Opérations sur les développements limités : Combinaison linéaire de DL ; produit de DL ; quotient de DL - Exercice 2

Au voisinage de $$0$$, on peut écrire, à l'ordre $$3$$, que :
$$e^X=1+X+\frac{X^2}{2}+\frac{X^3}{6}+\circ \left(X^3\right)$$ . Si on pose $$X=-x$$ . Lorsque $$x$$ tend vers $$0$$ alors $$-x$$ tend vers 0. Autrement $$X$$ tend vers 0.
Il vient alors que :
$$e^{-x}=1-x+\frac{\left(-x\right)^2}{2}+\frac{\left(-x\right)^3}{6}+\circ \left(x^3\right)$$
$$e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}+\circ \left(x^3\right)$$
$$e^{-x}-1=-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}+\circ \left(x^3\right)$$
$$1-e^{-x}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\circ \left(x^3\right)$$
Finalement, en divisant par $$x$$, on obtient :