Exercice 8 - Exercice 1

On a, suivant un développement selon la première colonne de la matrice $$\mathcal{A}$$ :
$$\det \mathcal{A} = (-1)^{1+1} \times 4 \times \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \\ \end{vmatrix} + (-1)^{2+1} \times (-6) \times \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \\ \end{vmatrix} + (-1)^{3+1} \times 2 \times \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \\ \end{vmatrix}$$
Soit :
$$\det \mathcal{A} = 4 \times \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \\ \end{vmatrix} + 6 \times \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \\ \end{vmatrix} + 2 \times \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \\ \end{vmatrix}$$
Soit encore :
$$\det \mathcal{A} = 4 \times (-1-2) + 6 \times (1-(-1)) + 2 \times (2-1)$$
Ce qui nous donne :
$$\det \mathcal{A} = 4 \times (-3) + 6 \times 2 + 2 \times 1$$
D'où :
$$\det \mathcal{A} = -12 + 12 + 2$$
Finalement :
$$\det \mathcal{A} = 2 \neq 0$$
Donc la matrice $$\mathcal{A}$$ est régulière (ou encore inversible).

Soit $$\lambda$$ un nombre réel.
On a :
$$\mathcal{P}_{f-3}(\lambda) = \begin{vmatrix} 4 - \lambda & 1 & -1 \\ -6 & -1 - \lambda & 2 \\ 2 & 1 & 1 - \lambda \\ \end{vmatrix}$$
Effectuons un développement de $$Laplace$$ selon la première colonne de la matrice $$\mathcal{A}$$. On obtient :
$$\det \mathcal{A} = (-1)^{1+1} \times (4-\lambda) \times \begin{vmatrix} -1-\lambda & 2 \\ 1 & 1-\lambda \\ \end{vmatrix} + (-1)^{2+1} \times (-6) \times \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1-\lambda \\ \end{vmatrix} + (-1)^{3+1} \times 2 \times \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1-\lambda & 2 \\ \end{vmatrix}$$
Soit :
$$\det \mathcal{A} = (4-\lambda) \times \begin{vmatrix} -1-\lambda & 2 \\ 1 & 1-\lambda \\ \end{vmatrix} + 6 \times \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1-\lambda \\ \end{vmatrix} + 2 \times \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1-\lambda & 2 \\ \end{vmatrix}$$
Soit encore :
$$\det \mathcal{A} = (4-\lambda) \times \big( (-1-\lambda)(1-\lambda) -2 \big) + 6 \times \big( 1(1-\lambda) -1 \times(-1) \big) + 2 \times \big( 2 -1 - \lambda \big)$$
D'où :
$$\det \mathcal{A} = -(4-\lambda) \times \big( (1+\lambda)(1-\lambda) + 2 \big) + 6 \times \big( 1-\lambda + 1 \big) + 2 \times \big( 1 - \lambda \big)$$
On a alors :
$$\det \mathcal{A} = -(4-\lambda) \times \big( 1^2-\lambda^2 + 2 \big) + 6 \times \big( 2-\lambda \big) + 2 \times \big( 1 - \lambda \big)$$
Donc :
$$\det \mathcal{A} = -(4-\lambda) \times \big( 3-\lambda^2 \big) + \big( 12-6\lambda \big) + \big( 2 - 2\lambda \big)$$
Ce qui nous permet d'écrire :
$$\det \mathcal{A} = (4-\lambda) \times \big( \lambda^2 -3 \big) + 14 - 8\lambda$$
$$\det \mathcal{A} = 4\lambda^2 - 12 - \lambda^3 + 3\lambda - 3 + 14 - 8\lambda$$
Finalement :
$$\mathcal{P}_{f-3}(\lambda) = - \lambda^3 + 4 \lambda^2 -5\lambda + 2$$
$${\color{blue}{\bullet \,\, \bf{Remarque} :}}$$
$${\color{blue}{Pour \,\, les \,\, puristes \,\, de \,\, la \,\, factorisation, \,\, on \,\, a \,\, également :}}$$
$${\color{blue}{\mathcal{P}_{f-3}(\lambda)(-1)^3(\lambda - 2)(\lambda - 1)^2}}$$
$${\color{blue}{Cette \,\, forme \,\, factorisée \,\, n'est \,\, pas \,\, nécessaire \,\, pour \,\, la \,\, suite \,\, de \,\, l'exercice.}}$$

Le théorème de $$\textit{Cayley-Hamilton}$$ nous permet d'écrire que :
$$\mathcal{P}_{f-3}(\mathcal{A}) = \mathbb{O}_3 \,\,\,\,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\, - \mathcal{A}^3 + 4 \mathcal{A}^2 -5\mathcal{A} + 2\mathbb{I}_3 = \mathbb{O}_3$$
En multipliant, à droite, par la matrice inverse $$\mathcal{A}^{-1}$$ (qui existe), on obtient :
$$- \mathcal{A}^3\mathcal{A}^{-1} + 4 \mathcal{A}^2\mathcal{A}^{-1} -5\mathcal{A}\mathcal{A}^{-1} + 2\mathbb{I}_3\mathcal{A}^{-1} = \mathbb{O}_3\mathcal{A}^{-1}$$
Soit :
$$- \mathcal{A}^2 + 4 \mathcal{A} -5\mathbb{I}_3 + 2\mathcal{A}^{-1} = \mathbb{O}_3$$
Donc :
$$\mathcal{A}^{-1} = \dfrac{1}{2} (\mathcal{A}^2 - 4 \mathcal{A} + 5 \mathbb{I}_3)$$
Ce qui nous donne :
$$\mathcal{A}^{-1} = \dfrac{1}{2} \left(\begin{pmatrix} 8 & 2 & -3 \\ -14 & -3 & 6 \\ 4 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix} - 4 \begin{pmatrix} 4 & 1 & -1 \\ -6 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} + 5 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \right)$$
Finalement :
$$\mathcal{A}^{-1} = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} -3 & -2 & 1 \\ 10 & 6 & -2 \\ -4 & -2 & 2 \\ \end{pmatrix}$$