Exercice 10 : Démontrer que l'intégrale, dite de $$\textit{Dirichlet}$$, $$\mathcal{D} = \int_{0}^{\infty} \dfrac{\sin x}{x} dx$$ est convergente - Exercice 1

L'intégrale de $$\textit{Dirichlet}$$ $$\mathcal{D}$$ va être écrite suivant la décomposition suivante :
$$\mathcal{D} = \int_{0}^{\infty} \dfrac{\sin x}{x} dx = \int_{0}^{1} \dfrac{\sin x}{x} dx + \int_{1}^{\infty} \dfrac{\sin x}{x} dx$$
Or, on sait que :
$$\lim_{x \longrightarrow 0^+} \dfrac{\sin x}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0^+} \dfrac{x + x \varepsilon(x)}{x} = 1 \,\,\, (\mathrm{car \, :}\, \lim _{x \longrightarrow 0^+} \varepsilon(x) = 0)$$
et que la fonction $$x \longmapsto \dfrac{\sin x}{x}$$ est, en la prolongeant par continuité par la valeur image $$1$$ à l'origine, continue donc localement intégrable.
Donc l'intégrale $$\displaystyle{\int_{0}^{1} \dfrac{\sin x}{x} dx}$$ converge. Puis, on a :
$$\int_{1}^{\infty} \dfrac{\sin x}{x} dx = \lim_{B \longrightarrow + \infty} \int_{1}^{B} \dfrac{\sin x}{x} dx = \lim_{B \longrightarrow + \infty} \left( \left[ - \dfrac{\cos x}{x}\right]_{1}^{B} - \int_{1}^{B} \dfrac{\cos x}{x^2} dx \right)$$
Soit :
$$\int_{1}^{\infty} \dfrac{\sin x}{x} dx = \lim_{B \longrightarrow + \infty} \left( \cos 1 - \dfrac{\cos B}{B} - \int_{1}^{B} \dfrac{\cos x}{x^2} dx \right)$$
D'où :
$$\int_{1}^{\infty} \dfrac{\sin x}{x} dx = \cos 1 - \lim_{B \longrightarrow + \infty} \dfrac{\cos B}{B} - \lim_{B \longrightarrow + \infty} \int_{1}^{B} \dfrac{\cos x}{x^2} dx$$
Donc :
$$\int_{1}^{\infty} \dfrac{\sin x}{x} dx = \cos 1 - \lim_{B \longrightarrow + \infty} \dfrac{\cos B}{B} - \int_{1}^{+\infty} \dfrac{\cos x}{x^2} dx$$
Or, on a :
$$\lim_{B \longrightarrow + \infty} \dfrac{-1}{B} \leqslant \lim_{B \longrightarrow + \infty} \dfrac{\cos B}{B} \leqslant \lim_{B \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{B}$$
Mais :
$$\lim_{B \longrightarrow + \infty} \dfrac{-1}{B} = \lim_{B \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{B} = 0 \,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\, \lim_{B \longrightarrow + \infty} \dfrac{\cos B}{B} = 0$$
Ainsi, on peut écrire que :
$$\int_{1}^{\infty} \dfrac{\sin x}{x} dx = \cos 1 - \int_{1}^{+\infty} \dfrac{\cos x}{x^2} dx$$
Or, lors de l'exercice précédent nous avons démontré que, l'intégrale $$\displaystyle{\int_{1}^{\infty} \dfrac{\cos x}{x^2} \, dx}$$ converge. Ainsi, l'intégrale de $$\textit{Dirichlet}$$ $$\mathcal{D}$$ est convergente.

Démontrons maintenant que l'intégrale de $$\textit{Dirichlet}$$ est semi-convergente.
Pour $$x$$ strictement positif, on peut écrire que :
$$\int_{0}^{\infty} \left| \dfrac{\sin x}{x} \right| dx = \int_{0}^{\infty} \dfrac{| \sin x |}{x} dx$$
En utilisant la relation de Chasles intégrale, on obtient :
$$\int_{0}^{\infty} \left| \dfrac{\sin x}{x} \right| dx = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( \int_{0}^{\pi} \dfrac{| \sin x |}{x} dx + \int_{\pi}^{2\pi} \dfrac{| \sin x |}{x} dx + ... + \int_{(n-1) \pi}^{n\pi} \dfrac{| \sin x |}{x} dx \right)$$
Soit sous forme plus compacte :
$$\int_{0}^{\infty} \left| \dfrac{\sin x}{x} \right| dx = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k\pi}^{(k+1) \pi} \dfrac{| \sin x |}{x} dx \,\,\,\, k \in \mathbb{R}$$
Or, sur chaque sur chaque intervalles $$[k\pi \,;\,(k+1) \pi]$$, on a la relation de minoration du terme $$\dfrac{| \sin x |}{x}$$ suivante :
$$\forall x \in [k\pi \,;\,(k+1) \pi], \,\,\, \dfrac{| \sin x |}{x} \geqslant \dfrac{| \sin x |}{(k+1) \pi}$$
Ceci va nous permettre d'envisager l'emploi d'un critère de comparaison. En effet illustrons cette inégalité graphiquement.

On a par exemple, pour $$k=0$$ donc sur l'intervalle $$[0 \,;\, \pi]$$, la minoration de $$\dfrac{| \sin x |}{x}$$ par $$\dfrac{| \sin x |}{\pi}$$ (voir le figure ci après) :

Et de même pour $$k=1$$, donc sur l'intervalle $$[\pi \,;\, 2\pi]$$, on a la minoration de $$\dfrac{| \sin x |}{x}$$ par $$\dfrac{| \sin x |}{2\pi}$$ :

Dès lors, par intégration sur $$[k\pi \,;\,(k+1) \pi]$$, on peut écrire que :
$$\forall x \in [k\pi \,;\,(k+1) \pi], \,\,\, \int_{k\pi}^{(k+1) \pi} \dfrac{| \sin x |}{x} \, dx \geqslant \int_{k\pi}^{(k+1) \pi} \dfrac{| \sin x |}{(k+1) \pi} \, dx$$
Soit encore :
$$\forall x \in [k\pi \,;\,(k+1) \pi], \,\,\, \int_{k\pi}^{(k+1) \pi} \dfrac{| \sin x |}{x} \, dx \geqslant \dfrac{1}{(k+1) \pi} \int_{k\pi}^{(k+1) \pi} | \sin x | \, dx$$
Or, avec la présence de la valeur absolue :
$$\int_{k\pi}^{(k+1) \pi} | \sin x | \, dx = \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx = [- \cos x]_{0}^{\pi} = \cos 0 -\cos \pi = 1 - (-1) = 2$$
Donc, on obtient :
$$\forall x \in [k\pi \,;\,(k+1) \pi], \,\,\, \int_{k\pi}^{(k+1) \pi} \dfrac{| \sin x |}{x} \, dx \geqslant \dfrac{2}{(k+1) \pi}$$
Ce qui nous conduit à pouvoir écrire la sommation suivante :
$$\sum_{k=0}^{n-1} \int_{k\pi}^{(k+1) \pi} \dfrac{| \sin x |}{x} dx \geqslant \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{2}{(k+1) \pi} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k\pi}^{(k+1) \pi} \dfrac{| \sin x |}{x} dx \geqslant \dfrac{2}{\pi} \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{k+1}$$
En remarquant que
$$\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{k+1} = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}$$
on trouve que :
$$\sum_{k=0}^{n-1} \int_{k\pi}^{(k+1) \pi} \dfrac{| \sin x |}{x} dx \geqslant \dfrac{2}{\pi} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}$$
Passons maintenant à la limite lorsque $$n \longrightarrow +\infty$$, on trouve alors :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k\pi}^{(k+1) \pi} \dfrac{| \sin x |}{x} dx \geqslant \dfrac{2}{\pi} \lim_{n \longrightarrow + \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}$$
Il suffit alors de remarquer que la somme minorante $$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}}$$ qui apparaît est la $$\textbf{série harmonique}$$ qui $$\textbf{diverge}$$.
Donc, en vertu du critère de comparaison, le terme $$\displaystyle{\lim_{n \longrightarrow + \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k\pi}^{(k+1) \pi} \dfrac{| \sin x |}{x} dx }$$ diverge lui aussi de ce fait.
Or, ce terme divergent n'est autre que l'intégrale $$\displaystyle{\int_{0}^{\infty} \left| \dfrac{\sin x}{x} \right| dx}$$.
Ainsi, $$\textbf{l'intégrale de Dirichlet n'est pas absolument convergente, elle est non intégrable}$$ sur $$[0\,;\,+ \infty[$$.
$${\color{red}{\looparrowright \,\textbf{En conclusion : }}}$$
Nous venons de démontrer que l'intégrale de $$\textit{Dirichlet}$$ converge, mais que l'intégrale $$\displaystyle{\int_{0}^{\infty} \left| \dfrac{\sin x}{x} \right| dx}$$ diverge. Finalement l'intégrale de $$\textit{Dirichlet}$$ est semi-convergente.