Méthode de Cramer : systèmes linéaires $$2\times 2$$ - Exercice 1

Première étape : Ecrivons le système sous forme matricielle.
Le système $$S_{1}$$ s'écrit sous forme matricielle $$AX=B$$ avec $$A=\left(\begin{array}{cc} {\red{3}} & {\blue{2}} \\ {\pink{2}} & {\green{5}} \end{array}\right)$$ ; $$X=\left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right)$$ et $$B=\left(\begin{array}{c} {{\color{brown}{1}}} \\ {{\color{orange}{8}}} \end{array}\right)$$ .
Deuxième étape : Calculons le déterminant de $$A$$ .
Nous avons $$A=\left(\begin{array}{cc} {\red{3}} & {\blue{2}} \\ {\pink{2}} & {\green{5}} \end{array}\right)$$
Ainsi :
$$\det \left(A\right)=\red{3}\times \green{5}-\blue{2}\times \pink{2}$$
$$\det \left(A\right)=15-4$$
Finalement :
Comme $$\det \left(A\right)\ne 0$$ , le système est de Cramer. Il admet donc un unique couple solution.
Troisième étape : Calculons la valeur de $$x$$
$$x=\frac{{\Delta }_x}{{\mathrm{det} \left(A\right)\ }}$$ où $${\Delta }_x=\left| \begin{array}{cc}{\color{brown}{1}} & {\blue{2}} \\ \color{orange}{8} & \green{5} \end{array}\right|$$ .
Ainsi : $${\Delta }_x={\color{brown}{1}} \times \green{5}-{\color{orange}{8}} \times {\blue{2}}$$ d'où $${\Delta }_x=-11$$.
Il en résulte donc que : $$x=\frac{-11}{11}$$ c'est à dire .
Quatrième étape : Calculons la valeur de $$y$$
$$y=\frac{{\Delta }_y}{{\mathrm{det} \left(A\right)\ }}$$ où $${\Delta }_y=\left| \begin{array}{cc}{\red{3}} & {\color{brown}{1}} \\ \pink{2} & \color{orange}{8} \end{array}\right|$$ .
Ainsi : $${\Delta }_y={\red{3}} \times {\color{orange}{8}}-{\pink{2}} \times {\color{brown}{1}}$$ d'où $${\Delta }_y=22$$.
Il en résulte donc que : $$y=\frac{22}{11}$$ c'est à dire .
L’unique solution du système est le couple

Première étape : Ecrivons le système sous forme matricielle.
Le système $$S_{2}$$ s'écrit sous forme matricielle $$AX=B$$ avec $$A=\left(\begin{array}{cc} {\red{1}} & {\blue{1}} \\ {\pink{-4}} & {\green{2}} \end{array}\right)$$ ; $$X=\left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right)$$ et $$B=\left(\begin{array}{c} {{\color{brown}{a}}} \\ {{\color{orange}{5}}} \end{array}\right)$$ .
Deuxième étape : Calculons le déterminant de $$A$$ .
Nous avons $$A=\left(\begin{array}{cc} {\red{1}} & {\blue{1}} \\ {\pink{-4}} & {\green{2}} \end{array}\right)$$
Ainsi :
$$\det \left(A\right)=\red{1}\times \green{2}-\blue{1}\times \left(\pink{-4}\right)$$
$$\det \left(A\right)=2+4$$
Finalement :
Comme $$\det \left(A\right)\ne 0$$ , le système est de Cramer. Il admet donc un unique couple solution.
Troisième étape : Calculons la valeur de $$x$$
$$x=\frac{{\Delta }_x}{{\mathrm{det} \left(A\right)\ }}$$ où $${\Delta }_x=\left| \begin{array}{cc}{\color{brown}{a}} & {\blue{1}} \\ \color{orange}{5} & \green{2} \end{array}\right|$$ .
Ainsi : $${\Delta }_x={\color{brown}{a}} \times \green{2}-{\color{orange}{5}} \times {\blue{1}}$$ d'où $${\Delta }_x=2a-5$$.
Il en résulte donc que : .
Quatrième étape : Calculons la valeur de $$y$$
$$y=\frac{{\Delta }_y}{{\mathrm{det} \left(A\right)\ }}$$ où $${\Delta }_y=\left| \begin{array}{cc}{\red{1}} & {\color{brown}{a}} \\ \pink{-4} & \color{orange}{5} \end{array}\right|$$ .
Ainsi : $${\Delta }_y={\red{1}} \times {\color{orange}{5}}-\left({\pink{-4}} \right)\times {\color{brown}{a}}$$ d'où $${\Delta }_y=5+4a$$.
Il en résulte donc que : .
L’unique solution du système est le couple

Première étape : Ecrivons le système sous forme matricielle.
Le système $$S_{3}$$ s'écrit sous forme matricielle $$AX=B$$ avec $$A=\left(\begin{array}{cc} {\red{-2}} & {\blue{4}} \\ {\pink{3}} & {\green{-6}} \end{array}\right)$$ ; $$X=\left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right)$$ et $$B=\left(\begin{array}{c} {{\color{brown}{-3}}} \\ {{\color{orange}{7}}} \end{array}\right)$$ .
Deuxième étape : Calculons le déterminant de $$A$$ .
Nous avons $$A=\left(\begin{array}{cc} {\red{-2}} & {\blue{4}} \\ {\pink{3}} & {\green{-6}} \end{array}\right)$$
Ainsi : $$\det \left(A\right)=\left(\red{-2}\right)\times \left(\green{-6}\right)-\blue{4}\times \pink{3}$$
$$\det \left(A\right)=12-12$$
Finalement :
Comme $$\det \left(A\right)= 0$$ , le système n'est pas de Cramer. Cela signifie que soit le système est incompatible soit le système est indéterminé.
Calculons $${\Delta }_y$$ .
$${\Delta }_y=\left| \begin{array}{cc}{\red{-2}} & {\color{brown}{-3}} \\ \pink{3} & \color{orange}{7} \end{array}\right|$$
$${\Delta }_y=\left({\red{-2}}\right) \times {\color{orange}{7}}-{\pink{3}} \times \left({\color{brown}{-3}}\right)$$
$${\Delta }_y=-14+9$$
$${\Delta }_y=-5$$
Comme $${\Delta }_y\ne0$$ le système est alors incompatible. Autrement dit le système n'admet pas de solutions.

Première étape : Ecrivons le système sous forme matricielle.
Le système $$S_{4}$$ s'écrit sous forme matricielle $$AX=B$$ avec $$A=\left(\begin{array}{cc} {\red{-2}} & {\blue{6}} \\ {\pink{3}} & {\green{-9}} \end{array}\right)$$ ; $$X=\left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right)$$ et $$B=\left(\begin{array}{c} {{\color{brown}{\frac{7}{3}}}} \\ {{\color{orange}{-\frac{7}{2}}}} \end{array}\right)$$ .
Deuxième étape : Calculons le déterminant de $$A$$ .
Nous avons $$A=\left(\begin{array}{cc} {\red{-2}} & {\blue{6}} \\ {\pink{3}} & {\green{-9}} \end{array}\right)$$
Ainsi : $$\det \left(A\right)=\left(\red{-2}\right)\times \left(\green{-9}\right)-\blue{6}\times \pink{3}$$
$$\det \left(A\right)=18-18$$
Finalement :
Comme $$\det \left(A\right)= 0$$ , le système n'est pas de Cramer. Cela signifie que soit le système est incompatible soit le système est indéterminé.
Calculons $${\Delta }_y$$ .
$${\Delta }_y=\left| \begin{array}{cc}{\red{-2}} & {\color{brown}{\frac{7}{3}}} \\ \pink{3} & \color{orange}{-\frac{7}{2}} \end{array}\right|$$
$${\Delta }_y=\left({\red{-2}}\right) \times \left({\color{orange}{-\frac{7}{2}}}\right)-{\pink{3}} \times {\color{brown}{\frac{7}{3}}}$$
$${\Delta }_y=7-7$$
$${\Delta }_y=0$$
Comme $${\Delta }_y=0$$ le système est alors indéterminée.
Cela signifie que dans le système $$S_{4}:\left\{\begin{array}{ccccc} {-2x} & {+} & {6y} & {=} & {\frac{7}{3}} \\ {3x} & {-} & {9y} & {=} & {-\frac{7}{2}} \end{array}\right.$$ nous pouvons garder une seule des deux lignes car elles sont proportionnelles.
Ainsi $$S_{4}:\left\{\begin{array}{ccccc} {-2x} & {+} & {6y} & {=} & {\frac{7}{3}} \end{array}\right.$$
L'ensemble des solutions du système $$S_4$$ est alors la droite $$\left(d\right)$$ passant par le point $$A\left(-\frac{7}{6};0\right)$$ et de vecteur directeur $$\overrightarrow {u}\left(-6;-2\right)$$ .