Ce qu'il faut savoir sur la diagonalisation

On note par $$n$$ un nombre entier naturel non nul.
On désigne par $$\mathbb{K}$$ l'ensemble $$\mathbb{R}$$ ou $$\mathbb{C}$$.
On désigne par $$E$$ un $$\mathbb{K}$$-espace vectoriel et $$u$$ est un endomorphisme de $$E$$.
L'élément identité de $$E$$ est noté $$\mathrm{Id}_E$$.
$${\color{red}{\bf{\blacksquare \,\, Vecteurs \,\, propres \,\, et \,\, valeurs \,\, propres \,\, d'un \,\, endomorphisme}}}$$
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\, \bullet \,\, Définitions \,\, }}}$$
On appelle $$vecteur \,\, propre$$ de $$u$$, tout élément $$X \in E$$ tel qu'il existe un élément $$\lambda \in \mathbb{K}$$ qui vérifie la relation, qui sera notée $$(\star)$$, suivante :
$$(\star) \,\,\,\, u(X) = \lambda X$$
Un élément $$\lambda \in \mathbb{K}$$, satisfaisant à $$(\star)$$, s'appelle une $$valeur \,\, propre$$ de $$u$$ à la condition qu'il existe un vecteur $$X$$ de $$E$$ qui vérifie la relation $$(\star)$$.
L'ensemble des valeurs propres de $$u$$ se note le spectre de $$u$$ dans $$\mathbb{K}$$ et se note $$\mathrm{Sp}_{\mathbb{K}}(u)$$.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\, \bullet \,\, Théorèmes \,\, }}}$$
$${\color{green}{\bf{\blacktriangleright \,\, }}}$$ A tout vecteur propre $$X$$, non nul, de $$u$$ il correspond une et une seule valeur propre dite $$valeur \,\, propre \,\, associée$$ à $$X \in u$$.
$${\color{green}{\bf{\blacktriangleright \blacktriangleright \,\, }}}$$ A toute valeur propre $$\lambda$$ de $$u$$ il correspond un sous-espace vectoriel $$V(\lambda) \in E$$ qui est constitué des $$vecteurs \,\, propres$$ admettant $$\lambda$$ comme valeur propre. On l'appelle le $$sous-espace \,\, propre$$ associé à $$\lambda$$. Ce sous-espace propre n'est pas nul et est stable par $$u$$.
$${\color{green}{\bf{\blacktriangleright \blacktriangleright \blacktriangleright\,\, }}}$$ On a l'équivalence entre la proposition "$$\lambda$$ est valeur propre de $$u$$" et la proposition "$$u - \lambda \mathrm{Id}_E$$ est non injectif".
$${\color{green}{\bf{\blacktriangleright \blacktriangleright \blacktriangleright \blacktriangleright \,\, }}}$$ Si $$u$$ admet plusieurs valeurs propres, alors pour toute famille $$\{\lambda_1 \,;\, \cdots \,;\ \lambda_s \}$$ (avec $$s \geqslant 2$$) de $$s$$ valeurs propres distinctes de $$u$$ on a :
$$\bigcap_{i=1}^s V(\lambda_i) = \{ 0 \}$$
Toute famille $$(X_i )_{i \in \{ 1 \,;\, \cdots \,;\, s \}}$$ de vecteurs propres non nuls, tels que $$\lambda_i$$ soit associée à $$X_i$$, est une famille libre.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\, \bullet \,\, Propriété \,\, }}}$$
Si $$E$$ est de dimension finie, $$n$$, sur $$\mathbb{K}$$, il est possible, sous réserve de connaitre une base de $$E$$, d'associer une matrice carrée $$A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$$ à un endomorphisme $$u$$. Les propriétés s'appliquent à $$A$$ comme à $$u$$.
$${\color{red}{\bf{\blacksquare \,\, Polynôme\,\, caractéristiques \,\, d'un \,\, endomorphisme \,\, d'un \,\, espace \,\, vectoriel \,\, de \,\, dimension \,\, finie \,\, }}}$$
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\, \bullet \,\, Théorème \,\, }}}$$
On pose $$\dim_{\mathbb{K}}(E) = n$$ et on désigne par $$A$$ la matrice représentative de $$u$$ dans une certaine base donnée de $$E$$.
Pour tout $$\lambda \in \mathbb{K}$$ il y a équivalence entre les propositions ci-dessous :
$$i) \,\,$$ le scalaire $$\lambda$$ est valeur propre de la matrice $$A$$ ;
$$ii) \,\,$$ la matrice $$A - \lambda I_n$$ n'est pas inversible ;
$$iii) \,\,$$ on a $$\det(A - \lambda I_n) = 0$$ n'est pas inversible.
Le polynôme $$P(\lambda) = \det(A - \lambda I_n)$$ s'appelle $${\color{red}{\bf{le \,\, polynôme \,\ caractéristique}}}$$ de $$A$$ (ou de $$u$$) et $$\lambda$$ joue le rôle d'indéterminée. D'ailleurs, remarquons que deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique.
Puis on a :
$${\color{green}{\bf{\blacktriangleright \,\, }}}$$ $$\deg(P(\lambda)) = n$$ ;
$${\color{green}{\bf{\blacktriangleright \blacktriangleright \,\, }}}$$ $$\deg(P(\lambda)) = n$$ ;
$${\color{green}{\bf{\blacktriangleright \blacktriangleright \blacktriangleright\,\, }}}$$ $$P(\lambda) = (-1)^n \lambda^n + (-1)^{n-1} \mathrm{Tr}(A) \lambda^{n-1} + \cdots + \det(A)$$ ;
$${\color{green}{\bf{\blacktriangleright \blacktriangleright \blacktriangleright \blacktriangleright \,\, }}}$$ les zéros, dans $$\mathbb{K}$$, de $$P(\lambda)$$ sont les valeurs propres de $$A$$ (ou $$u$$) ;
$${\color{green}{\bf{\blacktriangleright \blacktriangleright \blacktriangleright \blacktriangleright \blacktriangleright \,\, }}}$$ Si $$\lambda_0$$ est un zéro de $$P(\lambda)$$ d'ordre $$k$$ alors on a : $$1 \leqslant \dim(V(\lambda_0)) \leqslant k$$.
$${\color{red}{\bf{\blacksquare \,\, Diagonalisation \,\, }}}$$
On suppose que $$E$$ un $$\mathbb{K}$$-espace vectoriel de dimension finie $$n$$ non nulle.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\, \bullet \,\, Définitions \,\, }}}$$
On dit que $$u$$ est diagonalisable s'il existe une base $$\mathcal{B}$$ de $$E$$ telle que la matrice associée à $$u$$ soit diagonale dans cette ase $$\mathcal{B}$$.
On dit que que la matrice $$A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$$ est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale de $$\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$$.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\, \bullet \,\, Théorème\,\, }}}$$
Il y a équivalence entre :
$$i) \,\,$$ l'endomorphisme $$u$$ est diagonalisable ;
$$ii) \,\,$$ il existe une base de $$E$$ formée des vecteurs propre de $$u$$, c'est la $$base \,\, propre$$ ;
$$iii) \,\,$$ le polynôme caractéristique de $$u$$ à ses $$n$$ zéros dans $$\mathbb{K}$$ et pour chacun de ses zéros $$\lambda_i$$ d'ordre $$k_i$$ on a : $${\color{red}{\dim (V(\lambda_i))= k_i}}$$ ;
$$iv) \,\,$$ la somme directe de tous les sous-espaces propre de $$u$$ est égale à $$E$$.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\, \bullet \,\, Condition \,\, suffisante \,\, de \,\, diagonalisation}}}$$
Une condition suffisante pour que $$u$$ soit diagonalisable est qu'il possède $$n$$ valeurs propres toutes distinctes.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\, \bullet \,\, Condition \,\, nécessaire \,\, et \,\, suffisante \,\, de \,\, diagonalisation}}}$$
Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice soit diagonalisable est que son polynôme minimal n'admette que des zéros simples tous dans $$\mathbb{K}$$.
On rappelle que la polynôme unitaire, noté $$\Pi$$, de plus faible degré annulant $$A$$ s'appelle le polynôme minimal de $$A$$. Tout polynôme annulateur de $$A$$ est un multiple de ce polynôme minimal. En général il est délicat de déterminer le polynôme minimal $$\Pi$$ et on calcule le polynôme caractéristique $$P(\lambda) = \det(A - \lambda I_n)$$.
$${\color{red}{\bf{\blacksquare \,\, Trigonalisation \,\, }}}$$
On suppose que $$E$$ un $$\mathbb{K}$$-espace vectoriel de dimension finie $$n$$ non nulle.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\, \bullet \,\, Théorème \,\, }}}$$
Pour tout endomorphisme $$u$$ de $$E$$ tel que son polynôme caractéristique ait tous ses zéros dans $$\mathbb{K}$$ (ce qui est toujours le cas dans $$\mathbb{K} = \mathbb{C}$$) il existe une base de $$E$$ sur laquelle la matrice associée à $$u$$ soit triangulaire. Les éléments diagonaux étant les valeurs propres de $$u$$.
$${\color{red}{\bf{\blacksquare \,\, Le \,\, théorème \,\, de \,\, Cayley \, \& \, Hamilton}}}$$
Tout endomorphisme $$u$$ de $$E$$ ou toute matrice $$A$$ de $$\mathcal{M}\mathrm{at}_n(\mathbb{K})$$ est zéro de son polynôme caractéristique (qui est donc un polynôme d'endomorphisme ou un polynôme matriciel).
De fait le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique.