Méthode de Cramer : systèmes linéaires $$2\times 2$$ - Exercice 2

Première étape : Ecrivons le système sous forme matricielle.
Le système $$S_{1}$$ s'écrit sous forme matricielle $$AX=B$$ avec $$A=\left(\begin{array}{cc} {\red{m}} & {\blue{1}} \\ {\pink{4}} & {\green{2}} \end{array}\right)$$ ; $$X=\left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right)$$ et $$B=\left(\begin{array}{c} {{\color{brown}{0}}} \\ {{\color{orange}{-1}}} \end{array}\right)$$ .
Deuxième étape : Calculons le déterminant de $$A$$ .
Nous avons $$A=\left(\begin{array}{cc} {\red{m}} & {\blue{1}} \\ {\pink{4}} & {\green{2}} \end{array}\right)$$
Ainsi :
$$\det \left(A\right)=\red{m}\times \green{2}-\blue{1}\times \pink{4}$$
$$\det \left(A\right)=2m-4$$
Le système est de Cramer si et seulement si ce déterminant est non nul, donc $$2m-4\ne 0\Longleftrightarrow m \ne2$$
Premier cas : si $$m\ne 2$$ le système est de Cramer et il admet donc un unique couple solution.
Calcul de $$\orange{x :}$$
$$x=\frac{{\Delta }_x}{{\mathrm{det} \left(A\right)\ }}$$ où $${\Delta }_x=\left| \begin{array}{cc}{\color{brown}{0}} & {\blue{1}} \\ \color{orange}{-1} & \green{2} \end{array}\right|$$ .
Ainsi : $${\Delta }_x={\color{brown}{0}} \times \green{2}-{\color{orange}{\left(-1\right)}} \times {\blue{1}}$$ d'où $${\Delta }_x=1$$.
Il en résulte donc que : .
Calcul de $$\orange{y :}$$
$$y=\frac{{\Delta }_y}{{\mathrm{det} \left(A\right)\ }}$$ où $${\Delta }_y=\left| \begin{array}{cc}{\red{m}} & {\color{brown}{0}} \\ \pink{4} & \color{orange}{-1} \end{array}\right|$$ .
Ainsi : $${\Delta }_y={\red{m}} \times {\color{orange}{\left(-1\right)}}-{\pink{4}} \times {\color{brown}{0}}$$ d'où $${\Delta }_y=-m$$.
Il en résulte donc que : .

Deuxième cas : Si $$m=2$$, le système linéaire s'écrit alors :
$$S_{1}:\left\{\begin{array}{ccccc} {2x} & {+} & {y} & {=} & {0} \\ {4x} & {+} & {2y} & {=} & {-1} \end{array}\right.$$
$$S_{1}:\left\{ \begin{array}{ccc}2x+y & = & 0 \\ 0 & = & -2 \end{array}\right. \begin{array}{c}L_1 \\ {\ \ \ L}_2\longleftarrow L_2-2L_1 \end{array}$$
L'équation $$0=-2$$ est une une équation fausse. Le système $$S_1$$ est alors incompatible. Il n'y a donc pas de solution.

Conclusion :

Si $$m\ne2$$ le système admet un unique couple solution

$$\left(x;y\right)=\left\{\left(\frac{1}{2m-4};\frac{-m}{2m-4}\right)\right\}$$

Si $$m=2$$ le système n'admet pas de solution.

Première étape : Ecrivons le système sous forme matricielle.
Le système $$S_{2}$$ s'écrit sous forme matricielle $$AX=B$$ avec $$A=\left(\begin{array}{cc} {\red{m}} & {\blue{3}} \\ {\pink{2m}} & {\green{m}} \end{array}\right)$$ ; $$X=\left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right)$$ et $$B=\left(\begin{array}{c} {{\color{brown}{2}}} \\ {{\color{orange}{5}}} \end{array}\right)$$ .
Deuxième étape : Calculons le déterminant de $$A$$ .
Nous avons $$A=\left(\begin{array}{cc} {\red{m}} & {\blue{3}} \\ {\pink{2m}} & {\green{m}} \end{array}\right)$$
Ainsi :
$$\det \left(A\right)=\red{m}\times \green{m}-\blue{3}\times \pink{2m}$$
$$\det \left(A\right)=m^2-6m$$
Le système est de Cramer si et seulement si ce déterminant est non nul, donc $$m^2-6m\ne 0\Longleftrightarrow m\left(m-6\right)\ne 0\Longleftrightarrow m \ne0 \text{ et } m \ne6$$
Premier cas : si $$m\in \mathbb{R}\backslash \left\{0;6\right\}$$ le système est de Cramer et il admet donc un unique couple solution.
Calcul de $$\orange{x :}$$
$$x=\frac{{\Delta }_x}{{\mathrm{det} \left(A\right)\ }}$$ où $${\Delta }_x=\left| \begin{array}{cc}{\color{brown}{2}} & {\blue{3}} \\ \color{orange}{5} & \green{m} \end{array}\right|$$ .
Ainsi : $${\Delta }_x={\color{brown}{2}} \times \green{m}-{\color{orange}{5}} \times {\blue{3}}$$ d'où $${\Delta }_x=2m-15$$.
Il en résulte donc que : .
Calcul de $$\orange{y :}$$
$$y=\frac{{\Delta }_y}{{\mathrm{det} \left(A\right)\ }}$$ où $${\Delta }_y=\left| \begin{array}{cc}{\red{m}} & {\color{brown}{2}} \\ \pink{2m} & \color{orange}{5} \end{array}\right|$$ .
Ainsi : $${\Delta }_y={\red{m}} \times {\color{orange}{5}}-{\pink{2m}} \times {\color{brown}{2}}$$ d'où $${\Delta }_y=5m-4m=m$$.
Il en résulte donc que : .

Deuxième cas : Si $$m=0$$, le système linéaire s'écrit alors :
$$S_{2}:\left\{\begin{array}{ccccc} {0\times x} & {+} & {3y} & {=} & {2} \\ {2\times 0\times x} & {+} & {0 \times y} & {=} & {5} \end{array}\right.$$
$$S_{2}:\left\{ \begin{array}{ccc} 3y & = & 2 \\ 0 & = & 5 \end{array}\right.$$
L'équation $$0=5$$ est une une équation fausse. Le système $$S_2$$ est alors incompatible. Il n'y a donc pas de solution lorsque $$m=0$$ .

Troisième cas : Si $$m=6$$, le système linéaire s'écrit alors :
$$S_{2}:\left\{\begin{array}{ccccc} {6\times x} & {+} & {3y} & {=} & {2} \\ {2\times 6\times x} & {+} & {6 \times y} & {=} & {5} \end{array}\right.$$
$$S_{2}:\left\{ \begin{array}{ccc} 6x+3y & = & 2 \\ 12x+6y & = & 5 \end{array}\right.$$
Calculons $${\Delta }_y$$ .
$${\Delta }_y=\left| \begin{array}{cc}{\red{6}} & {\color{brown}{2}} \\ \pink{12} & \color{orange}{5} \end{array}\right|$$
$${\Delta }_y={\red{6}} \times {\color{orange}{5}}-{\pink{12}} \times {\color{brown}{2}}$$
$${\Delta }_y=30-24$$
$${\Delta }_y=6$$
Comme $${\Delta }_y\ne0$$ . Le système $$S_2$$ est alors incompatible. Il n'y a donc pas de solution lorsque $$m=6$$ .
Conclusion :

Si $$m\in \mathbb{R}\backslash \left\{0;6\right\}$$ le système admet un unique couple solution

$$\left(x;y\right)=\left\{\left(\frac{2m-15}{m^2-6m};\frac{m}{m^2-6m}\right)\right\}$$

Si $$m=0$$ le système n'admet pas de solution.

Si $$m=6$$ le système n'admet pas de solution.

Première étape : Ecrivons le système sous forme matricielle.
Le système $$S_{3}$$ s'écrit sous forme matricielle $$AX=B$$ avec $$A=\left(\begin{array}{cc} {\red{m}} & {\blue{m-1}} \\ {\pink{1+m}} & {\green{2m}} \end{array}\right)$$ ; $$X=\left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right)$$ et $$B=\left(\begin{array}{c} {{\color{brown}{2}}} \\ {{\color{orange}{1}}} \end{array}\right)$$ .
Deuxième étape : Calculons le déterminant de $$A$$ .
Nous avons $$A=\left(\begin{array}{cc} {\red{m}} & {\blue{m-1}} \\ {\pink{1+m}} & {\green{2m}} \end{array}\right)$$
Ainsi :
$$\det \left(A\right)=\red{m}\times \green{2m}-\left(\blue{m-1}\right)\times \left(\pink{1+m}\right)$$
$$\det \left(A\right)=2m^2-\left(m^2-1\right)$$
$$\det \left(A\right)=2m^2-m^2+1$$
$$\det \left(A\right)=m^2+1$$
Pour tout réel $$m$$, $$\det \left(A\right)\ne0$$ . Le système est de Cramer et il admet donc un unique couple solution.
Calcul de $$\orange{x :}$$
$$x=\frac{{\Delta }_x}{{\mathrm{det} \left(A\right)\ }}$$ où $${\Delta }_x=\left| \begin{array}{cc}{\color{brown}{2}} & {\blue{m-1}} \\ \color{orange}{1} & \green{2m} \end{array}\right|$$ .
Ainsi : $${\Delta }_x={\color{brown}{2}} \times \green{2m}-{\color{orange}{1}} \times \left({\blue{m-1}}\right)$$ d'où $${\Delta }_x=4m-m+1=3m+1$$.
Il en résulte donc que : .
Calcul de $$\orange{y :}$$
$$y=\frac{{\Delta }_y}{{\mathrm{det} \left(A\right)\ }}$$ où $${\Delta }_y=\left| \begin{array}{cc}{\red{m}} & {\color{brown}{2}} \\ \pink{1+m} & \color{orange}{1} \end{array}\right|$$ .
Ainsi : $${\Delta }_y={\red{m}} \times {\color{orange}{1}}-\left({\pink{1+m}}\right) \times {\color{brown}{2}}$$ d'où $${\Delta }_y=m-2-2m=-m-2$$.
Il en résulte donc que : .

Si $$m\in \mathbb{R}$$, le système admet un unique couple solution

$$\left(x;y\right)=\left\{\left(\frac{3m+1}{m^2+1};\frac{-m-2}{m^2+1}\right)\right\}$$