Les équations différentielles linéaires du 1er ordre à coefficients constants avec un second membre de la forme $$t\mapsto P\left(t\right)e^{mt}$$ - Exercice 1

Etape 1 : Résolution de l'équation homogène
Pour tout réel $$t$$, on a :
On note $$\left(E_0\right) :y'+4y=0$$
ici nous avons $$a\left(t\right)=4$$, ainsi $$A\left(t\right)=\int{-a\left(t\right)}dt$$ autrement dit $$A\left(x\right)=-4t$$ .
L'ensemble des solutions de $$\left(E_0\right)$$ est l'ensemble des fonctions de la forme où $$C \in \mathbb{R}$$ .
Etape 2 : Recherche d'une solution particulière
Le second membre $$t\mapsto 2e^{3t}$$ est de la forme $$P\left(t\right)e^{mt}$$ avec $$\deg\left(P\right)=0$$ et $$m=3$$ .
Or $$3\ne -4$$ c'est à dire $$m \ne -\frac{b}{a}$$
On cherche alors une solution particulière de la forme $$y_1\left(t\right)=Q\left(t\right)e^{mt}$$ où $$\deg\left(Q\right)=\deg\left(P\right)$$ .
Autrement dit : $$y_1\left(t\right)=Ae^{3t}$$ où $$A\in \mathbb{R}$$
Il vient alors que $$y_{1}^{'} \left(t\right)=3Ae^{3t}$$ .
$$y_{1}^{'} \left(t\right)+4y_1\left(t\right)=2e^{3t}$$ équivaut successivement à :
$$3Ae^{3t}+4Ae^{3t}=2e^{3t}$$
$$3A+4A=2$$
$$7A=2$$
Ainsi : $$A=\frac{2}{7}$$
Une solution particulière de $$\left(E\right)$$ est alors $$y_1\left(t\right)=\frac{2}{7}e^{3t}$$
Etape 3 : Donner les solutions générales de l'équation différentielle
Les solutions générales de $$\left(E\right)$$ sont les fonctions de la forme :
$$y\left(t\right)=y_0\left(t\right)+y_1\left(t\right)$$
Finalement : où $$C$$ est une constante réelle quelconque.

Etape 1 : Résolution de l'équation homogène
Pour tout réel $$t$$, on a :
On note $$\left(E_0\right) :2y'-10y=-e^{5t}$$ que l'on peut écrire $$y'-5y=-\frac{1}{2}e^{5t}$$
ici nous avons $$a\left(t\right)=-5$$, ainsi $$A\left(t\right)=\int{-a\left(t\right)}dt$$ autrement dit $$A\left(x\right)=5t$$ .
L'ensemble des solutions de $$\left(E_0\right)$$ est l'ensemble des fonctions de la forme où $$C \in \mathbb{R}$$ .
Etape 2 : Recherche d'une solution particulière
Le second membre $$t\mapsto -\frac{1}{2}e^{5t}$$ est de la forme $$P\left(t\right)e^{mt}$$ avec $$\deg\left(P\right)=0$$ et $$m=5$$ .
Ici $$5= -\frac{b}{a}$$ c'est à dire $$m= -\frac{b}{a}$$
On cherche alors une solution particulière de la forme $$y_1\left(t\right)=Q\left(t\right)e^{mt}$$ où $$\deg\left(Q\right)=\deg\left(P\right)+1$$ .
Autrement dit : $$y_1\left(t\right)=\left(At+B\right)e^{5t}$$ où $$\left(A;B\right)\in \mathbb{R}^2$$
Il vient alors que $$y_{1}^{'} \left(t\right)=\left(5At+A+5B\right)e^{5t}$$ .
$$y_{1}^{'} \left(t\right)-5y_1\left(t\right)=-\frac{1}{2}e^{5t}$$ équivaut successivement à :
$$\left(5At+A+5B\right)e^{5t}-5\left(At+B\right)e^{5t}=-\frac{1}{2}e^{5t}$$
$$5At+A+5B-5At-5B=-\frac{1}{2}$$
Ainsi : $$A=-\frac{1}{2}$$ et $$B\in \mathbb{R}$$, on peut alors choisir un réel $$B$$ quelconque, par simplicité prenons $$B=0$$.
Une solution particulière de $$\left(E\right)$$ est alors $$y_1\left(t\right)=-\frac{1}{2}te^{5t}$$
Etape 3 : Donner les solutions générales de l'équation différentielle
Les solutions générales de $$\left(E\right)$$ sont les fonctions de la forme :
$$y\left(t\right)=y_0\left(t\right)+y_1\left(t\right)$$
Finalement : où $$C$$ est une constante réelle quelconque.

Etape 1 : Résolution de l'équation homogène
Pour tout réel $$t$$, on a :
On note $$\left(E_0\right) :y'+y=te^{-2t}$$
ici nous avons $$a\left(t\right)=1$$, ainsi $$A\left(t\right)=\int{-a\left(t\right)}dt$$ autrement dit $$A\left(x\right)=-t$$ .
L'ensemble des solutions de $$\left(E_0\right)$$ est l'ensemble des fonctions de la forme où $$C \in \mathbb{R}$$ .
Etape 2 : Recherche d'une solution particulière
Le second membre $$t\mapsto te^{-2t}$$ est de la forme $$P\left(t\right)e^{mt}$$ avec $$\deg\left(P\right)=1$$ et $$m=-2$$ .
Or $$-2\ne -1$$ c'est à dire $$m \ne -\frac{b}{a}$$
On cherche alors une solution particulière de la forme $$y_1\left(t\right)=Q\left(t\right)e^{mt}$$ où $$\deg\left(Q\right)=\deg\left(P\right)$$ .
Autrement dit : $$y_1\left(t\right)=\left(At+B\right)e^{-2t}$$ où $$\left(A;B\right)\in \mathbb{R}^2$$
Il vient alors que $$y_{1}^{'} \left(t\right)=\left(-2At+A-2B\right)e^{-2t}$$ .
$$y_{1}^{'} \left(t\right)+y_1\left(t\right)=te^{-2t}$$ équivaut successivement à :
$$\left(-2At+A-2B\right)e^{-2t}+\left(At+B\right)e^{-2t}=te^{-2t}$$
$$-2At+A-2B+At+B=t$$
$$-At+A-B=t$$
il vient alors que :
$$\left\{ \begin{array}{ccc}-A & = & 1 \\ A-B & = & 0 \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}A & = & -1 \\ B & = & -1 \end{array}\right.$$
Une solution particulière de $$\left(E\right)$$ est alors $$y_1\left(t\right)=\left(-t-1\right)e^{-2t}$$
Etape 3 : Donner les solutions générales de l'équation différentielle
Les solutions générales de $$\left(E\right)$$ sont les fonctions de la forme :
$$y\left(t\right)=y_0\left(t\right)+y_1\left(t\right)$$
Finalement : où $$C$$ est une constante réelle quelconque.

Etape 1 : Résolution de l'équation homogène
Pour tout réel $$t$$, on a :
On note $$\left(E_0\right) : y'+4y=0$$
ici nous avons $$a\left(t\right)=4$$, ainsi $$A\left(t\right)=\int{-a\left(t\right)}dt$$ autrement dit $$A\left(x\right)=-4t$$ .
L'ensemble des solutions de $$\left(E_0\right)$$ est l'ensemble des fonctions de la forme où $$C \in \mathbb{R}$$ .
Etape 2 : Recherche d'une solution particulière
Le second membre $$t\mapsto \left(5t+2\right)e^{-4t}$$ est de la forme $$P\left(t\right)e^{mt}$$ avec $$\deg\left(P\right)=1$$ et $$m=-4$$ .
Or $$m =-\frac{b}{a}$$
On cherche alors une solution particulière de la forme $$y_1\left(t\right)=Q\left(t\right)e^{mt}$$ où $$\deg\left(Q\right)=\deg\left(P\right)+1$$ .
Autrement dit : $$y_1\left(t\right)=\left(At^2+Bt+C\right)e^{-4t}$$ où $$\left(A;B;C\right)\in \mathbb{R}^3$$
Il vient alors que $$y_{1}^{'} \left(t\right)=\left(-4At^2+\left(2A-4B\right)t+B-4C\right)e^{-4t}$$ .
$$y_{1}^{'} \left(t\right)+4y_1\left(t\right)=\left(5t+2\right)e^{-4t}$$ équivaut successivement à :
$$\left(-4At^2+\left(2A-4B\right)t+B-4C\right)e^{-4t}+4\left(At^2+Bt+C\right)e^{-4t}=\left(5t+2\right)e^{-4t}$$
$$-4At^2+\left(2A-4B\right)t+B-4C+4At^2+4Bt+4C=5t+2$$
$$2At+B=5t+2$$
il vient alors que :
$$\left\{ \begin{array}{ccc}2A & = & 5 \\ B & = & 2 \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}A & = & \frac{5}{2} \\ B & = & 2 \end{array}\right.$$
$$C\in \mathbb{R}$$, on peut alors choisir un réel $$C$$ quelconque, par simplicité prenons $$C=0$$.
Une solution particulière de $$\left(E\right)$$ est alors $$y_1\left(t\right)=\left(\frac{5}{2}t^2+2t\right)e^{-4t}$$
Etape 3 : Donner les solutions générales de l'équation différentielle
Les solutions générales de $$\left(E\right)$$ sont les fonctions de la forme :
$$y\left(t\right)=y_0\left(t\right)+y_1\left(t\right)$$
Finalement : où $$C$$ est une constante réelle quelconque.

Pour résoudre cette équation $$\left(E\right)$$ nous allons transformer l'expression du second membre de la forme $$t\mapsto P\left(t\right)e^{mt}$$ .
Pour cela, on rappelle que $$\sin\left(3t\right)=\text{Im}\left(e^{3it}\right)$$.
Nous allons résoudre l'équation $$\left(E_1\right) : y'+2y=e^{3it}$$.
Nous allons chercher les solutions générales de l'équation homogène associée à $$\left(E_1\right)$$ puis une solution particulière de $$\left(E_1\right)$$.
Finalement, les solutions de $$\left(E\right)$$ seront alors les solutions générales de l'équation homogène associée à $$\left(E_1\right)$$ puis la partie imaginaire de la solution particulière de $$\left(E_1\right)$$.
Commençons par résoudre $${\color{blue}{\left(E_1\right) : y'+2y=e^{3it}}}$$
Etape 1 : Résolution de l'équation homogène
Pour tout réel $$t$$, on a :
On note $$\left(E_0\right) :y'+2y=0$$
ici nous avons $$a\left(t\right)=2$$, ainsi $$A\left(t\right)=\int{-a\left(t\right)}dt$$ autrement dit $$A\left(x\right)=-2t$$ .
L'ensemble des solutions de $$\left(E_0\right)$$ est l'ensemble des fonctions de la forme où $$C \in \mathbb{R}$$ .
Etape 2 : Recherche d'une solution particulière
Le second membre $$t\mapsto e^{3it}$$ est de la forme $$P\left(t\right)e^{mt}$$ avec $$\deg\left(P\right)=0$$ et $$m=3i$$ .
Or $$3i\ne -2$$ c'est à dire $$m \ne -\frac{b}{a}$$
On cherche alors une solution particulière de la forme $$y_1\left(t\right)=Q\left(t\right)e^{mt}$$ où $$\deg\left(Q\right)=\deg\left(P\right)$$ .
Autrement dit : $$y_1\left(t\right)=Ae^{3it}$$ où $$A\in \mathbb{C}$$
Il vient alors que $$y_{1}^{'} \left(t\right)=3iAe^{3it}$$ .
$$y_{1}^{'} \left(t\right)+2y_1\left(t\right)=e^{3it}$$ équivaut successivement à :
$$3iAe^{3it}+2Ae^{3t}=e^{3it}$$
$$3iA+2A=1$$
$$A\left(3i+2\right)=1$$
$$A=\frac{1}{3i+2}$$
$$A=\frac{-3i+2}{\left(3i+2\right)\left(-3i+2\right)}$$
Ainsi : $$A=\frac{2}{13}-\frac{3}{13}i$$
Une solution particulière de $$\left(E_1\right)$$ est alors $$y_1\left(t\right)=\left(\frac{2}{13}-\frac{3}{13}i\right)e^{3it}$$.
On peut également écrire que :
$$y_1\left(t\right)=\left(\frac{2}{13}-\frac{3}{13}i\right)\left({\mathrm{cos} \left(3t\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(3t\right)\ }\right)$$
$$y_1\left(t\right)=\frac{2}{13}{\mathrm{cos} \left(3t\right)\ }+\frac{2}{13}i{\mathrm{sin} \left(3t\right)\ }-\frac{3}{13}i{\mathrm{cos} \left(3t\right)\ }+\frac{3}{13}{\mathrm{sin} \left(3t\right)\ }$$
$$y_1\left(t\right)=\frac{2}{13}{\mathrm{cos} \left(3t\right)\ }+\frac{3}{13}{\mathrm{sin} \left(3t\right)\ }+i\left(\frac{2}{13}{\mathrm{sin} \left(3t\right)\ }-\frac{3}{13}{\mathrm{cos} \left(3t\right)\ }\right)$$
On peut alors affirmer que : $$\text{Im}\left(y_1\left(t\right)\right)=\frac{2}{13}{\mathrm{sin} \left(3t\right)\ }-\frac{3}{13}{\mathrm{cos} \left(3t\right)}$$
Etape 3 : Donner les solutions générales de l'équation différentielle
Les solutions générales de $$\left(E\right)$$ sont les solutions générales de l'équation homogène associée à $$\left(E_1\right)$$ et de la partie imaginaire de la solution particulière de $$\left(E_1\right)$$.
$$y\left(t\right)=y_0\left(t\right)+\text{Im}\left(y_1\left(t\right)\right)$$
Finalement : où $$C$$ est une constante réelle quelconque.

Pour résoudre cette équation $$\left(E\right)$$ nous allons transformer l'expression du second membre de la forme $$t\mapsto P\left(t\right)e^{mt}$$ .
Pour cela, on rappelle que $$\cos\left(6t\right)=\text{Re}\left(e^{6it}\right)$$.
Nous allons résoudre l'équation $$\left(E_1\right) : y'-y=te^{6it}$$.
Nous allons chercher les solutions générales de l'équation homogène associée à $$\left(E_1\right)$$ puis une solution particulière de $$\left(E_1\right)$$.
Finalement, les solutions de $$\left(E\right)$$ seront alors les solutions générales de l'équation homogène associée à $$\left(E_1\right)$$ puis la partie réelle de la solution particulière de $$\left(E_1\right)$$.
Commençons par résoudre $${\color{blue}{\left(E_1\right) : y'-y=te^{6it}}}$$
Etape 1 : Résolution de l'équation homogène
Pour tout réel $$t$$, on a :
On note $$\left(E_0\right) :y'-y=0$$
ici nous avons $$a\left(t\right)=-1$$, ainsi $$A\left(t\right)=\int{-a\left(t\right)}dt$$ autrement dit $$A\left(x\right)=t$$ .
L'ensemble des solutions de $$\left(E_0\right)$$ est l'ensemble des fonctions de la forme où $$C \in \mathbb{R}$$ .
Etape 2 : Recherche d'une solution particulière
Le second membre $$t\mapsto te^{6it}$$ est de la forme $$P\left(t\right)e^{mt}$$ avec $$\deg\left(P\right)=1$$ et $$m=6i$$ .
Or $$6i\ne 1$$ c'est à dire $$m \ne -\frac{b}{a}$$
On cherche alors une solution particulière de la forme $$y_1\left(t\right)=Q\left(t\right)e^{mt}$$ où $$\deg\left(Q\right)=\deg\left(P\right)$$ .
Autrement dit : $$y_1\left(t\right)=\left(At+B\right)e^{6it}$$ où $$\left(A;B\right)\in \mathbb{C}^2$$
Il vient alors que $$y_{1}^{'} \left(t\right)=\left(6iAt+6iB+A\right)e^{6it}$$ .
$$y_{1}^{'} \left(t\right)-y_1\left(t\right)=te^{6it}$$ équivaut successivement à :
$$\left(6iAt+6iB+A\right)e^{6it}-\left(At+B\right)e^{6it}=te^{6it}$$
$$6iAt+6iB+A-At-B=t$$
$$\left(6i-1\right)At+6iB+A-B=t$$
Il vient alors que :
$$\left\{ \begin{array}{ccc}\left(6i-1\right)A & = & 1 \\ 6iB+A-B & = & 0 \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}A & = & \frac{1}{6i-1} \\ 6iB+A-B & = & 0 \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}A & = & \frac{1}{6i-1} \\ 6iB+\frac{1}{6i-1}-B & = & 0 \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}A & = & \frac{1}{6i-1} \\ 6iB-B & = & -\frac{1}{6i-1} \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}A & = & \frac{1}{6i-1} \\ \left(6i-1\right)B & = & -\frac{1}{6i-1} \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}A & = & \frac{1}{6i-1} \\ B & = & -\frac{1}{\left(6i-1\right)\left(6i-1\right)} \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}A & = & -\frac{1}{37}-\frac{6}{37}i \\ B & = & \frac{35}{1369}-\frac{12}{1369}i \end{array}\right.$$
Une solution particulière de $$\left(E_1\right)$$ est alors $$y_1\left(t\right)=\left(\left(-\frac{1}{37}-\frac{6}{37}i\right)t+\frac{35}{1369}-\frac{12}{1369}i\right)e^{6it}$$.
On peut également écrire que :
$$y_1\left(t\right)=\left(\left(-\frac{1}{37}-\frac{6}{37}i\right)t+\frac{35}{1369}-\frac{12}{1369}i\right)\left({\mathrm{cos} \left(6t\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(6t\right)\ }\right)$$
$$y_1\left(t\right)=-\frac{1}{37}t{\mathrm{cos} \left(6t\right)\ }-\left(\frac{1}{37}i{\mathrm{sin} \left(6t\right)\ }\right)t-\left(\frac{6}{37}i{\mathrm{cos} \left(6t\right)\ }\right)t+\left(\frac{6}{37}{\mathrm{sin} \left(6t\right)\ }\right)t+\frac{35}{1369}{\mathrm{cos} \left(6t\right)\ }+\frac{35}{1369}i{\mathrm{sin} \left(6t\right)\ }-\frac{12}{1369}i{\mathrm{cos} \left(6t\right)\ }+\frac{12}{1369}{\mathrm{sin} \left(6t\right)\ }$$
Ainsi :
$$\text{Re}\left(y_1\left(t\right)\right)=-\frac{1}{37}t{\mathrm{cos} \left(6t\right)\ }+\left(\frac{6}{37}{\mathrm{sin} \left(6t\right)\ }\right)t+\frac{35}{1369}{\mathrm{cos} \left(6t\right)\ }+\frac{12}{1369}{\mathrm{sin} \left(6t\right)\ }$$
$$\text{Re}\left(y_1\left(t\right)\right)=\left(-\frac{1}{37}t+\frac{35}{1369}\right){\mathrm{cos} \left(6t\right)\ }+\left(\frac{6}{37}t+\frac{12}{1369}\right){\mathrm{sin} \left(6t\right)\ }$$
Etape 3 : Donner les solutions générales de l'équation différentielle
Les solutions générales de $$\left(E\right)$$ sont les solutions générales de l'équation homogène associée à $$\left(E_1\right)$$ et de la partie réelle de la solution particulière de $$\left(E_1\right)$$.
$$y\left(t\right)=y_0\left(t\right)+\text{Re}\left(y_1\left(t\right)\right)$$
Finalement : où $$C$$ est une constante réelle quelconque.