Exercice 9 : Démontrer que l'intégrale $$\mathcal{L} = \int_{1}^{\infty} \dfrac{\cos x}{x^2} dx$$ est absolument convergente - Exercice 1

On a :
$$\forall x \geqslant 1, \,\,\,\,\, | \cos x | \leqslant 1 \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left| \dfrac{\cos x}{x^2}\right| \leqslant \dfrac{1}{x^2}$$
Donc, en intégrant :
$$\int_{1}^{\infty} \left| \dfrac{\cos x}{x^2}\right| \, dx \leqslant \int_{1}^{\infty} \dfrac{1}{x^2} \, dx$$
Or l'intégrale majorante $$\displaystyle{\int_{1}^{\infty} \dfrac{1}{x^2} dx}$$ converge (car c'est une intégrale de $$\textit{Riemann}$$ de puissance $$2$$). Donc on peut écrire que :
$$\int_{1}^{\infty} \left| \dfrac{\cos x}{x^2}\right| \, dx \,\,\, \mathrm{converge}\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\, \int_{1}^{\infty} \dfrac{\cos x}{x^2} \, dx \,\,\, \mathrm{converge \,\, absolument}$$
Or, l'absolue convergence implique la convergence. Ainsi, l'intégrale $$\mathcal{L}$$ converge.