Exercice 6 : Etudier la convergence de l'intégrale $\mathcal{I} =\int_{1}^{\infty} \dfrac{x}{3x^4 + 5x^2 + 1} \, dx$ . - Exercice 1

15 min

Et on continue l'entrainement.

Question 1

Soit $x$ un nombre réel tel que $x \geqslant 1$ .
Etudier la convergence de l'intégrale $\mathcal{I} =\int_{1}^{\infty} \dfrac{x}{3x^4 + 5x^2 + 1} \, dx$ .

Correction

x \geqslant 1

alors

3x^4 + 5x^2 + 1 \geqslant x^4

, donc

\dfrac{1}{3x^4 + 5x^2 + 1} \leqslant \dfrac{1}{x^4}

. De ce fait, on a pour

x\geqslant 1

\dfrac{x}{3x^4 + 5x^2 + 1} \leqslant \dfrac{x}{x^4} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \dfrac{x}{3x^4 + 5x^2 + 1} \leqslant \dfrac{1}{x^3}

En intégrant :

\int_{1}^{\infty} \dfrac{x}{3x^4 + 5x^2 + 1} dx \leqslant \int_{1}^{\infty} \dfrac{1}{x^3} dx \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \mathcal{I} \leqslant \int_{1}^{\infty} \dfrac{1}{x^3} dx

Or, l'intégrale majorante converge

(\textit{Riemann de puissance }

)

. D'après le critère de comparaison, l'intégrale

\mathcal{I}

converge également.

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