Circuit électrique RLC (EDO d'ordre deux) - Exercice 1

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Les équations différentielles d'ordre deux, en Physique, traduisent des effets dynamiques. En voici un exemple en électricité. C'est un exercice classique qu'il faut impérativement maîtriser.
Question 1
On considère le circuit usuel RLC suivant :

A l'aide de la loi des mailles (encore appelée deuxième lois de Gustav Kirchhoff{\color{blue}{\textit{Gustav Kirchhoff}}} et qui nous apprend que dans une maille quelconque d'un réseau, et dans le cadre de l'approximation des régimes quasi stationnaires, et à condition que les variations de flux magnétique à travers la maille soient négligeables, la somme des tensions réceptrices est égale à la sommes des tensions génératrices), on établit l'équation différentielle (ordinaire) qui gouverne l'évolution temporelle de la tension uC(t)u_C(t) aux bornes du condensateur. On obtient alors :
d2 uCdt2(t)+RLd uCdt(t)+1LCuC(t)=ELCcos⁡(ωt)\dfrac{d^2 \, u_C}{dt^2}(t) + \dfrac{R}{L} \dfrac{d \, u_C}{dt}(t) + \dfrac{1}{LC} u_C(t) = \dfrac{E}{LC} \cos(\omega t)
Par homogeˊneˊiteˊ physique{\color{blue}{\textbf{homogénéité physique}}}, on pose :
ω0=1LC>0       et       τ=LR>0\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} > 0 \,\,\,\,\,\,\, \mathrm{et} \,\,\,\,\,\,\, \tau = \dfrac{L}{R} > 0
Puis, par pure commoditeˊ{\color{blue}{\textbf{pure commodité}}} d'écriture, on pose :
2Ω=RL=1τ2\Omega = \dfrac{R}{L} = \dfrac{1}{\tau}
L'équation différentielle ordinaire du circuit \og RLC série \fg prend alors la forme (modèle) suivante :
{d2 uCdt2(t)+1τd uCdt(t)+ω02uC(t)=ω02Ecos⁡(ωt)d2 uCdt2(t)+2Ω d uCdt(t)+ω02uC(t)=ω02Ecos⁡(ωt)\left\lbrace\begin{array}{rcl} \dfrac{d^2 \, u_C}{dt^2}(t) + \dfrac{1}{\tau} \dfrac{d \, u_C}{dt}(t) + \omega_0^2 u_C(t) & = & \omega_0^2 E \cos(\omega t) \\ & & \\ \dfrac{d^2 \, u_C}{dt^2}(t) + 2\Omega \, \dfrac{d \, u_C}{dt}(t) + \omega_0^2 u_C(t) & = & \omega_0^2 E \cos(\omega t) \\ \end{array} \right.
Une telle équation différentielle ordinaire modélise un "oscillateur harmonique amorti forceˊ en reˊgime sinusoı¨dal{\color{red}{\textbf{oscillateur harmonique amorti forcé en régime sinusoïdal}}}".
Les deux conditions initiales associées à ce circuit sont les suivantes :
{uC(t=0)=0d uCdt(t=0)=0\left\lbrace \begin{array}{rcl} u_C(t=0) & = & 0 \\ & & \\ \dfrac{d \, u_C}{dt}(t=0) & = & 0 \\ \end{array} \right.
La première de ces deux conditions initiales traduit, qu'au départ, le condensateur est déchargé (donc sans charges électriques sur ses armatures), et la seconde traduit que le circuit électrique ne transfert pas de courant électrique (donc pas de transfert électronique en cours à l'instant initial).

Déterminer le discriminant Δ\Delta associée à l'équation différentielle homogène.

Correction
Le discriminant Δ\Delta associée à l'équation différentielle homogène est :
Δ=(2Ω)2−4×1×ω02    ⟺    Δ=4Ω2−4ω02    ⟺    Δ=4(Ω2−ω02)\Delta = (2\Omega)^2 - 4 \times 1 \times \omega_0^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \Delta = 4\Omega^2 - 4 \omega_0^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \Delta = 4 \left( \Omega^2 - \omega_0^2 \right)
On constate que Δ=4(Ω+ω0)(Ω−ω0)\Delta = 4 \left( \Omega + \omega_0 \right) \left( \Omega - \omega_0 \right). Donc le signe du discriminant Δ\Delta est le même que celui tu terme Ω−ω0\Omega - \omega_0.
Question 2

Déterminer les solutions homogènes uC,H(t)u_{C,H}(t) possibles.

Correction
Il y a donc trois cas possibles concernant les solutions homogènes uC,H(t)u_{C,H}(t) possibles. On a alors :
    ∙  Si  Δ>0{\color{blue}{\,\,\,\, \bullet \,\, Si \,\, \Delta > 0}}
Les deux racines réelles distinctes de l'équation caractéristique r2+2Ω r+ω02r^2 + 2\Omega \, r + \omega_0^2 sont :
{r1=−2Ω+4(Ω2−ω02)2r2=−2Ω−4(Ω2−ω02)2    ⟺    {r1=−2Ω+2Ω2−ω022r2=−2Ω−2Ω2−ω022\left\lbrace \begin{array}{rcl} r_1 & = & \dfrac{-2\Omega + \sqrt{4 \left( \Omega^2 - \omega_0^2 \right)}}{2} \\ & & \\ r_2 & = & \dfrac{-2\Omega - \sqrt{4 \left( \Omega^2 - \omega_0^2 \right)}}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} r_1 & = & \dfrac{-2\Omega + 2\sqrt{\Omega^2 - \omega_0^2 }}{2} \\ & & \\ r_2 & = & \dfrac{-2\Omega - 2\sqrt{\Omega^2 - \omega_0^2 }}{2} \\ \end{array} \right.
Soit :
{r1=−Ω+Ω2−ω02r2=−Ω−Ω2−ω02\left\lbrace \begin{array}{rcl} r_1 & = & -\Omega + \sqrt{\Omega^2 - \omega_0^2 } \\ & & \\ r_2 & = & -\Omega - \sqrt{\Omega^2 - \omega_0^2 } \\ \end{array} \right.
Dans ce cas, avec AA et BB qui sont deux nombres réels, on a :
uC,H(t)=A er1t+B er2t    ⟺    uC,H(t)=A e(−Ω+Ω2−ω02)t+B e(−Ω−Ω2−ω02)tu_{C,H}(t) = A \, e^{r_1t} + B \, e^{r_2t} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, u_{C,H}(t) = A \, e^{\left(-\Omega + \sqrt{\Omega^2 - \omega_0^2 }\right)t} + B \, e^{\left(-\Omega - \sqrt{ \Omega^2 - \omega_0^2 }\right)t}
Soit :
uC,H(t)=A e−ΩteΩ2−ω02 t+B e−Ωte−Ω2−ω02 tu_{C,H}(t) = A \, e^{-\Omega t} e^{\sqrt{\Omega^2 - \omega_0^2}\,t} + B \, e^{-\Omega t} e^{-\sqrt{ \Omega^2 - \omega_0^2 }\,t}
Soit encore :
uC,H(t)=e−Ωt(A eΩ2−ω02 t+B eΩ2−ω02 t){\color{blue}{\boxed{u_{C,H}(t) = e^{-\Omega t} \left( A \, e^{\sqrt{\Omega^2 - \omega_0^2}\,t} + B \, e^{ \sqrt{ \Omega^2 - \omega_0^2 }\,t} \right)}}}
    ∙∙  Si  Δ=0{\color{blue}{\,\,\,\, \bullet \bullet \,\, Si \,\, \Delta = 0}}
La racine réelle (double) de l'équation caractéristique r2+2Ω r+ω02r^2 + 2\Omega \, r + \omega_0^2 est :
rd=−2Ω2    ⟺    rd=−Ωr_d = \dfrac{-2\Omega}{2} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, r_d = -\Omega
Dans ce cas, avec AA et BB qui sont deux nombres réels, on a :
uC,H(t)=(At+B) erdtu_{C,H}(t) = (At+B) \, e^{r_d t}
Soit :
uC,H(t)=(At+B) e−Ωt{\color{blue}{\boxed{u_{C,H}(t) = (At+B) \, e^{- \Omega t}}}}
    ∙∙∙  Si  Δ<0{\color{blue}{\,\,\,\, \bullet \bullet \bullet \,\, Si \,\,\Delta < 0}}
Les deux racines complexes conjuguées, donc distinctes, de l'équation caractéristique considéré r2+2Ω r+ω02r^2 + 2\Omega \, r + \omega_0^2 sont :
{r1=−2Ω+i4(ω02−Ω2)2r2=−2Ω−i4(ω02−Ω2)2    ⟺    {r1=−2Ω+2iω02−Ω22r2=−2Ω−2iω02−Ω22\left\lbrace \begin{array}{rcl} r_1 & = & \dfrac{-2\Omega + i \sqrt{4 \left( \omega_0^2 - \Omega^2 \right)}}{2} \\ & & \\ r_2 & = & \dfrac{-2\Omega - i \sqrt{4 \left( \omega_0^2 - \Omega^2 \right)}}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} r_1 & = & \dfrac{-2\Omega + 2i \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2 }}{2} \\ & & \\ r_2 & = & \dfrac{-2\Omega - 2i \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2 }}{2} \\ \end{array} \right.
Soit :
{r1=−Ω+iω02−Ω2r2=−Ω−iω02−Ω2\left\lbrace \begin{array}{rcl} r_1 & = & -\Omega + i \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2 } \\ & & \\ r_2 & = & -\Omega - i \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2 } \\ \end{array} \right.
Dans ce cas, avec AA et BB qui sont deux nombres réels, on a :
uC,H(t)=e−Ωt(A cos⁡(ω02−Ω2 t)+B sin⁡(ω02−Ω2 t)){\color{blue}{\boxed{u_{C,H}(t) = e^{-\Omega t} \left( A \, \cos\left( \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2 } \, t \right) + B \, \sin\left( \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2 } \, t \right) \right)}}}
Question 3

Déterminer la solution particulière uC,P(t)u_{C,P}(t).

Correction
Le second membre de l'EDO étudiée est ω02Ecos⁡(ωt)\omega_0^2 E \cos(\omega t), c'est pourquoi on va choisir une solution particulière de la forme :
uC,P(t)=acos⁡(ωt)+bsin⁡(ωt)     (a ; b)∈R2u_{C,P}(t) = a \cos(\omega t) + b \sin(\omega t) \,\,\,\,\, (a\,;\,b) \in \mathbb{R}^2
De suite, on a :
{d uC,Pdt(t)=−aωsin⁡(ωt)+bωcos⁡(ωt)d2 uC,Pdt2(t)=−aω2cos⁡(ωt)−bω2sin⁡(ωt)\left\lbrace \begin{array}{rcl} \dfrac{d \, u_{C,P}}{dt}(t) & = & - a \omega \sin(\omega t) + b \omega \cos(\omega t) \\ & & \\ \dfrac{d^2 \, u_{C,P}}{dt^2}(t) & = & - a \omega^2 \cos(\omega t) - b \omega^2 \sin(\omega t) \\ \end{array} \right.
L'EDO proposée devient :
−aω2cos⁡(ωt)−bω2sin⁡(ωt)+2Ω (−aωsin⁡(ωt)+bωcos⁡(ωt))+ω02(acos⁡(ωt)+bsin⁡(ωt))=ω02Ecos⁡(ωt)\begin{array}{l} - a \omega^2 \cos(\omega t) - b \omega^2 \sin(\omega t) + 2\Omega \, \left( - a \omega \sin(\omega t) + b \omega \cos(\omega t) \right) + \omega_0^2 \left( a \cos(\omega t) + b \sin(\omega t) \right) \\ = \omega_0^2 E \cos(\omega t) \end{array}
Soit :
(−aω2+2bωΩ+aω02)cos⁡(ωt)+(−bω2−2aωΩ+aω02)sin⁡(ωt)=ω02Ecos⁡(ωt)+0sin⁡(ωt)\begin{array}{l} \left( {\color{red}{- a \omega^2 + 2b \omega \Omega + a \omega_0^2}} \right) \cos(\omega t) + \left( {\color{blue}{- b \omega^2 - 2a \omega \Omega +a \omega_0^2}} \right) \sin(\omega t) \\ = {\color{red}{\omega_0^2 E}} \cos(\omega t) + {\color{blue}{0}} \sin(\omega t) \end{array}
D'où :
{−aω2+2bωΩ+aω02=ω02E−bω2−2aωΩ+bω02=0    ⟺    {(ω02−ω2)a+2Ωωb=ω02E−2Ωωa+(ω02−ω2)b=0\left\lbrace \begin{array}{rcl} {\color{red}{- a \omega^2 + 2b \omega \Omega + a \omega_0^2}} & = & {\color{red}{\omega_0^2 E}} \\ & & \\ {\color{blue}{- b \omega^2 - 2a \omega \Omega + b \omega_0^2}} & = & {\color{blue}{0}} \\ \end{array} \right. \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} (\omega_0^2 - \omega^2)a + 2\Omega\omega b & = & \omega_0^2 E \\ & & \\ -2\Omega\omega a + (\omega_0^2 - \omega^2) b & = & 0 \\ \end{array} \right.
Donc :
b=2Ωωω02−ω2ab = \dfrac{2\Omega\omega}{\omega_0^2 - \omega^2} a
Ce qui nous permet d'écrire que :
(ω02−ω2)a+2Ωω2Ωωω02−ω2a=ω02E    ⟺    (ω02−ω2)a+4Ω2ω2ω02−ω2a=ω02E(\omega_0^2 - \omega^2)a + 2\Omega\omega \dfrac{2\Omega\omega}{\omega_0^2 - \omega^2} a = \omega_0^2 E \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, (\omega_0^2 - \omega^2)a + \dfrac{4\Omega^2\omega^2}{\omega_0^2 - \omega^2} a = \omega_0^2 E
Donc :
(ω02−ω2)2ω02−ω2a+4Ω2ω2ω02−ω2a=ω02E    ⟺    a(ω02−ω2)2+4Ω2ω2ω02−ω2=ω02E\dfrac{(\omega_0^2 - \omega^2)^2}{\omega_0^2 - \omega^2}a + \dfrac{4\Omega^2\omega^2}{\omega_0^2 - \omega^2} a = \omega_0^2 E \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, a \dfrac{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2}{\omega_0^2 - \omega^2} = \omega_0^2 E
Ce qui nous donne :
a=(ω02−ω2)ω02E(ω02−ω2)2+4Ω2ω2{\color{green}{\boxed{a = \dfrac{(\omega_0^2 - \omega^2)\omega_0^2 E }{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2}}}}
Ce qui implique que :
b=2Ωωω02−ω2×(ω02−ω2)ω02E<br/>(ω02−ω2)2+4Ω2ω2b = \dfrac{2\Omega\omega}{\omega_0^2 - \omega^2} \times \dfrac{(\omega_0^2 - \omega^2)\omega_0^2 E }<br />{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2}
Ainsi :
b=2Ωωω02E(ω02−ω2)2+4Ω2ω2{\color{green}{\boxed{b = \dfrac{2\Omega\omega\omega_0^2 E }{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2} }}}
Donc la solution particulière est donc donnée par l'expression suivante :
uC,P(t)=ω02E(ω02−ω2)2+4Ω2ω2((ω02−ω2)cos⁡(ωt)+2Ωωsin⁡(ωt)){\color{blue}{\boxed{u_{C,P}(t) = \dfrac{\omega_0^2 E }{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2} \left( (\omega_0^2 - \omega^2) \cos(\omega t) + 2\Omega\omega \sin(\omega t) \right) }}}
Question 4

Déterminer la solution générale physique uC(t)u_{C}(t) lorsque l'on a 12τ<ω0{\color{red}{\dfrac{1}{2\tau} < \omega_0}}.

Correction
La condition {\color{red}{12τ<ω0\dfrac{1}{2\tau} < \omega_0}} est strictement identique à {\color{red}{Ω<ω0\Omega < \omega_0}}. Ceci signifie que :
Ω2<ω02    ⟺    Ω2−ω02<0    ⟺    4(Ω2−ω02)<0    ⟺    Δ<0\Omega^2 < \omega_0^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \Omega^2 - \omega_0^2 < 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 4(\Omega^2 - \omega_0^2) < 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \Delta < 0
Donc la solution globale mathématique recherchée est donnée par :
uC(t)=uC,H(t)+uC,P(t)u_{C}(t) = u_{C,H}(t) + u_{C,P}(t)
Donc :
uC(t)=e−Ωt(A cos⁡(ω02−Ω2 t)+B sin⁡(ω02−Ω2 t))+ω02E(ω02−ω2)2+4Ω2ω2((ω02−ω2)cos⁡(ωt)+2Ωωsin⁡(ωt)){\color{blue}{\boxed{\begin{array}{rcl} u_{C}(t) & = & e^{-\Omega t} \left( A \, \cos\left( \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2 } \, t \right) + B \, \sin\left( \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2 } \, t \right) \right) \\ & + & \dfrac{\omega_0^2 E }{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2} \left( (\omega_0^2 - \omega^2) \cos(\omega t) + 2\Omega\omega \sin(\omega t) \right) \\ \end{array} }}}
Il nous faut maintenant déterminer les deux constantes réelles AA et BB à l'aide des deux conditions initiales. On a alors, avec la première condition initiale uC(t=0)=0u_C(t=0) = 0, et en se souvenant que e0=1e^0 = 1, sin⁡(0)=0\sin(0) = 0 et cos⁡(0)=1\cos(0) = 1 :
0=A+(ω02−ω2)ω02E(ω02−ω2)2+4Ω2ω20 = A + \dfrac{(\omega_0^2 - \omega^2)\omega_0^2 E }{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2}
Donc :
A=−(ω02−ω2)ω02E(ω02−ω2)2+4Ω2ω2{\color{green}{\boxed{A = - \dfrac{(\omega_0^2 - \omega^2)\omega_0^2 E }{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2} }}}
Puis, par dérivation temporelle, on a :
d uCdt(t)=− Ω e−Ωt(A cos⁡(ω02−Ω2 t)+B sin⁡(ω02−Ω2 t))+ω02−Ω2 e−Ωt(−A sin⁡(ω02−Ω2 t)+B cos⁡(ω02−Ω2 t))+ωω02E(ω02−ω2)2+4Ω2ω2(−(ω02−ω2)sin⁡(ωt)+2Ωωcos⁡(ωt))\begin{array}{rcl} \dfrac{d \, u_C}{dt}(t) & = & -\, \Omega \, e^{-\Omega t} \left( A \, \cos\left( \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2 } \, t \right) + B \, \sin\left( \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2 } \, t \right) \right) \\ & + & \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2} \, e^{-\Omega t} \left( -A \, \sin\left( \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2 } \, t \right) + B \, \cos\left( \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2 } \, t \right) \right) \\ & + & \dfrac{\omega\omega_0^2 E }{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2} \left( -(\omega_0^2 - \omega^2) \sin(\omega t) + 2\Omega\omega \cos(\omega t) \right) \\ \end{array}
La seconde condition initiale est d uCdt(t=0)=0\dfrac{d \, u_C}{dt}(t=0) = 0. Donc, on obtient :
0=−ΩA+Bω02−Ω2+2Ωω2ω02E(ω02−ω2)2+4Ω2ω20 = - \Omega A + B \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2} + \dfrac{2 \Omega\omega^2\omega_0^2 E }{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2}
Soit encore :
B=1ω02−Ω2(ΩA−2Ωω2ω02E(ω02−ω2)2+4Ω2ω2)B = \dfrac{1}{\sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2}} \left( \Omega A - \dfrac{2 \Omega\omega^2\omega_0^2 E }{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2} \right)
En factorisant par Ω\Omega, on obtient :
B=Ωω02−Ω2(A−2ω2ω02E(ω02−ω2)2+4Ω2ω2)B = \dfrac{\Omega}{\sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2}} \left( A - \dfrac{2 \omega^2\omega_0^2 E }{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2} \right)
Dès lors :
B=Ωω02−Ω2(−(ω02−ω2)ω02E(ω02−ω2)2+4Ω2ω2−2ω2ω02E(ω02−ω2)2+4Ω2ω2)B = \dfrac{\Omega}{\sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2}} \left( - \dfrac{(\omega_0^2 - \omega^2)\omega_0^2 E }{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2} - \dfrac{2 \omega^2\omega_0^2 E }{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2} \right)
On obtient donc :
B=−Ωω02Eω02−Ω2((ω02−ω2)(ω02−ω2)2+4Ω2ω2+2ω2(ω02−ω2)2+4Ω2ω2)B = \dfrac{-\Omega\omega_0^2 E}{\sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2}} \left( \dfrac{(\omega_0^2 - \omega^2) }{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2} + \dfrac{2 \omega^2 }{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2} \right)
En réduisant au même dénominateur :
B=−Ωω02Eω02−Ω2(ω02−ω2+2ω2(ω02−ω2)2+4Ω2ω2)B = \dfrac{-\Omega\omega_0^2 E}{\sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2}} \left( \dfrac{\omega_0^2 - \omega^2 + 2 \omega^2 }{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2} \right)
Soit :
B=−Ωω02Eω02−Ω2(ω02+ω2<br/>(ω02−ω2)2+4Ω2ω2)B = \dfrac{-\Omega\omega_0^2 E}{\sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2}} \left( \dfrac{\omega_0^2 + \omega^2} <br />{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2} \right)
D'où :
B=−(ω02+ω2)Ωω02E((ω02−ω2)2+4Ω2ω2)ω02−Ω2{\color{green}{\boxed{B = -\dfrac{(\omega_0^2 + \omega^2)\Omega\omega_0^2 E}{\left( (\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2 \right) \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2}} }}}
Finalement, après factorisation, {\color{red}{\textbf{la solution globale physique}}} recherchée est donnée par l'expression suivante :
uC(t)=−ω02E e−Ωt(ω02−ω2)2+4Ω2ω2((ω02−ω2) cos⁡(ω02−Ω2 t)+(ω02+ω2)Ωω02−Ω2 sin⁡(ω02−Ω2 t))+ω02E(ω02−ω2)2+4Ω2ω2((ω02−ω2)cos⁡(ωt)+2Ωωsin⁡(ωt)){\color{red}{\boxed{\begin{array}{l} u_{C}(t) = \\ - \dfrac{\omega_0^2 E \, e^{-\Omega t}}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2} \left( (\omega_0^2 - \omega^2) \, \cos\left( \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2 } \, t \right) + \dfrac{(\omega_0^2 + \omega^2)\Omega}{\sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2}} \, \sin\left( \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2 } \, t \right) \right) \\ + \dfrac{\omega_0^2 E }{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2} \left( (\omega_0^2 - \omega^2) \cos(\omega t) + 2\Omega\omega \sin(\omega t) \right) \\ \end{array}}}}
Question 5

On se place maintenant dans le cas particulier pour lequel {\color{red}{ω=ω0\omega = \omega_0}}. Déterminer, dans ce cas précis, l'expression de la tension électrique aux bornes du condensateur uC(ω=ω0)(t)u_{C(\omega = \omega_0)}(t).

Correction
Si ω=ω0\omega = \omega_0, alors ω02−ω2=0\omega_0^2 - \omega^2 = 0 et ω02+ω2=2ω02\omega_0^2 + \omega^2 = 2\omega_0^2.
Dans ce cas, on trouve que :
uC(t)=−ω02E e−Ωt4Ω2ω022ω02Ωω02−Ω2 sin⁡(ω02−Ω2 t)+ω02E4Ω2ω022Ωω0sin⁡(ω0t)u_{C}(t) = - \dfrac{\omega_0^2 E \, e^{-\Omega t}}{4\Omega^2\omega_0^2} \dfrac{2\omega_0^2\Omega}{\sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2}} \, \sin\left( \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2 } \, t \right) + \dfrac{\omega_0^2 E }{4\Omega^2\omega_0^2} 2\Omega\omega_0 \sin(\omega_0 t)
En simplifiant on obtient :
uC(t)=−E e−Ωt2Ωω02ω02−Ω2 sin⁡(ω02−Ω2 t)+E2Ωω0sin⁡(ω0t)u_{C}(t) = - \dfrac{E \, e^{-\Omega t}}{2\Omega} \dfrac{\omega_0^2}{\sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2}} \, \sin\left( \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2 } \, t \right) + \dfrac{E }{2\Omega}\omega_0 \sin(\omega_0 t)
Puis, en factorisant, on trouve que :
uC(t)=ω0E2Ω(sin⁡(ω0t)−ω0 e−Ωtω02−Ω2 sin⁡(ω02−Ω2 t))u_{C}(t) = \dfrac{\omega_0 E}{2\Omega} \left( \sin(\omega_0 t) - \dfrac{\omega_0 \, e^{-\Omega t}}{\sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2}} \, \sin\left( \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2 } \, t \right) \right)
De plus, on a :
ω02−Ω2=ω01−Ω2ω02=ω01−(Ωω0)2\sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2} = \omega_0 \sqrt{1 - \dfrac{\Omega^2}{\omega_0^2}} = \omega_0 \sqrt{1 - \left(\dfrac{\Omega}{\omega_0}\right)^2}
Ce qui nous donne :
uC(t)=ω0E2Ω(sin⁡(ω0t)−e−Ωt1−(Ωω0)2 sin⁡(ω02−Ω2 t))u_{C}(t) = \dfrac{\omega_0 E}{2\Omega} \left(\sin(\omega_0 t) - \dfrac{e^{-\Omega t}}{\sqrt{1 - \left(\dfrac{\Omega}{\omega_0}\right)^2}} \, \sin\left( \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2 } \, t \right) \right)
Finalement, on obtient :
uC(ω=ω0)(t)=ω0E2Ω(sin⁡(ω0t)−e−Ωt1−(Ωω0)2 sin⁡(1−(Ωω0)2 ω0t)){\color{red}{\boxed{u_{C(\omega = \omega_0)}(t) = \dfrac{\omega_0 E}{2\Omega} \left( \sin(\omega_0 t) - \dfrac{e^{-\Omega t}}{\sqrt{1 - \left(\dfrac{\Omega}{\omega_0}\right)^2}} \, \sin\left( \sqrt{1 - \left(\dfrac{\Omega}{\omega_0}\right)^2} \, \omega_0 t \right) \right)}}}
Question 6

Dans l'expression précédemment trouvée de uC(ω=ω0)(t)u_{C(\omega = \omega_0)}(t), donner l'expression de la partie uCT(ω=ω0)(t)u_{CT(\omega = \omega_0)}(t) qui modélise les oscillations transitoires. Puis, donner l'expression de uCE(ω=ω0)(t)u_{CE(\omega = \omega_0)}(t), qui modélise les oscillations électriques établies.

Correction
Dans la solution précédente, le terme associé aux oscillations transitoires uCT(ω=ω0)(t)u_{CT(\omega = \omega_0)}(t) est celui qui contient l'exponentielle décroissante. Donc il est donné par :
uCT(ω=ω0)(t)=−ω0E e−Ωt2Ω1−(Ωω0)2 sin⁡(1−(Ωω0)2 ω0t){\color{blue}{\boxed{u_{CT(\omega = \omega_0)}(t) = - \dfrac{\omega_0 E \, e^{-\Omega t}}{2\Omega\sqrt{1 - \left(\dfrac{\Omega}{\omega_0}\right)^2}} \, \sin\left( \sqrt{1 - \left(\dfrac{\Omega}{\omega_0}\right)^2} \, \omega_0 t \right) }}}
Puis, le terme du régime d'oscillations établies uCE(ω=ω0)(t)u_{CE(\omega = \omega_0)}(t) est donc donné par l'expression :
uCE(ω=ω0)(t)=ω0E2Ωsin⁡(ω0t){\color{blue}{\boxed{u_{CE(\omega = \omega_0)}(t) = \dfrac{\omega_0 E}{2\Omega} \sin(\omega_0 t) }}}
Question 7

On pose maintenant :
∙  \bullet \,\, E=2E = 2 volts ;
∙  \bullet \,\, ω0=4\omega_0 = 4 radians par seconde ;
∙  \bullet \,\, Ω=0,12\Omega = 0,12 par seconde.
Tracer, pour les cinquante premières secondes, le graphique de la tension électrique uC(ω=ω0)(t)u_{C(\omega = \omega_0)}(t) qui existe aux bornes du condensateur.

Correction
Lorsque l'on pose E=2E=2 volts, puis ω0=4\omega_0 = 4 radians par seconde et enfin Ω=0,12\Omega = 0,12 par seconde, on obtient (pour les cinquante premières secondes) le graphique suivant :

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