Matrices inversibles - Exercice 3

Calculons le déterminant de la matrice $$A$$. On a alors :
$$\det A = \begin{vmatrix} \cos(a) & -\sin(a) \\ \sin(a) & \cos(a) \end{vmatrix} = \cos(a)\cos(a) - \sin(a)\big( -\sin(a) \big) = \cos^2(a) + \sin^2(a)$$
En faisant usage de la relation fondamentale de la géométrie, on trouve finalement que :
$$\det A = 1$$
On constate alors que $$\det A \neq 0$$ ce qui implique bien que la matrice $$A$$ est inversible.

D'après les éléments de rappels de cours, on sait que :
$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$
Dans notre cas, on constate que :
$$\dfrac{1}{ad - bc} = \dfrac{1}{\cos(a)\cos(a) - \sin(a)\big( -\sin(a) \big)} = \dfrac{1}{\cos^2(a) + \sin^2(a)} = \dfrac{1}{1} =1$$
Ainsi, on trouve facilement que :
$$\begin{pmatrix} \cos(a) & -\sin(a) \\ \sin(a) & \cos(a) \end{pmatrix}^{-1} = 1 \times \begin{pmatrix} \cos(a) & -\big(-\sin(a)\big) \\ -\sin(a) & \cos(a) \end{pmatrix}$$
Finalement :
$$\begin{pmatrix} \cos(a) & -\sin(a) \\ \sin(a) & \cos(a) \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} \cos(a) & \sin(a) \\ -\sin(a) & \cos(a) \end{pmatrix}$$