Opérations sur les développements limités : Composition de DL - Exercice 2

On a :
$$\sin(x) = x - \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$$
et
$$\sqrt{1+X} = 1 + \dfrac{X}{2} - \dfrac{X^2}{8} + \dfrac{X^3}{16} + o(X^3)$$
On va pouvoir remplacer $$X$$ par $$x - \dfrac{x^3}{6}$$ car on a :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \sin(x) = \lim_{x \longrightarrow 0} \left( x - \dfrac{x^3}{6} + o(x^3) \right) = 0$$
Ainsi, il est possible d'écrire :
$$\sqrt{1+\sin(x)} = 1 + \dfrac{\left( x - \dfrac{x^3}{6} \right)}{2} - \dfrac{\left( x - \dfrac{x^3}{6} \right)^2}{8} + \dfrac{\left( x - \dfrac{x^3}{6} \right)^3}{16} + o(x^3)$$
On développe, $${\color{red}{\textbf{en ne conservant que les termes de degré inférieur ou égal à trois}}}$$, pour obtenir :
$$\sqrt{1+\sin(x)} = 1 + \dfrac{ x - \dfrac{x^3}{6}}{2} - \dfrac{ x^2 }{8} + \dfrac{x^3}{16} + o(x^3)$$
Ce qui nous donne :
$$\sqrt{1+\sin(x)} = 1 + \dfrac{x}{2} - \dfrac{x^3}{12} - \dfrac{x^2}{8} + \dfrac{x^3}{16} + o(x^3)$$
Où encore :
$$\sqrt{1+\sin(x)} = 1 + \dfrac{x}{2} - \dfrac{x^2}{8} + \dfrac{x^3}{16} - \dfrac{x^3}{12} + o(x^3)$$
Donc :
$$\sqrt{1+\sin(x)} = 1 + \dfrac{x}{2} - \dfrac{x^2}{8} + \left(\dfrac{1}{16} - \dfrac{1}{12}\right) x^3 + o(x^3)$$
Avec :
$$\dfrac{1}{16} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{12 - 16}{16 \times 12} = \dfrac{-4}{16 \times 12} = \dfrac{-1}{16 \times 3} = -\dfrac{1}{48}$$
Finalement, on trouve que :
$${\color{red}{\boxed{\sqrt{1+\sin(x)} = 1 + \dfrac{x}{2} - \dfrac{x^2}{8} - \dfrac{x^3}{48} + o(x^3)}}}$$

On a :
$$\cos(x) = 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} + o(x^4)$$
et
$$\sqrt{1+X} = 1 + \dfrac{X}{2} - \dfrac{X^2}{8} + \dfrac{X^3}{16} - \dfrac{5X^4}{128} + o(X^4)$$
On ne va pas pouvoir remplacer $$X$$ par $$1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24}$$ car on a :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \cos(x) = \lim_{x \longrightarrow 0} \left( 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} + o(x^4) \right) = 1 \neq 0$$
Nous allons donc écrire que :
$$f(x) = \sqrt{1+\cos(x)} = \sqrt{1 + 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} + o(x^4)} = \sqrt{2 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} + o(x^4)}$$
Nous allons utiliser une astuce simple : la factorisation ! Nous écrivons donc :
$$f(x) = \sqrt{2 \left( 1 - \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{x^4}{48} + o(x^4)\right)} = \sqrt{2 } \times \sqrt{ 1 - \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{x^4}{48} + o(x^4)} = \sqrt{2} \times \sqrt{ 1 + \left(- \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{x^4}{48} \right) + o(x^4)}$$
Ainsi, dans la relation $$\sqrt{1+X} = 1 + \dfrac{X}{2} - \dfrac{X^2}{8} + \dfrac{X^3}{16} - \dfrac{5X^4}{128} + o(X^4)$$ on va remplacer $$X$$ par $$- \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{x^4}{48}$$. Cette fois, nous pouvons faire ce remplacement car on a bien $$\lim_{x \longrightarrow 0} \left(- \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{x^4}{48} + o(x^4)\right) = 0$$. On obtient alors :
$$f(x) = \sqrt{1+\cos(x)} = \sqrt{2} \times \left(1 + \dfrac{\left(- \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{x^4}{48} \right)}{2} - \dfrac{\left(- \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{x^4}{48} \right)^2}{8} + \dfrac{\left(- \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{x^4}{48} \right)^3}{16} - \dfrac{5\left(- \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{x^4}{48} \right)^4}{128} + o(x^4) \right)$$
On développe, en ne conservant que les termes de degré inférieur ou égal à quatre, pour obtenir :
$$f(x) = \sqrt{1+\cos(x)} = \sqrt{2} \times \left(1 + \dfrac{- \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{x^4}{48} }{2} - \dfrac{\dfrac{x^4}{16}}{8} + o(x^4) \right)$$
Soit :
$$f(x) = \sqrt{1+\cos(x)} = \sqrt{2} \times \left(1 - \dfrac{x^2}{8} + \dfrac{x^4}{96} - \dfrac{x^4}{128} + o(x^4) \right)$$
Soit encore :
$$f(x) = \sqrt{1+\cos(x)} = \sqrt{2} \times \left(1 - \dfrac{x^2}{8} + \left( \dfrac{1}{96} - \dfrac{1}{128} \right)x^4 + o(x^4) \right)$$
Avec :
$$\dfrac{1}{96} - \dfrac{1}{128} = \dfrac{128- 96}{96 \times 128} = \dfrac{32}{96 \times 128} = \dfrac{1}{96 \times 4} = \dfrac{1}{384}$$
Ainsi :
$$f(x) = \sqrt{1+\cos(x)} = \sqrt{2} \times \left(1 - \dfrac{x^2}{8} + \dfrac{1}{384} x^4 + o(x^4) \right)$$
Finalement, on trouve que :
$${\color{red}{\boxed{\sqrt{1+\cos(x)} = \sqrt{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{8}x^2 + \dfrac{\sqrt{2}}{384} x^4 + o(x^4) }}}$$

On a :
$$\cos(x) = 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} + o(x^4)$$
et
$$e^X = 1 + X + \dfrac{X^2}{2} + \dfrac{X^3}{6} + \dfrac{X^4}{24} + o(X^4)$$
On ne va pas pouvoir remplacer $$X$$ par $$1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24}$$ car on a :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \cos(x) = \lim_{x \longrightarrow 0} \left( 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} + o(x^4) \right) = 1 \neq 0$$
Nous allons donc écrire que :
$$e^{\cos(x)} = e^{1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)} = e^1 \times e^{- \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)} = e \times e^{- \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)}$$
Mais cette fois, on a bien $$\lim_{x \longrightarrow 0} \left(- \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} + o(x^4) \right) = 0$$. Dans la relation $$e^X = 1 + X + \dfrac{X^2}{2} + \dfrac{X^3}{6} + \dfrac{X^4}{24} + o(X^4)$$ on va donc pouvoir remplacer $$X$$ par $$- \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24}$$. On a alors :
$$e^{\left(- \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} \right)} = 1 + \left(- \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} \right) + \dfrac{\left(- \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} \right)^2}{2} + \dfrac{\left(- \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} \right)^3}{6} + \dfrac{\left(- \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} \right)^4}{24} + o(X^4)$$
On développe, en ne conservant que les termes de degré inférieur ou égal à quatre, pour obtenir :
$$e^{\left(- \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} \right)} = 1 + \left(- \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} \right) + \dfrac{\left(- \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} \right)^2}{2} + \dfrac{\left(- \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} \right)^3}{6} + \dfrac{\left(- \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} \right)^4}{24} + o(X^4)$$
Donc :
$$e^{\left(- \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} \right)} = 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} + \dfrac{\left(- \dfrac{x^2}{2} \right)^2}{2} + o(X^4)$$
Ce qui nous donne :
$$e^{\left(- \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} \right)} = 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} + \dfrac{x^4}{8} + o(X^4)$$
Ou encore :
$$e^{\left(- \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} \right)} = 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} + \dfrac{3x^4}{24} + o(X^4)$$
Donc :
$$e^{\left(- \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} \right)} = 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{4x^4}{24} + o(X^4)$$
On obtient alors :
$$e^{\left(- \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} \right)} = 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{4x^4}{4\times6} + o(X^4)$$
En simplifiant :
$$e^{\left(- \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} \right)} = 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{6} + o(X^4)$$
De ceci, on en déduit que :
$$e^{\cos(x)} = e \times \left( 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{6} + o(X^4) \right)$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{e^{\cos(x)} = e - \dfrac{e}{2}x^2 + \dfrac{e}{6} x^4 + o(x^4) }}}$$

On a :
$$\sin(x) = x - \dfrac{x^3}{6} + o(x^4)$$
et
$$e^X = 1 + X + \dfrac{X^2}{2} + \dfrac{X^3}{6} + \dfrac{X^4}{24} + o(X^4)$$
On va pouvoir remplacer $$X$$ par $$x - \dfrac{x^3}{6}$$ car on a :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \sin(x) = \lim_{x \longrightarrow 0} \left( x - \dfrac{x^3}{6} + o(x^4) \right) = 0$$
Ainsi, il est possible d'écrire :
$$e^{\sin(x)} = 1 + \left( x - \dfrac{x^3}{6} \right) + \dfrac{\left( x - \dfrac{x^3}{6} \right)^2}{2} + \dfrac{\left( x - \dfrac{x^3}{6} \right)^3}{6} + \dfrac{\left( x - \dfrac{x^3}{6} \right)^4}{24} + o(x^4)$$
On développe, en ne conservant que les termes de degré inférieur ou égal à quatre, pour obtenir :
$$e^{\sin(x)} = 1 + x - \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^2 - 2x\dfrac{x^3}{6}}{2} + \dfrac{ x^3 }{6} + \dfrac{ x^4 }{24} + o(x^4)$$
Soit :
$$e^{\sin(x)} = 1 + x - \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^4}{6} + \dfrac{ x^3 }{6} + \dfrac{ x^4 }{24} + o(x^4)$$
D'où :
$$e^{\sin(x)} = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} - \left( \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{24} \right)x^4 + o(x^4)$$
Ce qui nous donne :
$$e^{\sin(x)} = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{24-6}{6 \times 24} x^4 + o(x^4)$$
Ainsi :
$$e^{\sin(x)} = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{18}{144} x^4 + o(x^4)$$
Ce qui s'écrit également :
$$e^{\sin(x)} = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{18}{18\times8} x^4 + o(x^4)$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{e^{\sin(x)} = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^4}{8} x^4 + o(x^4) }}}$$

On a :
$$f(x) = (1+x)\sqrt[3]{1+x} = (1+x)^1 \times (1+x)^{\frac{1}{3}} = (1+x)^{1+\frac{1}{3}} = (1+x)^{\frac{4}{3}}$$
0r, on a :
$$(1+x)^a = 1+ax+\dfrac{a(a-1)}{2}x^2+\dfrac{a(a-1)(a-2)}{6}x^3 + o(x^3)$$
Posons $$a = \dfrac{4}{3}$$. On a alors :
$$\bullet \,\, \dfrac{a(a-1)}{2} = \dfrac{2}{9}$$
$$\bullet \bullet \,\, \dfrac{a(a-1)(a-2)}{6} = -\dfrac{4}{81}$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{f(x) = (1+x)\sqrt[3]{1+x} = 1 + \dfrac{4}{3}x + \dfrac{2}{9}x^2 -\dfrac{4}{81}x^3 + o(x^3) }}}$$