Intégration

Soit $$n$$ un nombre entier naturel non nul.
On appelle $$\it{subdivision}$$ $$\sigma$$ de l'intervalle réel $$[a \,;\, b]$$ la donnée d'un nombre fini de points $$x_0 \,;\, \cdots \,;\, x_n$$ tel que $$x_0 = a$$, $$x_n = b$$ et $$x_0 < x_1 < \cdots < x_{n-1} < x_n$$.
On note par $$\mathcal{S}$$ l'ensemble de toutes des subdivisions de l'intervalle réel $$[a \,;\, b]$$.
Le $$\it{pas}$$ d'une subdivision $$\left( x_i\right)_{i \in [\![0 \,; \, n]\!]}$$ est le nombre réel $$p = \underset{i \in [\![0 \,; \, n-1]\!}{\max} \big( x_{i+1} - x_{i} \big)$$.

Un fonction numérique univariée $$f$$, définie sur l'intervalle réel $$[a \,;\, b]$$, est une $$\it{fonction \,\, en \,\, escalier}$$ s'il existe $$\sigma \in \mathcal{S}$$ telle que $$f$$ soit constante, et égale à $$\ell_i$$, sur chaque intervalle ouvert $$] x_i \,;\, x_{i+1}[$$.

On appelle $$\it{intégrale}$$ de la fonction en escalier $$f$$, le nombre :
$$I(f) = \sum_{i = 0}^{n-1} \ell_i \big( x_{i+1} - x_{i} \big)$$
Ce nombre est également noté :
$$I(f) = \int_a^b f(t) \, dt = \int_a^b f$$
$${\color{green}{\bf{\looparrowright \,\, Remarques :}}}$$
$${\color{green}{Le \,\, nombre \,\, I(f) \,\, est \,\, en \,\, fait \,\, une \,\, aire \,\, de \,\, rectangles. \,\, On \,\, l'exprime \,\, en \,\, unité \,\, d'aire\,\, (u.a.).}}$$
$${\color{green}{Le \,\, nombre \,\, I(f) \,\, ne \,\, dépend \,\, pas \,\, de \,\, la \,\, valeur \,\, de \,\, f \,\, aux \,\, points \,\, x_i \,\, de \,\, la \,\, subdivision.}}$$

Une fonction $$f$$, définie sur l'intervalle $$[a\,;\,b]$$, est une $$fonction \,\, continue \,\, par \,\, morceaux$$ sur $$[a\,;\,b]$$ s'il existe $$\sigma \in \mathcal{S}$$ telle que $$f$$ soit continue sur chaque intervalle ouvert $$] x_i \,;\, x_{i+1}[$$ et que $$f$$ admette, en tout point de la subdivision, une limite finie à gauche et une limite finie à droite.

Soit $$f$$ une fonction continue par morceaux sur l'intervalle $$[a\,;\,b]$$.
Pour tout nombre réel $$\varepsilon$$ strictement positif, il existe les deux fonctions $$\varphi$$ et $$\psi$$ en escalier sur $$[a\,;\,b]$$ telles que :
$$\varphi \leqslant f \leqslant \psi \,\,\,\,\, \mathrm{et} \,\,\,\,\, \psi - \varphi \leqslant \varepsilon$$

Soit $$f$$ une fonction continue par morceaux sur l'intervalle $$[a\,;\,b]$$.
Il existe un nombre réel unique $$I$$ tel que, pour toutes fonctions en escaliers sur $$[a\,;\,b]$$ $$\varphi$$ et $$\psi$$ vérifiant $$\varphi \leqslant f \leqslant \psi$$, on ait :
$$I(\varphi) \leqslant I \leqslant I(\psi)$$
Ce nombre $$I$$ s'appelle $$l'intégrale$$ de $$f$$ sur $$[a\,;\,b]$$, et se note $$I(f)$$, ou $$\int_a^b f(x) \, dx$$, ou $$\int_a^b f$$, ou $$\int_{[a\,;\,b]} f$$. Ce nombre dépend donc de $$f$$, de $$a$$, de $$b$$ mais pas de la variable d'intégration, notée ici $$x$$. Cette variable d'intégration est dite $$muette$$ ce qui signifie que l'on peut la noter par toute lettre non retenue pour un autre usage.
Pour $$a<b$$, on pose :
$$\int_a^b f(x) \, dx = - \int_b^a f(x) \, dx$$
Puis pour $$c \in [a\,;\,b]$$ on a :
$$\int_c^c f(x) \, dx = 0$$

Le nombre réel $$\int_a^b f(x) \, dx$$ représente l'aire $$\mathcal{A}$$ du domaine du plan situé sour la courbe représentative de $$f$$ et entre les abscisses $$a$$ et $$b$$ :
Ce nombre est compté positivement si la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses et ce nombre est compté négativement si la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses :
Le nombre réel $$\int_a^b f(x) \, dx$$ représente l'aire $$\mathcal{A}$$ du domaine du plan situé sour la courbe représentative de $$f$$ et entre les abscisses $$a$$ et $$b$$. En fait, ce nombre représente la somme des aires infinitésimales (infiniment petites), notée $$d\mathcal{A}$$, de rectangles infinitésimaux dont, à l'abscisse $$x$$, la hauteur est donnée par $$f(x)$$ et la largeur infinitésimale est donnée par $$dx$$. On a alors :
$$\mathcal{A} = \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b d\mathcal{A} \hspace{1cm} avec : d\mathcal{A} = f(x) \, dx$$
Ceci est représentée sur la figure suivante :

$${\color{blue}{\,\,\,\,\,\,\bf{\bullet \,\, Linéarité}}}$$
Soit $$k$$ un nombre réel. On a :
$$\int_a^b \big( f(x) + g(x) \big) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx$$
Et aussi :
$$\int_a^b \big( k \times f(x) \big) \, dx = k \times \int_a^b f(x) \, dx$$
$${\color{blue}{\,\,\,\,\,\,\bf{\bullet \,\, Relation \,\, de \,\, Chasles}}}$$
On a la relation suivante :
$$\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx$$
$${\color{blue}{\,\,\,\,\,\,\bf{\bullet \,\, Relation \,\, d'ordre}}}$$
$${\color{black}{\,\,\,\,\,\,\bf{- \,\, Ordre \,\, fonctionnel}}}$$
Si $$a < b$$, et si $$f \leqslant g$$ sur l'intervalle $$[a\,;\,b]$$, alors on a :
$$\int_a^b f(x) \, dx \leqslant \int_a^b g(x) \, dx$$
$${\color{black}{\,\,\,\,\,\,\bf{- \,\, Nullité}}}$$
Si $$f$$ est une fonction numérique réelle, continue et $$\bf{positive}$$ sur l'intervalle $$[a\,;\,b]$$, alors on a l'équivalence suivante :
$$\int_a^b f(x) \, dx = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \forall x \in [a\,;\,b], \,\, f(x) = 0$$

$${\color{blue}{\,\,\,\,\,\,\bf{\bullet \,\, Majoration}}}$$
$${\color{black}{\,\,\,\,\,\,\bf{- \,\, Valeur \,\, absolue}}}$$
Si $$a < b$$ alors on a :
$$\left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \leqslant \int_a^b \left| f(x) \right| \, dx$$
$${\color{black}{\,\,\,\,\,\,\bf{- \,\, Valeur \,\, moyenne}}}$$
Soit $$f$$ une fonction numérique continue sur l'intervalle $$[a\,;\,b]$$.
Le nombre $$\mu = \dfrac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx$$ représente la valeur moyenne de la fonction $$f$$ sur l'intervalle $$[a\,;\,b]$$.
Soit $$m$$ et $$M$$ deux nombres réels tels que $$m \leqslant M$$.
Si, pour tout nombre réel $$x$$ de l'intervalle $$[a\,;\,b]$$ on a $$m \leqslant f(x) \leqslant M$$, alors on a :
$$m \leqslant \dfrac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx \leqslant M$$
Ceci s'illustre par :
$${\color{black}{\,\,\,\,\,\,\bf{- \,\, Inégalité \,\, de \,\, la \,\, valeur \,\, moyenne}}}$$
Si $$a < b$$ alors on a :
$$\left| \int_a^b \big( f(x) \times g(x) \big) \, dx \right| \leqslant \underset{x \in [a\,;\,b]}{\sup}\left| f(x) \right| \times \int_a^b \left| g(x) \right| \, dx$$
Et en particulier si $$g = 1$$ :
$$\left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \leqslant \underset{x \in [a\,;\,b]}{\sup}\left| f(x) \right| \times (b-a)$$
$${\color{black}{\,\,\,\,\,\,\bf{- \,\, Inégalité \,\, de \,\, Cauchy-Schwarz}}}$$
L'application $$(f,g) \longmapsto \int_a^b \big( f(x) \times g(x) \big) \, dx$$ définit un produit scalaire sur l'espace vectoriel des fonctions réelles continues sur l'intervalle $$[a\,;\,b]$$.
L'inégalité de $$Cauchy-Schwarz$$ est la suivante :
$$\left| \int_a^b \big( f(x) \times g(x) \big) \, dx \right| \leqslant \sqrt{ \int_a^b f^2(x) \, dx \times \int_a^b g^2(x) \, dx}$$
$${\color{black}{\,\,\,\,\,\,\bf{- \,\, Inégalité \,\, de \,\, Minkowski}}}$$
On considère les deux fonctions réelles continues sur l'intervalle $$[a\,;\,b]$$.
On a l'inégalité suivante :
$$\sqrt{\int_a^b \big( f(x) + g(x) \big)^2 \, dx} \leqslant \sqrt{\int_a^b f^2(x) \, dx} + \sqrt{\int_a^b g^2(x) \, dx}$$
$${\color{black}{\,\,\,\,\,\,\bf{- \,\, Somme \,\, de \,\, Riemann}}}$$
Soit $$n$$ un nombre entier naturel non nul. On a l'égalité suivante :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( \dfrac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n-1} f\left( a + i \times \dfrac{b-a}{n} \right) \right) = \dfrac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx$$
Plus généralement, si $$\big( x_0 \,;\, \cdots \,;\, x_n \big)$$ est une subdivision de l'intervalle $$[a\,;\,b]$$ dont le pas tend vers zéro lorsque $$n$$ tend vers l'infini, et $$c_i$$ un point quelconque de l'intervalle $$[x_i\,;\,x_{i+1}]$$, on a alors l'égalité suivante :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \sum_{i = 1}^{n-1} \big( x_{i+1} - x_{i} \big) f\left( c_i \right) = \int_a^b f(x) \, dx$$

Soit $$i$$ le nombre complexe qui satisfait à $$i^2 = -1$$.
Soit $$t \longmapsto \varphi(t) = f(t) + i g(t)$$ une fonction de $$\mathbb{R}$$ dans $$\mathbb{C}$$, définie sur l'intervalle $$[a\,;\,b]$$.
Si les deux fonctions $$f$$ et $$g$$ sont continues par morceaux sur l'intervalle $$[a\,;\,b]$$ alors la fonction $$\varphi$$ l'est également.
L'intégrale de $$\varphi$$ sur l'intervalle $$[a\,;\,b]$$ est donnée par :
$$\int_a^b \varphi(t) \, dt= \int_a^b f(t) \, dt + i \int_a^b g(t) \, dt$$
Toutes les propriétés de l'intégrale d'une fonction numérique continue par morceaux, à valeurs réelles, qui ont encore un sens, sont prolongées. Donc on conserve la linéarité, la relation de Chasles et la majoration du module de l'intégrale qui s'exprime comme :
$$\left| \int_a^b \varphi(t) \, dt \right| \leqslant \int_a^b \left| \varphi(t) \right| \, dt$$
Mais $${\color{red}{\bf{attention}}}$$, n'oubliez pas que la relation d'ordre n'a pas de sens dans $$\mathbb{C}$$ ! Ceci fait qu'il n'y a strictement aucun sens, dans $$\mathbb{C}$$, d'écrire $$\varphi > 0$$ ou $$\varphi_1 > \varphi_2$$.

Le calcul de l'intégrale $$I = \int_a^b f(x) \, dx$$ est souvent très difficile, sinon impossible même. On peut cependant obtenir des valeurs approchées de $$I$$ par diverses méthodes. Nous en présentons, ici, deux particulièrement simples.
$${\color{blue}{\,\,\,\,\,\,\bf{\bullet \,\, Méthode \,\, des \,\, rectangles}}}$$
Cette méthode consiste à approcher $$f$$ par une fonction en escalier (d'où l'apparition de rectangles).
On partage l'intervalle d'intégration $$[a\,;\,b]$$ en $$n \in \mathbb{N}^\star$$ segments de même longueur, notée $$h$$, et qui s'exprime comme :
$$h = \dfrac{b-a}{n}$$
On obtient la valeur approchée, notée $$\mathcal{R}_n$$, de $$I$$ suivante :
$$\mathcal{R}_n = h \sum_{k=0}^{n-1} f(a + kh)$$
Lorsque la fonction $$f$$ possède une fonction dérivée $$f'$$ bornée sur l'intervalle d'intégration $$[a\,;\,b]$$, on majore l'erreur commise, en approchant $$I$$ par $$\mathcal{R}_n$$, par la relation suivante :
$$\big| I - \mathcal{R}_n \big| \leqslant \underset{x \in [a\,;\,b]}{\sup}\left| f'(x) \right| \times\dfrac{(b-a)^2}{2n}$$
Ou encore :
$$\big| I - \mathcal{R}_n \big| \leqslant \underset{x \in [a\,;\,b]}{\sup}\left| f'(x) \right| \times\dfrac{nh^2}{2}$$
Cette majoration permet, en autre, de déterminer le nombre $$n$$ qui permet de satisfaire à un choix de précision souhaité au préalable.
Si $$f$$ est croissante sur l'intervalle d'intégration $$[a\,;\,b]$$ alors l'approximation $$\mathcal{R}_n$$ est une valeur approchée par défaut.
Si $$f$$ est décroissante sur l'intervalle d'intégration $$[a\,;\,b]$$ alors l'approximation $$\mathcal{R}_n$$ est une valeur approchée par excès.
Cette méthode des rectangles se représente par le découpage suivant $$(n=8)$$ :
$${\color{blue}{\,\,\,\,\,\,\bf{\bullet \,\, Méthode \,\, des \,\, trapèzes}}}$$
Cette méthode consiste à approcher le graphique de $$f$$ par une ligne polygonale (d'où l'apparition de trapèzes).
On partage l'intervalle d'intégration $$[a\,;\,b]$$ en $$n \in \mathbb{N}^\star$$ segments de même longueur, notée $$h$$, et qui s'exprime comme :
$$h = \dfrac{b-a}{n}$$
On obtient la valeur approchée, notée $$\mathcal{T}_n$$, de $$I$$ suivante :
$$\mathcal{T}_n = h \left( \dfrac{f(a) + f(b)}{2} + \sum_{k=1}^{n-1} f(a + kh) \right)$$
Lorsque la fonction $$f$$ possède une fonction dérivée seconde $$f''$$ bornée sur l'intervalle d'intégration $$[a\,;\,b]$$, on majore l'erreur commise, en approchant $$I$$ par $$\mathcal{T}_n$$, par la relation suivante :
$$\big| I - \mathcal{T}_n \big| \leqslant \underset{x \in [a\,;\,b]}{\sup}\left| f''(x) \right| \times\dfrac{(b-a)^3}{12n^2}$$
Ou encore :
$$\big| I - \mathcal{T}_n \big| \leqslant \underset{x \in [a\,;\,b]}{\sup}\left| f''(x) \right| \times\dfrac{nh^3}{12}$$
Cette majoration permet, en autre, de déterminer le nombre $$n$$ qui permet de satisfaire à un choix de précision souhaité au préalable.
Si $$f$$ est convexe sur l'intervalle d'intégration $$[a\,;\,b]$$ alors $$\mathcal{T}_n \geqslant I$$ (l'approximation $$\mathcal{T}_n$$, de $$I$$, est par excès). Si la dérivée seconde $$f''$$ existe sur l'intervalle d'intégration $$[a\,;\,b]$$, alors $$f$$ est convexe lorsque $$f''(x) \leqslant 0$$.
Si $$f$$ est concave sur l'intervalle d'intégration $$[a\,;\,b]$$ alors $$\mathcal{T}_n \leqslant I$$ (l'approximation $$\mathcal{T}_n$$, de $$I$$, est par défaut). Si la dérivée seconde $$f''$$ existe sur l'intervalle d'intégration $$[a\,;\,b]$$, alors $$f$$ est concave lorsque $$f''(x) \geqslant 0$$.
Cette méthode des trapèzes se représente par le découpage suivant $$(n=8)$$ :
$${\color{blue}{\,\,\,\,\,\,\bf{\bullet \,\, Méthode \,\, de \,\, Thomas \,\, Simpson \,\, (1710-1761)}}}$$
Cette méthode consiste à approcher la courbe représentative de $$f$$ par une succession d'arcs de paraboles d'équations $$\mathcal{P}(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma$$. A chaque fois, donc sur chaque segment de découpage, les trois coefficients réels $$\alpha$$, $$\beta$$ et $$\gamma$$ se déterminent par les trois conditions :
$$\left\lbrace \begin{array}{lcl} f(début \,\, du \,\, segment) & = & \mathcal{P}(début \,\, du \,\, segment) \\ f(milieu \,\, du \,\, segment) & = & \mathcal{P}(milieu \,\, du \,\, segment) \\ f(fin \,\, du \,\, segment) & = & \mathcal{P}(fin \,\, du \,\, segment) \\ \end{array} \right.$$
Dans cette méthode de $$Simpson$$, on partage l'intervalle d'intégration $$[a\,;\,b]$$ en $$2n$$ $$\left(n \in \mathbb{N}^\star \right)$$ segments de même longueur, notée $$h$$, et qui s'exprime comme :
$$h = \dfrac{b-a}{2n}$$
On obtient la valeur approchée, notée $$\mathcal{S}_{2n}$$, de $$I$$ suivante :
$$\mathcal{S}_{2n} = \dfrac{h}{3} \left( f(a) + f(b) + 4 \sum_{k=0}^{n-1} f\big(a + (2k+1)h \big) + 2 \sum_{k=1}^{n-1} f\big(a + (2k)h \big) \right)$$
Lorsque la fonction $$f$$ possède une fonction dérivée quatrième $$f''''$$ bornée sur l'intervalle d'intégration $$[a\,;\,b]$$, on majore l'erreur commise, en approchant $$I$$ par $$\mathcal{S}_{2n}$$, par la relation suivante :
$$\big| I - \mathcal{S}_{2n} \big| \leqslant \underset{x \in [a\,;\,b]}{\sup}\left| f''''(x) \right| \times\dfrac{(b-a)^5}{180(2n)^4}$$
Ou encore :
$$\big| I - \mathcal{S}_{2n} \big| \leqslant \underset{x \in [a\,;\,b]}{\sup}\left| f''''(x) \right| \times\dfrac{(2n)h^5}{180}$$
Cette majoration permet, en autre, de déterminer le nombre $$n$$ qui permet de satisfaire à un choix de précision souhaité au préalable.
Cette méthode de $$Simpson$$ se représente par le découpage qui est explicité sur la figure suivante avec la situation $$2n=4$$. On a donc $$4$$ segments de découpage de l'intervalle $$[a=x_0 \,;\, b=x_8]$$ qui sont $$[x_0 \,;\, x_2]$$, $$[x_2 \,;\, x_4]$$, $$[x_4 \,;\, x_6]$$ et $$[x_6 \,;\, x_8]$$, et dont les milieux respectifs sont $$x_1 = \dfrac{x_0 + x_2}{2}$$, $$x_3 = \dfrac{x_2 + x_4}{2}$$, $$x_5 = \dfrac{x_4 + x_6}{2}$$ et $$x_7 = \dfrac{x_6 + x_8}{2}$$. D'où :