Méthode de Cramer : systèmes linéaires $$3\times 3$$ - Exercice 3

On a :

On a :
$$\det A = \det \begin{pmatrix} a & b & 2 \\ a & 2b-1 & 3 \\ a & b & b+3 \end{pmatrix}$$
Effectuons les transformations suivantes : $$L_2 \longleftarrow L_2 - L_1$$ et $$L_3 \longleftarrow L_3 - L_1$$. On obtient alors :
$$\det A = \det \begin{pmatrix} a & b & 2 \\ 0 & b-1 & 1 \\ 0 & 0 & b+1 \end{pmatrix}$$
On va maintenant développer ce déterminant suivant la troisième ligne qui ne présente qu'un seul élément non nul $$b-1$$ qui se situe à la croisée de la troisième ligne et de la troisième colonne. On a alors :
$$\det A = (-1)^{3+3}(b+1) \begin{vmatrix} a & b \\ 0 & b-1 \end{vmatrix} = 1(b+1) \begin{vmatrix} a & b \\ 0 & b-1 \end{vmatrix} = (b+1) \begin{vmatrix} a & b \\ 0 & b-1 \end{vmatrix}$$
Ce qui nous donne :
$$\det A = (b+1) (a \times (b-1) - 0 \times b) = (b+1) (a(b-1) - 0 )$$
Finalement, on trouve que :

Le système linéaire $$(S)$$ est de $$Cramer$$ si $$\det A \neq 0$$. Donc :
$$\det A \neq 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, a(b+1)(b-1) \neq 0\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, a(b-(-1))(b-1) \neq 0$$
En conclusion, le système linéaire $$(S)$$ est toujours de $$Cramer$$ à l'exception des trois situations correspondantes à $$a=0$$, ou $$b=-1$$ ou enfin $$b=1$$.
Donc supposons exclure les trois situations correspondantes à $$a=0$$, ou $$b=-1$$ ou enfin $$b=1$$. Dans ce cas on peut écrire que :
$$x = \dfrac{\det \begin{pmatrix} 1 & b & 2 \\ 1 & 2b-1 & 3 \\ 2b-1 & b & b+3 \end{pmatrix}}{\det A} = \dfrac{−b^2+6b−5}{a(b+1)(b-1)} = \dfrac{−(b−5)(b-1)}{a(b+1)(b-1)}$$
Comme $$b \neq 1$$ on a $$b-1 \neq 0$$ et de fait on peut simplifier par $$b-1$$ pour obtenir :
$$x = \dfrac{-(b−5)}{a(b+1)}$$
Finalement :
$$x = \dfrac{5-b}{a(b+1)}$$
Puis, on a :
$$y = \dfrac{\det \begin{pmatrix} a & 1 & 2 \\ a & 1 & 3 \\ a & 2b-1 & b+3 \end{pmatrix}}{\det A} = \dfrac{2a-2ab}{a(b+1)(b-1)} = \dfrac{−2a(b-1)}{a(b+1)(b-1)}$$
Comme $$b \neq 1$$ on a $$b-1 \neq 0$$ et de fait on peut simplifier par $$b-1$$ pour obtenir :
$$y = \dfrac{-2a}{a(b+1)}$$
Comme $$a \neq 0$$ on peut simplifier par $$a$$ pour finalement obtenir :
$$y = -\dfrac{2}{b+1}$$
Enfin on a :
$$z = \dfrac{\det \begin{pmatrix} a & b & 1 \\ a & 2b-1 & 1 \\ a & b & 2b-1 \end{pmatrix}}{\det A} = \dfrac{2ab^2-4ab+2a}{2a(b^2-2b+1)} = \dfrac{2a(b-1)^2}{a(b+1)(b-1)} = \dfrac{2a(b-1)(b-1)}{a(b+1)(b-1)}$$
Comme $$b \neq 1$$ on a $$b-1 \neq 0$$ et de fait on peut simplifier par $$b-1$$ pour obtenir :
$$z = \dfrac{2a(b-1)}{a(b+1)}$$
Comme $$a \neq 0$$ on peut simplifier par $$a$$ pour finalement obtenir :
$$z = \dfrac{2(b-1)}{b+1}$$
En conclusion, si le système linéaire $$(S)$$ est de $$Cramer$$ alors la solution recherchée est :

$${\color{red}{\bullet \,\, Si \,\, a = 0 \,\, alors \, :}}$$
on a le système linéaire $$(S)$$, d'inconnues $$x$$, $$y$$ et $$z$$, qui devient :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} by + 2z & = & 1 \\ (2b-1)y + 3z & = & 1 \\ by + (b+3)z & = & 2b-1 \end{array} \right.$$
Ainsi la matrice associée à ce système devient :
$$A = \begin{pmatrix} 0 & {\color{blue}{b}} & {\color{blue}{2}} \\ 0 & {\color{blue}{2b-1}} & {\color{blue}{3}} \\ 0 & b & b+3 \end{pmatrix}$$
On remarque alors que la matrice $${\color{blue}{A'}}$$ définie par $${\color{blue}{A'}} = \begin{pmatrix} {\color{blue}{b}} & {\color{blue}{2}} \\ {\color{blue}{2b-1}} & {\color{blue}{3}} \end{pmatrix}$$ à un déterminant non nul car $$\det {\color{blue}{A'}} = 2 - b$$. Cette matrice $${\color{blue}{A'}}$$ est associée au système linéaire $$(S')$$ suivant :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} by + 2z & = & 1 \\ (2b-1)y + 3z & = & 1 \\ \end{array} \right.$$
Ce système système linéaire $$(S')$$ est de $$Cramer$$ à la condition supplémentaire que $$\det {\color{blue}{A'}} \neq 0$$ soit $$b \neq 2$$. Donc on a :
$$y = \dfrac{\det \begin{pmatrix} 1 & {\color{blue}{2}} \\ 1 & {\color{blue}{3}} \end{pmatrix}}{\det {\color{blue}{A'}} } = \dfrac{1}{2-b}$$
Puis :
$$z = \dfrac{\det \begin{pmatrix} {\color{blue}{b}} & 1 \\ {\color{blue}{2b-1}} & 1 \end{pmatrix}}{\det {\color{blue}{A'}} } = \dfrac{1-b}{2-b}$$
Ces valeurs de $$y$$ et $$z$$ trouvées doivent également permettre de satisfaire à la troisième égalité du système linéaire $$(S)$$, à savoir :
$$by + (b+3)z = 2b-1 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, b\dfrac{1}{2-b} + (b+3)\dfrac{1-b}{2-b} = 2b-1 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, b + (b+3)(1-b) = (2b-1)(2-b)$$
En développant :
$$b + b - b^2 + 3 - 3b = 4b - 2b^2 - 2 + b \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, -b^2 - b + 3 = -2b^2 + 5b - 2 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, b^2 - 6b + 5 = 0$$
En faisant usage de la technique du discriminant, on solutionne sans difficulté les deux solutions réelles distinctes de $$b$$. On trouve que $$b = 1$$ ou $$b = 5$$.
En conclusion :
$${\color{blue}{\blacksquare \,\, Si \,\, a=0 \,\, et \,\, b = 1 \,\, alors \,\, les \,\, solutions \,\, du \,\, système \,\, linéaire \,\, (S) \,\, sont \,\, x \in \mathbb{R} \,;\, y = 1 \,;\, z = 0}}$$
$${\color{blue}{\blacksquare \blacksquare \,\, Si \,\, a=0 \,\, et \,\, b = 5 \,\, alors \,\, les \,\, solutions \,\, du \,\, système \,\, linéaire \,\, (S) \,\, sont \,\, x \in \mathbb{R} \,;\, y = -\dfrac{1}{3} \,;\, z = \dfrac{4}{3}}}$$
$${\color{blue}{\blacksquare \blacksquare \blacksquare \,\, Si \,\, a=0 \,\, et \,\, b \neq 1 \,\, ou \,\, b \neq 5 \,\, alors \,\, le \,\, système \,\, linéaire \,\, (S) \,\, n'a \,\, pas \,\, de \,\, solution.}}$$
$${\color{red}{\bullet \bullet \,\, Si \,\, a \neq 0 \,\, et \,\, b = -1 \,\, alors \, :}}$$
on a le système linéaire $$(S)$$, d'inconnues $$x$$, $$y$$ et $$z$$, qui devient :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} ax - y + 2z & = & 1 \\ ax - 3y + 3z & = & 1 \\ ax - y + 2z & = & -3 \end{array} \right.$$
On constate de suite que la première ligne et la troisième ligne, du système précédent, sont incompatibles entre elles car conduisant à l'absurdité $$1=-3$$. En conclusion, on peut dire que :
$${\color{blue}{\blacksquare \,\, Si \,\, a \neq 0 \,\, et \,\, b = -1 \,\, alors \,\, le \,\, système \,\, linéaire \,\, (S) \,\, n'a \,\, pas \,\, de \,\, solution.}}$$
$${\color{red}{\bullet \bullet \bullet \,\, Si \,\, a \neq 0 \,\, et \,\, b = 1 \,\, alors \, :}}$$
on a le système linéaire $$(S)$$, d'inconnues $$x$$, $$y$$ et $$z$$, qui devient :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} ax + y + 2z & = & 1 \\ ax + y + 3z & = & 1 \\ ax + y + 4z & = & 1 \end{array} \right.$$
En effectuant l'opération $$L_2 - L_1$$ on trouve immédiatement que $$z = 0$$. Ceci nous permet d'ontenir l'égalité suivante :
$$ax + y = 1 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, y = 1 -ax$$
Finalement, dans cette situation, on peut donc conclure que :
$${\color{blue}{\blacksquare \,\, Si \,\, a \neq 0 \,\, et \,\, b = 1 \,\, alors \,\, les \,\, solutions \,\, du \,\, système \,\, linéaire \,\, (S) \,\, sont \,\, x \in \mathbb{R} \,;\, y = 1 - ax \,;\, z = 0}}.$$