Sujet $$4$$ - Exercice 2

Ecrivons le système linéaire $$(S)$$ sous la forme matricielle suivante :
$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ m & m & -2 \\ 1 & -m & 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, A \times X = B$$
Le déterminant de la matrice $$A$$ s'exprime comme :
$$\det A = \det \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ m & m & -2 \\ 1 & -m & 2 \end{pmatrix}$$
Effectuons les deux substitutions suivantes : $$L_2 \longleftarrow L_2 + L_1$$ et $$L_3 \longleftarrow L_3 - L_1$$. On obtient alors :
$$\det A = \det \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ m+1 & m-1 & 0 \\ 0 & -m+1 & 0 \end{pmatrix} =(-1)^{1+3}\times 2 \times \det \begin{pmatrix} m+1 & m-1 \\ 0 & -(m-1) \end{pmatrix} = 1 \times 2 \times (m+1) \times (-(m-1))$$
Finalement :
$$\det A = -2(m+1)(m-1) = -2(m^2-1) = 2(1-m^2)$$
On constate alors que :
$$\det A = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, m = \pm 1$$
$${{\color{red}{\bf{\bullet \,\, Premier \,\, cas \, : \,\,}} \det A \neq 0 }}$$
Cette situation signifie que $$m \neq 1$$ et $$m \neq -1$$.
Dans ce cas le système linéaire $$(S)$$ est de $$Cramer$$. On a alors :
$$x = \dfrac{\det \det \begin{pmatrix} a & -1 & 2 \\ b & m & -2 \\ c & -m & 2 \end{pmatrix} }{\det A} = \dfrac{-2(b+c)(m-1) }{-2(m+1)(m-1)} = \dfrac{b+c}{m+1}$$
Puis :
$$y = \dfrac{\det \begin{pmatrix} 1 & a & 2 \\ m & b & -2 \\ 1 & c & 2 \end{pmatrix} }{\det A} = \dfrac{-2(m+1)(a-c) }{-2(m+1)(m-1)} = \dfrac{a-c}{m-1}$$
Enfin :
$$z = \dfrac{\det \begin{pmatrix} 1 & -1 & a \\ m & m & b \\ 1 & -m & c \end{pmatrix} }{\det A} = \dfrac{b(m-1)-m(am + a - 2c) }{-2(m+1)(m-1)} = \dfrac{-am^2 + (-a+b+2c)m - b}{2(1-m^2)}$$
En conclusion sur cette situation :
$${\color{blue}{\blacksquare \,\, Si \,\, m \neq \pm 1 \,\, alors \,\, la \,\, solution \,\, du \,\, système \,\, linéaire \,\, (S) \,\, est \,\, donnée \,\, par \, :}}$$
$${\color{blue}{x = \dfrac{b+c}{m+1} \,\, ; \,\, y = \dfrac{a-c}{m-1} \,\, ; \,\, z = \dfrac{-am^2 + (-a+b+2c)m - b}{2(1-m^2)}}}$$
$${{\color{red}{\bf{\bullet \bullet \,\, Deuxième \,\, cas \, : \,\,}} \det A = 0 \,\, {\bf{car}} \,\, m=1}}$$
Nous allons traiter cette situation par l'écriture pratique de la "matrice augmentée". On a alors, lorsque $$m=1$$ le système suivant :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} x - y + 2z & = & a \\ x + y - 2z & = & b \\ x - y + 2z & = & c \end{array} \right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, (A_1|B) = \left( \begin{array}{rrr|c} 1 & -1 & 2 & a \\ 1 & 1 & -2 & b \\ 1 & -1 & 2 & c \end{array} \right)$$
Effectuons les deux substitutions suivantes : $$L_2 \longleftarrow L_2 - L_1$$ et $$L_3 \longleftarrow L_3 - L_1$$. On obtient alors :
$$(A_1|B) = \left( \begin{array}{rrr|c} 1 & -1 & 2 & a \\ 0 & 2 & -4 & b-a \\ 0 & 0 & 0 & c-a \end{array} \right)$$
La dernière ligne se traduit par $$0x + 0y + 0z = c-a$$ soit $$a=c$$. Donc on a le système suivant :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} x - y + 2z & = & a \\ 2y - 4z & = & b-a \end{array} \right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} 2x - 2y + 4z & = & 2a \\ 2y - 4z & = & b-a \end{array} \right.$$
La somme de ces deux lignes nous donne immédiatement $$2x =a+b$$ soit $$x = \dfrac{a+b}{2}$$. Puis, on en déduit que :
$$x - y + 2z = a \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, x - a + 2z = y \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{a+b}{2} - a + 2z = y \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{a+b}{2} - \dfrac{2a}{2} + 2z = y$$
Soit $$y = \dfrac{b-a}{2} + 2z$$.
$${\color{blue}{\blacksquare \blacksquare \,\, Si \,\, m = 1 \,\, alors \,\, les \,\, solutions \,\, du \,\, système \,\, linéaire \,\, (S) \,\, sont \,\, données \,\, par \, :}}$$
$${\color{blue}{x = \dfrac{a+b}{2} \,\, ; \,\, y = \dfrac{b-a}{2} + 2z \,\, ; \,\, z \in \mathbb{R} \,\,\,\, avec \,\, la \,\, condition \,\, a=c.}}$$
$${{\color{red}{\bf{\bullet \bullet \bullet\,\, Troisième \,\, cas \, : \,\,}} \det A = 0 \,\, {\bf{car}} \,\, m=-1}}$$
Nous allons traiter cette situation par l'écriture pratique de la "matrice augmentée". On a alors, lorsque $$m=-1$$ le système suivant :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} x - y + 2z & = & a \\ -x - y - 2z & = & b \\ x + y + 2z & = & c \end{array} \right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, (A_{-1}|B) = \left( \begin{array}{rrr|c} 1 & -1 & 2 & a \\ -1 & -1 & -2 & b \\ 1 & 1 & 2 & c \end{array} \right)$$
Effectuons la deux substitutions suivantes : $$L_2 \longleftarrow -L_2$$. On trouve que :
$$(A_{-1}|B) = \left( \begin{array}{rrr|c} 1 & -1 & 2 & a \\ 1 & 1 & 2 & -b \\ 1 & 1 & 2 & c \end{array} \right)$$
Effectuons maintenant la substitution suivante : $$L_3 \longleftarrow L_3 - L_2$$. On obtient alors :
$$(A_{-1}|B) = \left( \begin{array}{rrr|c} 1 & -1 & 2 & a \\ 1 & 1 & 2 & -b \\ 0 & 0 & 0 & b+c \end{array} \right)$$
La dernière ligne se traduit par $$0x + 0y + 0z = b+c$$ soit $$b=-c$$. Donc on a le système suivant :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} x - y + 2z & = & a \\ x + y + 2z & = & -b \end{array} \right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} -x + y - 2z & = & -a \\ x + y + 2z & = & -b \end{array} \right.$$
La somme de ces deux lignes nous donne immédiatement $$2y = -a-b=-(a+b)$$ soit $$y = -\dfrac{a+b}{2}$$. Puis, on en déduit que :
$$x - y + 2z = a \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, x = a + y - 2z \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, x = a - \dfrac{a+b}{2} - 2z \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, x = \dfrac{2a}{2} - \dfrac{a+b}{2} - 2z$$
Soit $$x = \dfrac{a-b}{2} - 2z$$.
$${\color{blue}{\blacksquare \blacksquare \blacksquare \,\, Si \,\, m = -1 \,\, alors \,\, les \,\, solutions \,\, du \,\, système \,\, linéaire \,\, (S) \,\, sont \,\, données \,\, par \, :}}$$
$${\color{blue}{x = \dfrac{a-b}{2} - 2z \,\, ; \,\, y = -\dfrac{a+b}{2} \,\, ; \,\, z \in \mathbb{R} \,\,\,\, avec \,\, la \,\, condition \,\, b=-c.}}$$