Je vérifie mes acquis. - Exercice 1

les deux fonctions $$f$$ et $$g$$ sont continues et positives sur l'intervalle $$[0 \,;\, 1]$$, et vérifient :
$$\forall x \in [0 \,;\, 1], \,\, f(x) g(x) \geqslant 1$$
Donc :
$$\forall x \in [0 \,;\, 1], \,\, \sqrt{f(x) g(x)} \geqslant 1$$
Ainsi, par intégration, on a :
$$\int_0^1 \sqrt{f(x) g(x)} \, dx \geqslant \int_0^1 1 \, dx$$
Avec :
$$\int_0^1 1 \, dx = [x]_0^1 = 1 - 0 = 1$$
Donc :
$$\int_0^1 \sqrt{f(x) g(x)} \, dx \geqslant 1$$
Soit :
$$\int_0^1 \sqrt{f(x)} \sqrt{g(x)} \, dx \geqslant 1$$
Appliquons maintenant l'inégalité de $$Cauchy-Schwarz$$ aux deux fonctions $$x \longrightarrow \sqrt{f(x)}$$ et $$x \longrightarrow \sqrt{g(x)}$$. On a alors :
$$\sqrt{\int_0^1 \sqrt{f(x)}^2 \, dx \times \int_0^1 \sqrt{g(x)}^2 \, dx} \geqslant \left| \int_0^1 \sqrt{f(x)} \sqrt{g(x)}\, dx \right|$$
Les deux fonctions $$f$$ et $$g$$ sont continues et positives sur l'intervalle $$[0 \,;\, 1]$$, il en va de même pour les deux fonctions $$x \longrightarrow \sqrt{f(x)}$$ et $$x \longrightarrow \sqrt{g(x)}$$. Donc on a :
$$\sqrt{\int_0^1 f(x) \, dx \times \int_0^1 g(x) \, dx} \geqslant \int_0^1 \sqrt{f(x)} \sqrt{g(x)}\, dx$$
Comme $$\int_0^1 \sqrt{f(x)} \sqrt{g(x)} \, dx \geqslant 1$$, cela implique que :
$$\sqrt{\int_0^1 f(x) \, dx \times \int_0^1 g(x) \, dx} \geqslant \int_0^1 \sqrt{f(x)} \sqrt{g(x)}\, dx \geqslant 1$$
Donc :
$$\sqrt{\int_0^1 f(x) \, dx \times \int_0^1 g(x) \, dx} \geqslant 1$$
La fonction carré conserve l'ordre sur $$\mathbb{R}^+$$, ainsi, on en déduit que :
$$\sqrt{\int_0^1 f(x) \, dx \times \int_0^1 g(x) \, dx}^2 \geqslant 1^2$$
Soit encore :
$$\int_0^1 f(x) \, dx \times \int_0^1 g(x) \, dx \geqslant 1$$
Finalement, on en déduit bien l'inégalité demandée, à savoir :
$$\left( \int_0^1 f(x) \, dx \right) \times \left( \int_0^1 g(x) \, dx \right) \geqslant 1$$