Une équation cinétique forcée sinusoïdalement - Exercice 1

La solution homogène $$f_H$$ est donnée par :
$${\color{blue}{\boxed{f_H(x) = K \, e^{-Bx} \,\,\,\, (K \in \mathbb{R})}}}$$

La solution particulière $$f_P$$ est de la forme :
$$f_P(x) = \alpha \cos(\omega_e x) + \beta \sin(\omega_e x) \,\,\,\, ((\alpha\,;\,\beta) \in \mathbb{R}^2)$$
Donc :
$$\dfrac{d \, f_P}{dx}(x) = -\alpha\omega_e \sin(\omega_e x) + \beta\omega_e \cos(\omega_e x) \,\,\,\, ((\alpha\,;\,\beta) \in \mathbb{R}^2)$$
L'EDO devient alors :
$$-\alpha\omega_e \sin(\omega_e x) + \beta\omega_e \cos(\omega_e x) + B\alpha \cos(\omega_e x) + B\beta \sin(\omega_e x) = A_e \sin(\omega_e x)$$
Dès lors, on a alors :
$$({\color{red}{B\beta -\alpha\omega_e}}) \sin(\omega_e x) + ({\color{blue}{B\alpha + \beta\omega_e}}) \cos(\omega_e x) = {\color{red}{A_e}} \sin(\omega_e x) + {\color{blue}{0}} \cos(\omega_e x)$$
Ce qui nous donne :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} {\color{red}{B\beta -\alpha\omega_e}} & = & {\color{red}{A_e}} \\ & & \\ {\color{blue}{B\alpha + \beta\omega_e}} & = & {\color{blue}{0}} \\ \end{array} \right. \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} {\color{red}{B\beta -\alpha\omega_e}} & = & {\color{red}{A_e}} \\ & & \\ {\color{blue}{\beta}} & = & {\color{blue}{-\dfrac{B\alpha}{\omega_e}}} \\ \end{array} \right.$$
Donc :
$$-B\dfrac{B\alpha}{\omega_e} - \alpha\omega_e = A_e \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, B^2\dfrac{\alpha}{\omega_e} + \alpha\omega_e = - A_e \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \alpha \left( \dfrac{B^2}{\omega_e} + \omega_e \right) = - A_e$$
Ce qui nous donne :
$$\alpha \left( \dfrac{B^2 + \omega_e^2}{\omega_e} \right) = - A_e \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \alpha = - \dfrac{A_e \omega_e}{B^2 + \omega_e^2}$$
On en déduit immédiatement que :
$$\beta = -\dfrac{B\alpha}{\omega_e} = -\dfrac{B}{\omega_e} \times - \dfrac{A_e \omega_e}{B^2 + \omega_e^2} = \dfrac{A_e B}{B^2 + \omega_e^2}$$
La solution particulière est donc donnée par :
$$f_P(x) = - \dfrac{A_e \omega_e}{B^2 + \omega_e^2} \cos(\omega_e x) + \dfrac{A_e B}{B^2 + \omega_e^2} \sin(\omega_e x)$$
A savoir :
$${\color{blue}{\boxed{f_P(x) = \dfrac{A_e}{B^2 + \omega_e^2} \, \left( - \omega_e \cos(\omega_e x) + B \sin(\omega_e x) \right) }}}$$

La solution générale $$f$$ de cette EDO linéaire est donnée par :
$$f(x) = f_H(x) + f_P(x)$$
Ce qui nous donne :
$${\color{red}{\boxed{ f(x) = K \, e^{-Bx} + \dfrac{A_e}{B^2 + \omega_e^2} \, \left( - \omega_e \cos(\omega_e x) + B \sin(\omega_e x) \right) \,\,\,\, (K \in \mathbb{R}) }}}$$

La condition initiale est $$f(x=0) = 0$$. Donc :
$$K \, e^{-B0} + \dfrac{A_e}{B^2 + \omega_e^2} \, \left( - \omega_e \cos(\omega_e 0) + B \sin(\omega_e 0) \right) = 0$$
Soit :
$$K + \dfrac{A_e}{B^2 + \omega_e^2} \, \left( - \omega_e + 0 \right) = 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, K - \dfrac{A_e \omega_e}{B^2 + \omega_e^2} = 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, K = \dfrac{A_e \omega_e} {B^2 + \omega_e^2}$$
D'où :
$$f(x) = \dfrac{A_e \omega_e}{B^2 + \omega_e^2} \, e^{-Bx} + \dfrac{A_e}{B^2 + \omega_e^2} \, \left( - \omega_e \cos(\omega_e x) + B \sin(\omega_e x) \right)$$
Ainsi :
Ce qui nous donne :
$${\color{red}{\boxed{f(x) = \dfrac{A_e}{B^2 + \omega_e^2} \, \left( \omega_e \left( e^{-Bx} - \cos(\omega_e x) \right) + B \sin(\omega_e x) \right) }}}$$
Finalement, on pose $$B = \sqrt{3}$$, $$A_e = 6$$ et $$\omega_e = 1$$. On a alors la solution suivante :
$${\color{red}{\boxed{f(x) = \dfrac{3}{2} \, \left( e^{-\sqrt{3}x} - \cos(x) + \sqrt{3} \sin(x) \right) }}}$$
Il est possible d'écrire ceci autrement. En effet :
$$- \cos(x) + \sqrt{3} \sin(x) = 2 \left( - \dfrac{1}{2} \cos(x) + \dfrac{\sqrt{3}}{2 \sin(x)} \right) = 2 \sin \left( x - \dfrac{\pi}{6} \right)$$
Ce qui nous donne donc :
$${\color{blue}{\boxed{f(x) = \dfrac{3}{2} \, \left( e^{-\sqrt{3}x} + 2 \sin \left( x - \dfrac{\pi}{6} \right) \right) }}}$$