Développement limité en dehors de zéro - Exercice 1

Soit $$h$$ un réel. On pose $$x = \dfrac{\pi}{2} + h$$.
On a :
$$f(x) = \sin\left(x\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} + h\right) = \cos(h)$$
Or, on a :
$$\cos(h) = 1 - \dfrac{1}{2}h^2 + \dfrac{1}{24}h^4 + o(h^4)$$
Nous avons posé $$x = \dfrac{\pi}{2} + h$$ don $$h = x - \dfrac{\pi}{2}$$. Ainsi :
$$f(x) = \sin\left(x\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} + h\right) = 1 - \dfrac{1}{2}\left(x - \dfrac{\pi}{2} \right)^2 + \dfrac{1}{24}\left(x - \dfrac{\pi}{2} \right)^4 + o\left(x - \dfrac{\pi}{2} \right)^4$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{\sin(x) = 1 - \dfrac{1}{2}\left(x - \dfrac{\pi}{2} \right)^2 + \dfrac{1}{24}\left(x - \dfrac{\pi}{2} \right)^4 + o\left(x - \dfrac{\pi}{2} \right)^4 }}}$$

La fonction $$f : x \longrightarrow \arctan(x)$$ est infiniment dérivable sur $$\mathbb{R}$$. Et on a :
$$\bullet \,\, f'(x) = \arctan'(x) = \dfrac{1}{1+x^2}$$
$$\bullet \bullet \,\, f''(x) = \arctan''(x) = \dfrac{-2x}{\left(1+x^2\right)^2}$$
$$\bullet \bullet \bullet \,\, f'''(x) = \arctan'''(x) = \dfrac{6x^2-2}{\left(1+x^2\right)^3}$$
$$\bullet \bullet \bullet \bullet \,\, f''''(x) = \arctan''''(x) = \dfrac{-24x^3+24x}{\left(1+x^2\right)^4}$$
Donc :
$$\bullet \,\, f'(x=1) = \arctan'(1) = \dfrac{1}{1+1^2} = \dfrac{1}{2}$$
$$\bullet \bullet \,\, f''(x=1) = \arctan''(1) = \dfrac{-2\times 1}{\left(1+1^2\right)^2} = -\dfrac{1}{2}$$
$$\bullet \bullet \bullet \,\, f'''(x=1) = \arctan'''(1) = \dfrac{6 \times 1^2-2}{\left(1+1^2\right)^3} = \dfrac{1}{2}$$
$$\bullet \bullet \bullet \bullet \,\, f''''(x=1) = \arctan''''(1) = \dfrac{-24\times 1^3+24\times 1}{\left(1+1^2\right)^4} = 0$$
De plus :
$$f(1) = \arctan(1) = \dfrac{\pi}{4}$$
Ainsi, on obtient :
$$f(x) = f(1) + f'(1)(x-1) + \dfrac{1}{2}f''(1)(x-1)^2 + \dfrac{1}{6}f'''(1)(x-1)^3 + \dfrac{1}{24}f''''(1)(x-1)^4 + o\left((x-1)^4\right)$$
Soit :
$$f(x) = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{1}{2}(x-1) + \dfrac{1}{2}\left( -\dfrac{1}{2}\right)(x-1)^2 + \dfrac{1}{6}\dfrac{1}{2}(x-1)^3 + \dfrac{1}{24} \times 0(x-1)^4 + o\left((x-1)^4\right)$$
Finalement, on obtient :
$${\color{red}{\boxed{f(x) = \arctan(x) = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{1}{2}(x-1) - \dfrac{1}{4}(x-1)^2 + \dfrac{1}{12}(x-1)^3 + o\left((x-1)^4\right) }}}$$

La fonction $$f : x \longrightarrow x^x$$ est infiniment dérivable sur $$\mathbb{R}^{+\star}$$. Et on a :
$$\bullet \,\, f'(x) = \left( x^x \right)' = \left( e^{\ln(x^x)} \right)' = \left( e^{x\ln(x)} \right)' = \left( x\ln(x) \right)' e^{x\ln(x)} = \left( x\ln(x) \right)' x^x = (\ln(x) + 1)x^x$$
$$\bullet \bullet \,\, f''(x) = \left( x^x \right)'' = \left( (\ln(x) + 1)x^x \right)' = \dfrac{1}{x}x^x + (\ln(x) + 1) \left( x^x \right)'= x^{x-1} + (\ln(x) + 1)^2x^x$$
Donc :
$$\bullet \,\, f'(x=2) = (\ln(2) + 1)2^2 = 4(1 + \ln(2))$$
$$\bullet \bullet \,\, f''(x=2) = 2^{2-1} + (\ln(2) + 1)^2 2^2 = 2+4(1+\ln(2))^2$$
De plus :
$$f(2) = 2^2 = 4$$
Ainsi, on obtient :
$$f(x) = f(2) + f'(2)(x-2) + \dfrac{1}{2}f''(2)(x-2)^2 + o\left((x-2)^2\right)$$
Soit :
$$f(x) = 4 + 4(1 + \ln(2))(x-2) + \dfrac{1}{2}\left( 2+4(1+\ln(2))^2 \right)(x-2)^2 + o\left((x-2)^2\right)$$
Finalement, on obtient :
$${\color{red}{\boxed{f(x) = x^x = 4 + 4(1 + \ln(2))(x-2) + \left(1+2(1+\ln(2))^2 \right)(x-2)^2 + o\left((x-2)^2\right) }}}$$

Soit $$h$$ un réel. On pose $$x = 1 +h$$. On a alors :
$$f(x) = x^{\frac{1}{x-1}} = (1 + h)^{\frac{1}{1 + h - 1}} = (1 +h)^{\frac{1}{h}} = e^{\ln\left( (1 +h)^{\frac{1}{h}} \right)} = e^{\frac{1}{h}\ln\left( 1+h \right)}$$
Mais, on sait que :
$$\ln\left( 1+h \right) = h-\dfrac{1}{2}h^2+\dfrac{1}{3}h^3 +o(h^3)$$
Donc :
$$\dfrac{1}{h}\ln\left( 1+h \right) = 1-\dfrac{1}{2}h+\dfrac{1}{3}h^2 +o(h^2)$$
Ainsi :
$$e^{\frac{1}{h}\ln\left( 1+h \right)} = e^{1-\frac{1}{2}h+\frac{1}{3}h^2 +o(h^2)} = e^1\times e^{-\frac{1}{2}h+\frac{1}{3}h^2 +o(h^2)} = e \times e^{-\frac{1}{2}h+\frac{1}{3}h^2 +o(h^2)}$$
Or :
$$e^X = 1+X+\dfrac{1}{2}X^2+o(X^2)$$
Comme $$\lim_{x \longrightarrow 0} \left( -\frac{1}{2}h+\frac{1}{3}h^2 +o(h^2) \right) = 0$$, on va donc pouvoir poser $$X = -\frac{1}{2}h+\frac{1}{3}h^2$$. On a alors :
$$f(x) = e \times \left( 1+\left( -\frac{1}{2}h+\frac{1}{3}h^2 \right)+\dfrac{1}{2}\left( -\frac{1}{2}h+\frac{1}{3}h^2 \right)^2 + o(h^4) \right)$$
En se $${\color{red}{\textbf{limitant à l'ordre deux}}}$$ on obtient :
$$f(x) = e \times \left( 1+\left( -\frac{1}{2}h+\frac{1}{3}h^2 \right)+\dfrac{1}{2}\left( -\frac{1}{2}h \right)^2 + o(h^2) \right)$$
Soit :
$$f(x) = e \times \left( 1 - \frac{1}{2}h + \frac{1}{3}h^2 + \dfrac{1}{8}h^2 + o(h^2) \right)$$
En regroupant les termes en $$h^2$$ :
$$f(x) = e \times \left( 1 - \frac{1}{2}h + \frac{11}{24}h^2 + o(h^2) \right)$$
Puis, comme on a posé $$x = 1 +h$$ alors $$h = x-1$$. D'où :
$$f(x) = )$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{f(x) = x^{\frac{1}{x-1}} = e \times \left( 1 - \frac{1}{2}(x-1) + \frac{11}{24}(x-1)^2 \right) + o((x-1)^2) }}}$$

Soit $$h$$ un réel. On pose $$x = \dfrac{\pi}{4} + h$$, et de fait on obtient :
$$f(x) = \ln\left(\tan(x)\right) = \ln\left(\tan\left(\dfrac{\pi}{4} + h \right)\right)$$
Or, on sait que pour $$a$$ et $$b$$ réels, on a :
$$\tan(a+b) = \dfrac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a) \tan(b)}$$
Donc, avec $$\tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 1$$ on trouve que :
$$\tan\left(\dfrac{\pi}{4} + h \right) = \dfrac{\tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right) + \tan(h)}{1 - \tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \tan(h)} = \dfrac{1 + \tan(h)}{1 - \tan(h)}$$
Ainsi :
$$f(x) = \ln\left(\dfrac{1 + \tan(h)}{1 - \tan(h)}\right) = \ln\left(1 + \tan(h)\right) - \ln\left(1 - \tan(h)\right)$$
Mais, on sait que $$\tan(h) = h + \dfrac{1}{3}h^3 + o(h^3)$$. Donc :
$$f(x) = \ln\left(1 + h + \dfrac{1}{3}h^3 + o(h^3) \right) - \ln\left(1 - h - \dfrac{1}{3}h^3 + o(h^3)\right)$$
Or on a $$\lim_{x \longrightarrow 0} \left( h + \dfrac{1}{3}h^3 + o(h^3) \right) = 0$$. Et comme
$$\ln(1+X) = X - \dfrac{1}{2}X^2 + \dfrac{1}{3}X^3 + o(X^3)$$
On va donc pouvoir poser $$X = h + \dfrac{1}{3}h^3$$ d'une part, et d'autre part $$X = -h - \dfrac{1}{3}h^3$$ pour obtenir :
$$f(x) = h + \dfrac{1}{3}h^3 - \dfrac{1}{2}\left( h + \dfrac{1}{3}h^3 \right)^2 + \dfrac{1}{3}\left( h + \dfrac{1}{3}h^3 \right)^3 - \left( -h - \dfrac{1}{3}h^3 - \dfrac{1}{2}\left( -h - \dfrac{1}{3}h^3 \right)^2 + \dfrac{1}{3}\left( -h - \dfrac{1}{3}h^3 \right)^3 \right) + o(h^9)$$
En se $${\color{red}{\textbf{limitant à l'ordre trois}}}$$ on obtient :
$$f(x) = h + \dfrac{1}{3}h^3 - \dfrac{1}{2}\left( h \right)^2 + \dfrac{1}{3}\left( h \right)^3 - \left( -h - \dfrac{1}{3}h^3 - \dfrac{1}{2}\left( -h \right)^2 + \dfrac{1}{3}\left( -h \right)^3 \right) + o(h^3)$$
Soit encore :
$$f(x) = h + \dfrac{1}{3}h^3 - \dfrac{1}{2}h^2 + \dfrac{1}{3}h^3 + h + \dfrac{1}{3}h^3 + \dfrac{1}{2}h^2 + \dfrac{1}{3}h^3 + o(h^3)$$
Ce qui nous donne :
$$f(x) = 2h + \dfrac{4}{3}h^3 + o(h^3)$$
Nous avions posé $$x = \dfrac{\pi}{4} + h$$, donc $$h = x - \dfrac{\pi}{4}$$. Ainsi, on obtient au final :
$${\color{red}{\boxed{f(x) = \ln\left(\tan(x)\right) = 2\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) + \dfrac{4}{3}\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)^3 + o\left(\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)^3\right) }}}$$