Comment calculer un déterminant 2×22\times 2 - Exercice 1

10 min
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Question 1

Calculer le déterminant de la matrice A=(2153)A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {1} \\ {5} & {3} \end{array}\right)

Correction
  • Soit A=(abcd)A=\left(\begin{array}{cc} {\red{a}} & {\blue{b}} \\ {\pink{c}} & {\green{d}} \end{array}\right) une matrice carrée d'ordre 22. On appelle deˊterminant\red{\text{déterminant}} de AA le nombre det⁡(A)=a×d−b×c\det \left(A\right)=\red{a}\times \green{d}-\blue{b}\times \pink{c}
    • Nous avons A=(2153)A=\left(\begin{array}{cc} {\red{2}} & {\blue{1}} \\ {\pink{5}} & {\green{3}} \end{array}\right)
    Ainsi :
    det⁡(A)=2×3−1×5\det \left(A\right)=\red{2}\times \green{3}-\blue{1}\times \pink{5}
    det⁡(A)=6−5\det \left(A\right)=6-5
    Finalement :
    det⁡(A)=1\det \left(A\right)=1

    Question 2

    Calculer le déterminant de la matrice B=(−142−7)B=\left(\begin{array}{cc} {-1} & {4} \\ {2} & {-7} \end{array}\right)

    Correction
  • Soit A=(abcd)A=\left(\begin{array}{cc} {\red{a}} & {\blue{b}} \\ {\pink{c}} & {\green{d}} \end{array}\right) une matrice carrée d'ordre 22. On appelle deˊterminant\red{\text{déterminant}} de AA le nombre det⁡(A)=a×d−b×c\det \left(A\right)=\red{a}\times \green{d}-\blue{b}\times \pink{c}
    • Nous avons B=(−142−7)B=\left(\begin{array}{cc} {\red{-1}} & {\blue{4}} \\ {\pink{2}} & {\green{-7}} \end{array}\right)
    Ainsi :
    det⁡(B)=(−1)×(−7)−4×2\det \left(B\right)=\left(\red{-1}\right)\times \left(\green{-7}\right)-\blue{4}\times \pink{2}
    det⁡(B)=7−8\det \left(B\right)=7-8
    Finalement :
    det⁡(B)=−1\det \left(B\right)=-1
    Question 3

    Soit i∈Ci\in \mathbb{C} tel que i2=−1i^2=-1 .
    Calculer le déterminant de la matrice C=(i52−2i)C=\left(\begin{array}{cc} {i} & {5} \\ {2} & {-2i} \end{array}\right)

    Correction
  • Soit A=(abcd)A=\left(\begin{array}{cc} {\red{a}} & {\blue{b}} \\ {\pink{c}} & {\green{d}} \end{array}\right) une matrice carrée d'ordre 22. On appelle deˊterminant\red{\text{déterminant}} de AA le nombre det⁡(A)=a×d−b×c\det \left(A\right)=\red{a}\times \green{d}-\blue{b}\times \pink{c}
    • Nous avons C=(i52−2i)C=\left(\begin{array}{cc} {\red{i}} & {\blue{5}} \\ {\pink{2}} & {\green{-2i}} \end{array}\right)
    Ainsi :
    det⁡(C)=i×(−2i)−5×2\det \left(C\right)=\red{i}\times \left(\green{-2i}\right)-\blue{5}\times \pink{2}
    det⁡(C)=−2i2−10\det \left(C\right)=-2i^2-10
    det⁡(C)=−2×(−1)−10\det \left(C\right)=-2\times\left(-1\right)-10
    Finalement :
    det⁡(C)=−8\det \left(C\right)=-8
    Question 4

    Soit m∈Rm\in \mathbb{R} .
    Calculer le déterminant de la matrice D=(m33mm+1)D=\left(\begin{array}{cc} {m} & {3} \\ {3m} & {m+1} \end{array}\right)

    Correction
  • Soit A=(abcd)A=\left(\begin{array}{cc} {\red{a}} & {\blue{b}} \\ {\pink{c}} & {\green{d}} \end{array}\right) une matrice carrée d'ordre 22. On appelle deˊterminant\red{\text{déterminant}} de AA le nombre det⁡(A)=a×d−b×c\det \left(A\right)=\red{a}\times \green{d}-\blue{b}\times \pink{c}
    • Nous avons D=(m33mm+1)D=\left(\begin{array}{cc} {\red{m}} & {\blue{3}} \\ {\pink{3m}} & {\green{m+1}} \end{array}\right)
    Ainsi :
    det⁡(D)=m×(m+1)−3×3m\det \left(D\right)=\red{m}\times \left(\green{m+1}\right)-\blue{3}\times \pink{3m}
    det⁡(D)=m2+m−9m\det \left(D\right)=m^2+m-9m
    Finalement :
    det⁡(D)=m2−8m\det \left(D\right)=m^2-8m

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