On monte encore en ordre ! - Exercice 1

On a :
$$y''''(t) - \omega^4 y(t) = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, y''''(t) - \omega^4 y(t) + \omega^2 y''(t) - \omega^2 y''(t) = 0$$
Soit :
$$y''''(t) - \omega^2 y''(t) + \omega^2 \left( - \omega^2 y(t) + y''(t) \right) = 0$$
Soit encore :
$$\left( y''(t) - \omega^2 y(t) \right)'' + \omega^2 \left( - \omega^2 y(t) + y''(t) \right) = 0$$
De même :
$$\left( y''(t) - \omega^2 y(t) \right)'' + \omega^2 \left( y''(t) - \omega^2 y(t) \right) = 0$$
Posons alors $$f(t) = y''(t) - \omega^2 y(t)$$. Ainsi, on trouve que :
$$f''(t) + \omega^2 f(t) = 0$$
Il s'agit d'une équation différentielle linéaire, du deuxième ordre, homogène et à coefficients constants. Elle est bien connue des physiciens puisque c'est celle qui décrit un oscillateur harmonique de grandeur $$f$$.
On note $$i^2 = -1$$. L'équation caractéristique associée est :
$$r^2 + \omega^2 = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, r^2 = - \omega^2 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, r^2 = i^2 \omega^2 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, r^2 = (i\omega)^2$$
Soit $$r = \pm i\omega = 0 \pm i\omega \in \mathbb{C}$$
On a alors, avec $$(a\,;\,b) \in \mathbb{R}$$ :
$$f(t) = a \sin(\omega t) + b \cos(\omega t)$$
On a alors l'équation :
$$y''(t) - \omega^2 y(t) = a \sin(\omega t) + b \cos(\omega t)$$
La solution homogène $$y_h(t)$$ se déduit de l'équation caractéristique associée, à savoir :
$$r^2 - \omega^2 = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, r^2 = \omega^2$$
Soit $$r = \pm \omega \in \mathbb{R}$$, donc $$y_h(t) = c \, e^{\omega t} + d \, e^{-\omega t}$$ où $$a$$ et $$b$$ sont deux constantes réelles. Or, on sait que :
$$e^{\omega t} = \cosh(\omega t) + \sinh(\omega t) \,\,\,\, \mathrm{et} \,\,\,\, e^{-\omega t} = \cosh(\omega t) - \sinh(\omega t)$$
Donc :
$$y_h(t) = c \, \left( \cosh(\omega t) + \sinh(\omega t) \right) + d \, \left( \cosh(\omega t) - \sinh(\omega t) \right)$$
Ainsi :
$$y_h(t) = (c + d) \cosh(\omega t) + (c-d) \sinh(\omega t)$$
On pose alors $$C = c+d \in \mathbb{R}$$ et $$D = c-d \in \mathbb{R}$$, et de fait :
$${\color{blue}{\boxed{y_h(t) = C \cosh(\omega t) + D \sinh(\omega t) }}}$$
Le second membre étant $$a \sin(\omega t) + b \cos(\omega t)$$ donc la solution particulière sera de forme mathématique similaire. On a alors, avec $$(A\,;\,B) \in \mathbb{R}$$ :
$${\color{blue}{\boxed{y_p(t) = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t) }}}$$
Ainsi la solution globale $$y(t)$$ est donnée par :
$$y(t) y_h(t) + y_p(t)$$
Finalement, on trouve que :
$${\color{red}{\boxed{y(t) = C \cosh(\omega t) + D \sinh(\omega t) + A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t) }}}$$