Comment calculer un déterminant 3×33\times 3 selon une ligne ou une colonne - Exercice 1

15 min
20
Question 1

Calculer le déterminant de la matrice A=(23−201213−1)A=\left( \begin{array}{ccc}2 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 2\\ 1 & 3 & -1 \end{array}\right) .

Correction
det(A) =∣23−201213−1∣{\mathrm{det} \left(A\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}\red{2} & 3 & -2 \\ \green{0} & 1 & 2 \\ \pink{1} & 3 & -1 \end{array}\right|
Pour calculer le déterminant de AA, nous allons développer suivant la première colonne.
det(A) =2×(−1)1+1×∣123−1∣⏟mineur⏞cofacteur+0×(−1)2+1×∣3−23−1∣⏟mineur⏞cofacteur+1×(−1)3+1×∣3−212∣⏟mineur⏞cofacteur{\mathrm{det} \left(A\right)\ }=\red{2}\times \overbrace{{\left(-1\right)}^{1+1}\times \underbrace{\left| \begin{array}{cc}1 & 2 \\ 3 & -1 \end{array}\right|}_{\text{mineur}}}^{\text{cofacteur}}+\green{0}\times \overbrace{{\left(-1\right)}^{2+1}\times \underbrace{\left| \begin{array}{cc}3 & -2 \\ 3 & -1 \end{array}\right|}_{\text{mineur}}}^{\text{cofacteur}}+\pink{1}\times \overbrace{{\left(-1\right)}^{3+1}\times \underbrace{\left| \begin{array}{cc}3 & -2 \\ 1 & 2 \end{array}\right|}_{\text{mineur}}}^{\text{cofacteur}}
det(A) =2×1×(1×(−1)−3×2)+0+1×1×(3×2−1×(−2)){\mathrm{det} \left(A\right)\ }=2\times 1\times \left(1\times\left(-1\right)-3\times2\right)+0+1\times1\times\left(3\times2-1\times\left(-2\right)\right)
det(A) =2×(−7)+0+1×8{\mathrm{det} \left(A\right)\ }=2\times \left(-7\right)+0+1\times8
det(A) =−14+8{\mathrm{det} \left(A\right)\ }=-14+8
Ainsi :
det(A) =−6{\mathrm{det} \left(A\right)\ }=-6
Question 2

Calculer le déterminant de la matrice B=(12−1−101322)B=\left( \begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \end{array}\right) .

Correction
det(B) =∣12−1−101322∣{\mathrm{det} \left(B\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}\red{1} & \green{2} & \pink{-1} \\ -1 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \end{array}\right|
Pour calculer le déterminant de BB, nous allons développer suivant la première ligne.
det(B) =1×(−1)1+1×∣0122∣+2×(−1)1+2×∣−1132∣+(−1)×(−1)1+3×∣−1032∣{\mathrm{det} \left(B\right)\ }=\red{1}\times {\left(-1\right)}^{1+1}\times \left| \begin{array}{cc}0 & 1 \\ 2 & 2 \end{array}\right|+\green{2}\times {\left(-1\right)}^{1+2}\times \left| \begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}\right|+\left(\pink{-1}\right)\times {\left(-1\right)}^{1+3}\times \left| \begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 3 & 2 \end{array}\right|
det(B) =1×1×(0×2−2×1)+2×(−1)×(−1×2−3×1)+(−1)×1×(−1×2−3×0){\mathrm{det} \left(B\right)\ }=1\times 1\times \left(0\times 2-2\times 1\right)+2\times \left(-1\right)\times \left(-1\times 2-3\times 1\right)+\left(-1\right)\times 1\times \left(-1\times 2-3\times 0\right)
det(B) =1×1×(−2)+2×(−1)×(−5)+(−1)×1×(−2){\mathrm{det} \left(B\right)\ }=1\times 1\times \left(-2\right)+2\times \left(-1\right)\times \left(-5\right)+\left(-1\right)\times 1\times \left(-2\right)
det(B) =−2+10+2{\mathrm{det} \left(B\right)\ }=-2+10+2
Ainsi :
det(B) =10{\mathrm{det} \left(B\right)\ }=10
Question 3

Calculer le déterminant de la matrice C=(3−204−322−2−1)C=\left( \begin{array}{ccc}3 & -2 & 0 \\ 4 & -3 & 2 \\ 2 & -2 & -1 \end{array}\right) .

Correction
det(C) =∣3−204−322−2−1∣{\mathrm{det} \left(C\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}3 & -2 & 0 \\ 4 & -3 & 2 \\ \red{2} & \green{-2} & \pink{-1} \end{array}\right|
Pour calculer le déterminant de CC, nous allons développer suivant la troisième ligne.
det(C) =2×(−1)3+1×∣−20−32∣+(−2)×(−1)3+2×∣3042∣+(−1)×(−1)3+3×∣3−24−3∣{\mathrm{det} \left(C\right)\ }=\red{2}\times {\left(-1\right)}^{3+1}\times \left| \begin{array}{cc}-2 & 0 \\ -3 & 2 \end{array}\right|+\left(\green{-2}\right)\times {\left(-1\right)}^{3+2}\times \left| \begin{array}{cc}3 & 0 \\ 4 & 2 \end{array}\right|+\left(\pink{-1}\right)\times {\left(-1\right)}^{3+3}\times \left| \begin{array}{cc}3 & -2 \\ 4 & -3 \end{array}\right|
det(C) =2×1×((−2)×2−(−3)×0)−2×1×(3×2−4×0)+(−1)×1×(3×(−3)−4×(−2)){\mathrm{det} \left(C\right)\ }=2\times 1\times \left(\left(-2\right)\times 2-\left(-3\right)\times 0\right)-2\times 1\times \left(3\times 2-4\times 0\right)+\left(-1\right)\times 1\times \left(3\times \left(-3\right)-4\times \left(-2\right)\right)
det(C) =2×1×(−4)−2×(−1)×6+(−1)×1×(−1){\mathrm{det} \left(C\right)\ }=2\times 1\times \left(-4\right)-2\times \left(-1\right)\times 6+\left(-1\right)\times 1\times \left(-1\right)
det(C) =−8+12+1{\mathrm{det} \left(C\right)\ }=-8+12+1
Ainsi :
det(C) =5{\mathrm{det} \left(C\right)\ }=5
Question 4

Soient (x;y)∈R2\left(x;y\right)\in \mathbb{R}^2. Calculer le déterminant de la matrice D=(x0y1x0y0x)D=\left( \begin{array}{ccc}x & 0 & y \\ 1 & x & 0 \\ y & 0 & x \end{array}\right) en fonction de xx et yy .

Correction
det(D) =∣x0y1x0y0x∣{\mathrm{det} \left(D\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}x & \red{0} & y \\ 1 & \green{x} & 0 \\ y & \pink{0} & x \end{array}\right|
Pour calculer le déterminant de DD, nous allons développer suivant la deuxième colonne.
det(D) =0×(−1)2+1×∣10yx∣+x×(−1)2+2×∣xyyx∣+0×(−1)2+3×∣xy10∣{\mathrm{det} \left(D\right)\ }=\red{0}\times {\left(-1\right)}^{2+1}\times \left| \begin{array}{cc}1 & 0 \\ y & x \end{array}\right|+\green{x}\times {\left(-1\right)}^{2+2}\times \left| \begin{array}{cc}x & y \\ y & x \end{array}\right|+\pink{0}\times {\left(-1\right)}^{2+3}\times \left| \begin{array}{cc}x & y \\ 1 & 0 \end{array}\right|
det(D) =0+x×(x2−y2)+0{\mathrm{det} \left(D\right)\ }=0+x\times \left(x^2-y^2\right)+0
Ainsi :
det(D) =x3−xy2{\mathrm{det} \left(D\right)\ }=x^3-xy^2
Question 5

Soient (x;y;z)∈R3\left(x;y;z\right)\in \mathbb{R}^3. Calculer le déterminant de la matrice E=(xyzyzxzxy)E=\left( \begin{array}{ccc}x & y & z \\ y & z & x \\ z & x & y \end{array}\right) en fonction de xx ; yy et zz .

Correction
det(E) =∣xyzyzxzxy∣{\mathrm{det} \left(E\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}\red{x} & \green{y} & \pink{z} \\ y & z & x \\ z & x & y \end{array}\right|
Pour calculer le déterminant de EE, nous allons développer suivant la première ligne.
det(E) =x×(−1)1+1×∣zxxy∣+y×(−1)1+2×∣yxzy∣+z×(−1)1+3×∣yzzx∣{\mathrm{det} \left(E\right)\ }=\red{x}\times {\left(-1\right)}^{1+1}\times \left| \begin{array}{cc}z & x \\ x & y \end{array}\right|+\green{y}\times {\left(-1\right)}^{1+2}\times \left| \begin{array}{cc}y & x \\ z & y \end{array}\right|+\pink{z}\times {\left(-1\right)}^{1+3}\times \left| \begin{array}{cc}y & z \\ z & x \end{array}\right|
det(E) =x×1×(zy−x2)+y×(−1)×(y2−zx)+z×1×(yx−z3){\mathrm{det} \left(E\right)\ }=x\times 1\times \left(zy-x^2\right)+y\times \left(-1\right)\times \left(y^2-zx\right)+z\times 1\times \left(yx-z^3\right)
det(E) =x(zy−x2)−y(y2−zx)+z(yx−z2){\mathrm{det} \left(E\right)\ }=x\left(zy-x^2\right)-y\left(y^2-zx\right)+z\left(yx-z^2\right)
det(E) =xzy−x3−y3+yzx+zyx−z3{\mathrm{det} \left(E\right)\ }=xzy-x^3-y^3+yzx+zyx-z^3
Ainsi :
det(E) =3xzy−x3−y3−z3{\mathrm{det} \left(E\right)\ }=3xzy-x^3-y^3-z^3

Signaler une erreur

Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.