ le $$\det A$$ est linéaire par rapport à chaque ligne de la matrice $$A$$.
$$\bullet \,\, Théorème \, :$$ Soit $$A$$ et $$B$$ deux matrices de l'ensemble $$\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$$. On désigne par $$\alpha$$ un élément de $$\mathbb{K}$$. On a :
$$-$$ $$\det I_n = 1$$ ;
$$-$$ le déterminant d'une matrice triangulaire est égal au produits des éléments présents sur aa diagonale principale ;
$$-$$ le $$\det (AB) = \det A \times \det B = \det(BA)$$
$$-$$ $$\det (\alpha A) = \alpha^n \times \det A$$
$$-$$ $$\det (^tA) = \det A$$
$$-$$ dire que $$\det A \neq 0$$ est équivalent aux propositions suivantes :
$$\,\,\,\,\, \hookrightarrow \,\,$$ la matrice $$A$$ est inversible dans $$\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$$ ;
$$\,\,\,\,\, \hookrightarrow \,\,$$ les vecteurs colonnes de la matrice $$A$$ sont linéairement indépendants ;
$$\,\,\,\,\, \hookrightarrow \,\,$$ les vecteurs lignes de la matrice $$A$$ sont linéairement indépendants ;
$$\,\,\,\,\, \hookrightarrow \,\,$$ $$\det (A^{-1}) = \dfrac{1}{\det A}$$
$$\,\,\,\,\, \hookrightarrow \,\,$$ $$\det (A^{-1}BA) = \det B$$
$$-$$ si $$u$$ est un endomorphisme de $$E$$ alors $$\det u$$ est le déterminant d'une matrice de $$u$$ par rapport à une base de $$E$$. Si $$U \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$$ est la matrice représentative de $$u$$, dans la base $$\mathcal{B}$$, alors $$\det u = \det U$$.
$${\color{red}{\bf{II \,\, - \,\, Développement \,\, d'un \,\, déterminant - Inverse \,\, d'une \,\, matrice}}}$$
$${\color{blue}{\bf{1 \,\, - \,\, Définitions }}}$$
On désigne par $$i$$ et $$j$$ deux nombres entiers naturels compris entre $$1$$ et $$n$$.
$$-$$ Le mineur de l'élément $$a_{i,j}$$ de la matrice $$A$$ est le déterminant de la matrice $$A_{ij}$$ obtenue à partir de la matrice $$A$$ en supprimant la ligne $$i$$ et la colonne $$j$$ ;
$$-$$ Le cofacteur de l'élément $$a_{i,j}$$ est $$c_{ij} = (-1)^{i+j}\det A_{ij}$$ ;
$$-$$ La comatrice de $$A$$ est notée $$\mathrm{com}(A)$$ est la matrice des cofacteurs.
$$\bullet \,\, Théorème \, :$$ On a :
$$-$$ $$\det A = \sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{i,j} \det A_{ij} = \sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{i,j} \det A_{ij}$$ ;
$$-$$ $$A \times \, ^t \mathrm{com}(A) = \, ^t \mathrm{com}(A) \times A = I_n \times \det A$$ ;
$$-$$ si $$\det A \neq 0$$ alors $$A^{-1} = \dfrac{1}{\det A} \, ^t \mathrm{com}(A)$$ ;
$${\color{blue}{\bf{2 \,\, - \,\, Cas \,\, particulier }}}$$
Si $$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})$$ alors $$\det A = ad - bc$$
Si $$A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{K})$$ alors $$\det A = aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb$$. C'est la règle de Pierre Sarrus.
$${\color{red}{\bf{III \,\, - \,\, Application \,\, au \,\, rang \,\, et \,\, aux \,\, systèmes \,\, d'équations \,\, linéaires}}}$$
Soit $$A$$ une matrices de l'ensemble $$\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$$ et $$B = \, ^t(b_1 ... b_p) \in \mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K})$$.
On désigne par $$(\mathcal{S})$$ un système de $$p$$ équations linéaires à $$n$$ inconnues $$x_1 , ... , x_n$$. On a :
$$(\mathcal{S}) : \,\, AX = B$$
avec $$X = \, ^t(x_1 ... x_n) \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})$$
$$\bullet \,\, Théorème \, :$$ Le rang de la matrice $$A$$ est égal au plus grand ordre des sous matrices carrées de $$A$$ de déterminant non nul.
$${\color{blue}{\bf{1 \,\, - \,\, Système \,\, de \,\, Cramer }}}$$
$${\color{green}{\bf{Définition}}}$$
Le système $$(\mathcal{S})$$ est de $$Cramer$$ si et seulement si $$n=p$$ et le rang de $$(\mathcal{S}$$ est $$n$$.
$$\bullet \,\, Théorème \, :$$ On note par $$A_j$$ la matrice obtenue à partir de $$A$$ en remplaçant le colonne numéro $$j$$ par le second membre du système $$(\mathcal{S})$$, à savoir $$B$$.
Tout système de $$Cramer$$ admet une solution unique : $$\forall j \in \{ 1, ... , n \}, \,\, x_j = \dfrac{\det A_j}{\det A}$$.
$${\color{blue}{\bf{2 \,\, - \,\, Cas \,\, général }}}$$
Soit $$r$$ le rang de la matrice $$A$$, tel que $$r \leqslant n$$ et $$r \leqslant p$$, et supposons que les équations soient écrites de telle sorte que :
$$\det(a_{i,j})_{1 \leqslant i \leqslant r \,;\, 1 \leqslant j \leqslant r} \neq 0$$
$${\color{green}{\bf{Définitions}}}$$
$$-$$ On appelle $$x_1 , ... , x_r$$ les inconnues principales ;
$$-$$ On appelle les $$r$$ premières équations les " équations principales " ;
$$-$$ Un déterminant est $$caractéristique$$ si et seulement si il est de la forme suivante $$(r < k \leqslant p)$$ :
$$\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & \cdots & a_{1r} & b_1 \\ \vdots & & & \vdots & \vdots \\ a_{r1} & \cdots & \cdots & a_{rr} & b_r \\ a_{k1} & \cdots & \cdots & a_{kr} & b_k \end{vmatrix}$$
$$\bullet \,\, Théorème \,\, de \,\, Fontené-Rouché\, :$$
Notons $$(\mathcal{S}')$$ le système suivant :
$$\sum_{j=1}^{r} a_{ij} \, x_j = b_i - \sum_{j=r+1}^{n} a_{ij} \, x_j$$
avec $$i \in \mathbb{N}$$ et $$1 \leqslant i \leqslant p$$.
Dans ce cas :
$$-$$ si $$r=p$$ alors le système $$(\mathcal{S})$$ à des solutions qui dépendent de $$n-r$$ paramètres réels (les inconnues non principales). Les solutions sont obtenues en résolvant le système de $$Cramer$$ $$(\mathcal{S}')$$.
$$-$$ si $$r<p$$ et si l'un des déterminants $$caractéristiques$$ est non nul alors le système $$(\mathcal{S})$$ est impossible. On dit aussi que le système $$(\mathcal{S})$$ est incompatible.*
$$-$$ si $$r<p$$ et si tous les déterminants $$caractéristiques$$ sont nuls alors le système $$(\mathcal{S})$$ est équivalent au système des $$r$$ " équations principales ". On dit aussi que le système $$(\mathcal{S})$$ est compatible.