Applications linéaires : exercices en vues du devoir - Exercice 1

Soient $$f_1$$ et $$f_2$$, deux éléments de $$\mathcal{E}$$, et $$\lambda$$ un réel. On a par $$\varphi$$ :
$$(f_1 + \lambda f_2)'' = f''_1 + \lambda f''_2 \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, \varphi \in \mathcal{L}(\mathcal{E})$$

Soit $$f$$ un élément de $$\ker \varphi$$. Dans ce cas, avec $$x \in \mathbb{R}$$, on a :
$$f \in \ker \varphi \,\,\, \Longleftrightarrow\,\,\, \varphi (f) = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, f'' = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, f(x) = ax + b \,\, (a\,;\,b) \in \mathbb{R}^2$$
Or, par hypothèse, $$f$$ est $$2\pi$$-périodique. D'où :
$$f(x+2\pi) = f(x) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, a(x+2\pi) + b = ax + b \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, ax + b +2\pi a = ax+b \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, a=0$$
Ainsi $$f=b$$. En conclusion :

Soit $$f \in \mathcal{E}$$ un élément de $$\mathrm{im} \, \varphi$$. Dans ce cas, avec $$x \in \mathbb{R}$$, il existe $$g \in \mathcal{E}$$ tel que $$\varphi (g) = f$$. Et on a :
$$\exists g \in \mathcal{E}, \,\, \forall f \in \mathrm{im} \, \varphi, \,\,\, \varphi(g) = g'' = f$$
Ainsi, on en déduit, par intégration sur la période, que :
$$\int_{0}^{2\pi} f(t) dt = \left[ g'(t) \right]_{0}^{2\pi} = g'(2\pi) - g'(0)$$
Or, par hypothèse, $$g \in \mathcal{E}$$, et est $$2\pi$$-périodique, ainsi, il en est de même pour sa dérivée $$g'$$. Donc, on en déduit que :
$$g'(2\pi) - g'(0) = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \int_{0}^{2\pi} f(t) dt = 0$$
On en déduit donc que :

Pour démontrer que $$\mathcal{E} = \ker \varphi \oplus \mathrm{im} \, \varphi$$, on procède en deux étapes :
$$\,\,\,\, \blacktriangledown \,\, \bf{Première \,\,étape : \,\, } \bf{\ker \varphi \cap \mathrm{im} \, \varphi = 0_{\mathcal{E}}}$$
On considère $$f$$ un élément de $$\ker \varphi \cap \mathrm{im} \, \varphi$$. Dans ce cas, on a :
$$f \in \ker \varphi \cap \mathrm{im} \, \varphi \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} f \in \ker \varphi & \Longrightarrow & f = b \in \mathbb{R} \\ f \in \mathrm{im} \, \varphi & \Longrightarrow & \displaystyle{\int_{0}^{2\pi}} f(t) \, dt = 0 \\ \end{array} \right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \int_{0}^{2\pi} b \, dt = 0$$
Soit :
$$b \int_{0}^{2\pi} dt = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 2\pi b = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, b = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, f = 0$$
Finalement on a :
$$\ker \varphi \cap \mathrm{im} \, \varphi = 0_{\mathcal{E}}$$
$$\,\,\,\, \blacktriangledown \blacktriangledown \,\, \bf{Deuxième \,\, étape : \,\, } \bf{\ker \varphi + \mathrm{im} \, \varphi = \mathcal{E}}$$
Soit $$f$$ un élément quelconque de $$\mathcal{E}$$ et $$b$$ un réel, donc $$b \in \ker \varphi$$. Dans ce cas, on a :
$$\int_{0}^{2\pi} \left(f(t) - b \right) \, dt = \int_{0}^{2\pi} f(t) \, dt - 2 \pi b$$
Donc, $$\left(f(t) - b \right) \in \mathrm{im} \, \varphi$$ si on a :
$$\left(f(t) - b \right) \in \mathrm{im} \, \varphi \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \int_{0}^{2\pi} f(t) \, dt - 2 \pi b = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, b = \dfrac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} f(t) \, dt$$
Soit encore :
$$\left(f(t) - b \right) \in \mathrm{im} \, \varphi \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, b = \bar{f}_{[0\,;\,2\pi]}$$
Donc, on peut toujours écrire que :
$$f = \bar{f}_{[0\,;\,2\pi]} + (f - \bar{f}_{[0\,;\,2\pi]}) \,\,\,\, \mathrm{avec \,:} \left\lbrace \begin{array}{rcl} \bar{f}_{[0\,;\,2\pi]} & \in & \ker \varphi \\ f - \bar{f}_{[0\,;\,2\pi]} & \in & \mathrm{im} \, \varphi \end{array} \right.$$
Ainsi on a :
$$\mathcal{E} = \ker \varphi + \mathrm{im} \, \varphi$$
$$\rightrightarrows \,\, \bf{Conclusion : }$$
Les deux sous-espaces vectoriels, $$\ker \varphi$$ et $$\mathrm{im} \, \varphi$$, sont supplémentaire l'un de l'autre sur $$\mathcal{E}$$ :