Limite de suite et intégrale - Exercice 1

On a :
$$u_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{n}{n^2 + k^2} = n \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n^2 + k^2} = \dfrac{n}{n^2} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{1 + \dfrac{k^2}{n^2}} = \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{1 + \left(\dfrac{k}{n}\right)^2}$$
Posons $$f : x \longmapsto \dfrac{1}{1 + x^2}$$. Donc $$f(0) = 1$$ et $$f(1) = \dfrac{1}{2}$$. Donc :
$$u_n = \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\dfrac{k}{n}\right)$$
Ce qui s'écrit aussi :
$$u_n = \dfrac{1}{n} \left( -f(0) + \sum_{k=0}^n f\left(\dfrac{k}{n}\right) \right) = \dfrac{1}{n} \left( -1 + \sum_{k=0}^n f\left(\dfrac{k}{n}\right) \right) = \dfrac{1}{n} \left( f(1) - 1 + \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\dfrac{k}{n}\right) \right)$$
Ce qui nous donne :
$$u_n = \dfrac{1}{n} \left( \dfrac{1}{2} - 1 + \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\dfrac{k}{n}\right) \right) = \dfrac{1}{n} \left( -\dfrac{1}{2} + \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\dfrac{k}{n}\right) \right)$$
Soit encore :
$$u_n = -\dfrac{1}{2n} + \dfrac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(k\dfrac{1}{n}\right) = -\dfrac{1}{2n} + \dfrac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(0 + k\dfrac{1-0}{n}\right)$$
Par passage à la limite, lorsque $$n \longrightarrow 0$$, on a :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} u_n = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( -\dfrac{1}{2n} + \dfrac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(0 + k\dfrac{1-0}{n}\right) \right) = -\dfrac{1}{2} \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{n} + \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( \dfrac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(0 + k\dfrac{1-0}{n}\right) \right)$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} u_n = -\dfrac{1}{2} \times 0 + \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( \dfrac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(0 + k\dfrac{1-0}{n}\right) \right) = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( \dfrac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(0 + k\dfrac{1-0}{n}\right) \right)$$
En faisant maintenant appelle à une somme de $$Riemann$$ on obtient alors :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} u_n = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( \dfrac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(0 + k\dfrac{1-0}{n}\right) \right) = \int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^1 \dfrac{1}{1+x^2} \, dx$$
Ainsi :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} u_n = \left[ \arctan(x) \right]_0^1 = \arctan\left( 1 \right) - \arctan\left( 0 \right) = \arctan\left( \tan \left( \dfrac{\pi}{4} \right) \right) - \arctan\left( \tan(0) \right) = \dfrac{\pi}{4} - 0$$
Finalement :
$$\ell = \lim_{n \longrightarrow + \infty} u_n = \dfrac{\pi}{4}$$