Principe de superposition - Exercice 1

L'équation différentielle homogène associée à $$E$$ est :
$$y_h''(t) - 6 y_h'(t) + 10 y_h(t) = 0$$
L'équation caractéristique est alors :
$$r^2 - 6 r + 10 = 0$$
Le discriminant associé est $$\Delta = (-6)^2 - 4 \times 1 \times 10 = -4 < 0$$. On en déduit les deux racines complexes conjuguées suivantes qui en découlent :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} r_1 & = & \dfrac{-(-6) + i \sqrt{4}}{2} \\ & & \\ r_2 & = & \dfrac{-(-6) - i \sqrt{4}}{2} \\ \end{array} \right.$$
Soit :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} r_1 & = & \dfrac{6 + i 2}{2} \\ & & \\ r_2 & = & \dfrac{6 - i 2}{2} \\ \end{array} \right.$$
D'où :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} r_1 & = & 3+i \\ & & \\ r_2 & = & 3-i \\ \end{array} \right.$$
Ainsi, la solution homogène est donnée par :
$${\color{blue}{\boxed{y_h(t) = e^{3t} \left( A \cos(t) + B \sin(t) \right) \,\,\,\,\,\,\, (A,B) \in \mathbb{R}^2}}}$$
Le second membre est $$5 + 2 \sin(t)$$. Il est donc composé d'une somme de deux termes, à savoir $$5$$ et $$2\sin(t)$$. Il y aura donc deux solutions particulières $$y_{p1}$$ et $$y_{p2}$$. Puis, nous écrirons que $$y_p(t) = y_{p1}(t) + y_{p2}(t)$$.
On va donc considérer successivement les deux équations différentielles suivantes :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} y_{p1}''(t) - 6 y_{p1}'(t) + 10 y_{p1}(t) & = & 5 \\ & & \\ y_{p2}''(t) - 6 y_{p2}'(t) + 10 y_{p2}(t) & = & 2 \sin(t) \\ \end{array} \right.$$
Concernant la première équation, à savoir $$y_{p1}''(t) - 6 y_{p1}'(t) + 10 y_{p1}(t) = 5$$, on remarque qu'une solution particulière $$y_{p1}$$ de la forme $$y_{p1}(t) = k \in \mathbb{R}$$ donne $$y_{p1}''(t) = y_{p1}'(t) = 0$$. Donc, nous sommes conduit directement à $$y_{p1}(t) = k = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$$.
Concernant la seconde équation, à savoir $$y_{p2}''(t) - 6 y_{p2}'(t) + 10 y_{p2}(t) = 2 \sin(t)$$, on recherche une solution particulière $$y_{p2}$$ de la forme $$y_{p2}(t) = a \sin(t) + b \cos(t)$$ avec $$(a,b)\in \mathbb{R}^2$$. On en déduit immédiatement que :
$$y'_{p2}(t) = a \cos(t) - b \sin(t) \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, y''_{p2}(t) = - a \sin(t) - b \cos(t)$$
En remplaçant dans l'équation différentielle $$y_{p2}''(t) - 6 y_{p2}'(t) + 10 y_{p2}(t) = 2 \sin(t)$$, cette dernière prend la forme suivante :
$$- a \sin(t) - b \cos(t) - 6 \left( a \cos(t) - b \sin(t) \right) + 10 \left( a \sin(t) + b \cos(t) \right) = 2 \sin(t)$$
Ce qui nous donne :
$$- a \sin(t) - b \cos(t) - 6 a \cos(t) + 6 b \sin(t) + 10 a \sin(t) + 10 b \cos(t) = 2 \sin(t) + 0 \cos(t)$$
En factorisant, on obtient :
$$\left( - a + 6 b + 10 a \right) \sin(t) + \left(- b - 6 a + 10 b \right) \cos(t) = 2 \sin(t) + 0 \cos(t)$$
Soit encore :
$$\left( {\color{red}{9a + 6b}} \right) \sin(t) + \left({\color{blue}{9b - 6a}}\right) \cos(t) = {\color{red}{2}} \sin(t) + {\color{blue}{0}} \cos(t)$$
On en déduit que $${\color{blue}{9b - 6a}} = {\color{blue}{0}}$$ soit $${\color{blue}{3b - 2a}} = {\color{blue}{0}}$$ d'où $${\color{blue}{2a}} = {\color{blue}{3b}}$$, et de fait $${\color{blue}{9a}} = {\color{blue}{\dfrac{27}{2}b}}$$. On en déduit alors que :
$${\color{red}{9a + 6b}} = {\color{red}{2}} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, {\color{blue}{\dfrac{27}{2}b}} + {\color{red}{6b}} = {\color{red}{2}} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, {\color{blue}{27b}} + {\color{red}{12b}} = {\color{red}{4}} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 39b = {\color{red}{4}}$$
Soit :
$$b = \dfrac{4}{39}$$
De plus, on sait que $${\color{blue}{3b - 2a}} = {\color{blue}{0}}$$ , donc $$a = \dfrac{3}{2}b$$. Ce qui nous donne $$a = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{4}{39}$$. Ainsi :
$$a = \dfrac{6}{39}$$
Ce qui nous permet d'écrire que la solution particulière $$y_{p2}$$ est :
$$y_{p2}(t) = \dfrac{6}{39} \sin(t) + \dfrac{4}{39} \cos(t) = \dfrac{2}{39} \left( 3 \sin(t) + 2 \cos(t) \right)$$
De ceci, on en déduit donc immédiatement que la solution particulière $$y_p(t)$$ est donnée par :
$${\color{blue}{\boxed{y_p(t) = y_{p1}(t) + y_{p2}(t) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{39} \left( 3 \sin(t) + 2 \cos(t) \right) }}}$$
Finalement, on obtient la solution générale de l'équation différentielle linéaire $$E$$, à savoir $$y(t)$$, est donnée par la somme $$y_h(t) + y_p(t)$$. Donc :
$${\color{red}{\boxed{y(t) = y_h(t) + y_p(t) = e^{3t} \left( A \sin(t) + B \sin(t) \right) + \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{39} \left( 3 \sin(t) + 2 \cos(t) \right) \,\,\,\,\,\,\, (A,B) \in \mathbb{R}^2 }}}$$