Sujet $$1$$ : mise en route - Exercice 1

On a :
$$\det A = \det \begin{pmatrix} 3 & - 2 & 4 \\ -4 & 0 & -3 \\ 2 & 5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & - 2 & 4 \\ -4 & 0 & -3 \\ 2 & 5 & 2 \end{vmatrix}$$
La présence du $$0$$ dans la deuxième ligne (ou deuxième colonne) nous invite à déveopper ce déterminant suivant cette deuxième ligne (ou deuxième colonne). Portons notre choix sur la deuxième ligne. On a alors :
$$\det A = (-1)^{2+1} \times (-4) \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} + (-1)^{2+2} \times 0 \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} + (-1)^{2+3} \times (-3) \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}$$
Soit :
$$\det A = (-1)^{3} \times (-4) \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} + 0 + (-1)^{5} \times (-3) \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}$$
Soit encore :
$$\det A = (-1) \times (-4) \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} + (-1) \times (-3) \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}$$
Donc :
$$\det A = 4 \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}$$
Ainsi :
$$\det A = 4 (-2 \times 2 -5\times 4) + 3 (3 \times 5 - 2 \times (-2))$$
On a alors :
$$\det A = 4 (-4 - 20) + 3 (15 - (-4))$$
Ce qui nous donne :
$$\det A = 4 (-24) + 3 (15 +4)$$
Soit :
$$\det A = -96 + 3 (19)$$
Dès lors :
$$\det A = -96 + 57$$
Finalement :

On vient de démontrer que $$\det A = -39$$.
Donc $$\det A \neq 0$$.
Ceci implique que ma matrice $$A$$ est bien inversible.
Autrement dit, la matrice inverse $$A^{-1}$$ existe bien dans $$\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$$.

D'après le cours, on sait que :
$$A^{-1} = \dfrac{1}{\det A} \, ^t \mathrm{com}(A)$$
Ce qui nous donne :
$$\mathrm{com}(A) = \begin{pmatrix} (-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 0 & -3 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} & (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} -4 & -3 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} & (-1)^{1+3}\begin{vmatrix} -4 & 0 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} \\ & & \\ (-1)^{2+1}\begin{vmatrix} -2 & 4 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} & (-1)^{2+2}\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} & (-1)^{2+3}\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} \\ & & \\ (-1)^{3+1}\begin{vmatrix} -2 & 4 \\ 0 & -3 \end{vmatrix} & (-1)^{3+2}\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ -4 & -3 \end{vmatrix} & (-1)^{3+3}\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 0 \end{vmatrix} \end{pmatrix}$$
Soit :
$$\mathrm{com}(A) = \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} 0 & -3 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} & - \begin{vmatrix} -4 & -3 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} -4 & 0 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} \\ & & \\ -\begin{vmatrix} -2 & 4 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} \\ & & \\ \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ 0 & -3 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ -4 & -3 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 0 \end{vmatrix} \end{pmatrix}$$
Soit encore :
$$\mathrm{com}(A) = \begin{pmatrix} 15 & 2 & -20 \\ 24 & -2 & -19 \\ 6 & -7 & -8 \end{pmatrix}$$
On en déduit alors que :
$$^t \mathrm{com}(A) = \begin{pmatrix} 15 & 24 & 6 \\ 2 & -2 & -7 \\ -20 & -19 & -8 \end{pmatrix}$$
Finalement on trouve que :

Le système linéaire $$(S)$$ peut s'écrire comme :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcr} 3a - 2b + 4c & = & {\color{blue}{11}} \\ -4a + 0b - 3c & = & {\color{blue}{-13}} \\ 2a + 5b + 2c & = & {\color{blue}{18}} \end{array} \right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \begin{pmatrix} 3 & - 2 & 4 \\ -4 & 0 & -3 \\ 2 & 5 & 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\color{blue}{11}} \\ {\color{blue}{-13}} \\ {\color{blue}{18}} \end{pmatrix}\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, A \times \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\color{blue}{11}} \\ {\color{blue}{-13}} \\ {\color{blue}{18}} \end{pmatrix}$$
Comme $$\det A = -39 \neq 0$$ on a donc :
$$a = \dfrac{\det \begin{pmatrix} {\color{blue}{11}} & - 2 & 4 \\ {\color{blue}{-13}} & 0 & -3 \\ {\color{blue}{18}} & 5 & 2 \end{pmatrix}}{-39} = \dfrac{-39}{-39} = 1$$
Puis :
$$b = \dfrac{\det \begin{pmatrix} 3 & {\color{blue}{11}} & 4 \\ -4 & {\color{blue}{-13}} & -3 \\ 2 & {\color{blue}{18}} & 2 \end{pmatrix}}{-39} = \dfrac{-78}{-39} = 2 \times \dfrac{-39}{-39}= 2$$
Enfin :
$$c = \dfrac{\det \begin{pmatrix} 3 & - 2 & {\color{blue}{11}} \\ -4 & 0 & {\color{blue}{-13}} \\ 2 & 5 &{\color{blue}{18}} \end{pmatrix}}{-39} = \dfrac{-117}{-39} = 3 \times \dfrac{-39}{-39}= 3$$
Finalement, les solutions du système linéaire $$(S)$$ sont les suivantes :