La méthode du pivot de Gauss - Exercice 3

$$\left\{ \begin{array}{cccc}x-y+3z & = & 3 \\ 2x+y+2z & = & 5 \\ x-2y-z & = & -2 \\ -x+y+2z & = & 3\end{array} \begin{array}{c} \end{array} \begin{array}{c}L_1 \\ L_2 \\ L_3 \\ L_4 \end{array}\right.$$
Notons $$L_1$$ la première ligne de notre système linéaire qui correspondra à la ligne pivot.
Maintenant, nous allons supprimer le coefficient de $$x$$ de la ligne $$L_2$$ (respectivement de la ligne $$L_3$$ et de la ligne $$L_4$$) à l'aide d'une combinaison linéaire de $$L_1$$ avec $$L_2$$ (respectivement à l'aide d'une combinaison de $$L_1$$ avec $$L_3$$ et de $$L_1$$ avec $$L_4$$) .
$$\left\{ \begin{array}{cccc}x-y+3z & = & 3 \\ 3y-4z & = & -1 \\ -y-4z & = & -5 \\ 5z & = & 6\end{array} \begin{array}{c} \end{array} \begin{array}{c}L_1 \\ L_2\longleftarrow L_2-2L_1 \\ L_3\longleftarrow L_3-L_1 \\ L_4\longleftarrow L_4+L_1 \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{cccc}x-y+3z & = & 3 \\ 3y-4z & = & -1 \\ -y-4z & = & -5 \\ z & = & \frac{6}{5}\end{array} \begin{array}{c} \end{array} \right.$$
$$\left\{ \begin{array}{cccc}x-y+3z & = & 3 \\ 3y-4\times\frac{6}{5} & = & -1 \\ -y-4\times\frac{6}{5} & = & -5 \\ z & = & \frac{6}{5}\end{array} \begin{array}{c} \end{array} \right.$$
$$\left\{ \begin{array}{cccc}x-y+3z & = & 3 \\ 3y-\frac{24}{5} & = & -1 \\ -y-\frac{24}{5} & = & -5 \\ z & = & \frac{6}{5}\end{array} \begin{array}{c} \end{array} \right.$$
$$\left\{ \begin{array}{cccc}x-y+3z & = & 3 \\ 3y & = & -1+\frac{24}{5} \\ -y & = & -5+\frac{24}{5} \\ z & = & \frac{6}{5}\end{array} \begin{array}{c} \end{array} \right.$$
$$\left\{ \begin{array}{cccc}x-y+3z & = & 3 \\ 3y & = & \frac{19}{5} \\ -y & = & -\frac{1}{5} \\ z & = & \frac{6}{5}\end{array} \begin{array}{c} \end{array} \right.$$
$$\left\{ \begin{array}{cccc}x-y+3z & = & 3 \\ y & = & \frac{19}{15} \\ y & = & \frac{1}{5} \\ z & = & \frac{6}{5}\end{array} \begin{array}{c} \end{array} \right.$$
Le système est incompatible. Autrement dit, il n'y a pas de solutions. En effet, $$\frac{19}{15}\ne \frac{1}{15}$$ .