Limite de suite, intégrale et somme de Riemann - Exercice 1

On a $$u_n = \sum_{k=n}^{2n-1} \dfrac{1}{2k + 1}$$. Afin de débuter la sommation à $$0$$, posons $$k - n = p$$. Ainsi $$k = p + n$$ et $$p$$ va de $$0$$ à $$n-1$$. Donc :
$$u_n = \sum_{k=n}^{2n-1} \dfrac{1}{2k + 1} = \sum_{p=0}^{n-1} \dfrac{1}{2(p+n) + 1} = \sum_{p=0}^{n-1} \dfrac{1}{2p + 2n + 1}$$
Puis on l'encadrement, du terme $$\dfrac{1}{2p + 2n + 1}$$, suivant :
$$\dfrac{1}{2p + 2n + 2} \leqslant \dfrac{1}{2p + 2n + 1} \leqslant \dfrac{1}{2p + 2n}$$
Ce qui s'écrit aussi comme :
$$\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{p + n + 1} \leqslant \dfrac{1}{2p + 2n + 1} \leqslant \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{p + n}$$
On en déduit donc que :
$$\dfrac{1}{2} \sum_{p=0}^{n-1}\dfrac{1}{p + n + 1} \leqslant \sum_{p=0}^{n-1} \dfrac{1}{2p + 2n + 1} \leqslant \dfrac{1}{2} \sum_{p=0}^{n-1} \dfrac{1}{p + n}$$
De plus, pour la somme $$\sum_{p=0}^{n-1}\dfrac{1}{p + n + 1}$$, on peut poser $$k = p+1$$ et $$k$$ va de $$1$$ à $$n$$. Ainsi :
$$\dfrac{1}{2} \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k + n} \leqslant \sum_{p=0}^{n-1} \dfrac{1}{2p + 2n + 1} \leqslant \dfrac{1}{2} \sum_{p=0}^{n-1} \dfrac{1}{p + n}$$
Comme l'indice $$k$$ est un indice muet de sommation, on peut le remplacer par $$p$$, ce qui nous donne :
$$\dfrac{1}{2} \sum_{p=1}^{n}\dfrac{1}{p + n} \leqslant \sum_{p=0}^{n-1} \dfrac{1}{2p + 2n + 1} \leqslant \dfrac{1}{2} \sum_{p=0}^{n-1} \dfrac{1}{p + n}$$
Avec :
$$\sum_{p=0}^{n-1} \dfrac{1}{p + n} = \dfrac{1}{n} \sum_{p=0}^{n-1} \dfrac{1}{1 + \dfrac{p}{n}}$$
On pose alors $$f : x \longrightarrow \dfrac{1}{x}$$. D'où :
$$\sum_{p=0}^{n-1} \dfrac{1}{p + n} = \dfrac{1}{n} \sum_{p=0}^{n-1} \dfrac{1}{1 + \dfrac{p}{n}} = \dfrac{1}{n} \sum_{p=0}^{n-1} f \left(1 + \dfrac{p}{n} \right) = \dfrac{1}{n} \sum_{p=0}^{n-1} f \left(1 + p\dfrac{2-1}{n} \right)$$
Puis :
$$\sum_{p=1}^{n}\dfrac{1}{p + n} = - \dfrac{1}{n} + \sum_{p=0}^{n}\dfrac{1}{p + n} = \dfrac{1}{2n} - \dfrac{1}{n} + \sum_{p=0}^{n-1}\dfrac{1}{p + n} = - \dfrac{1}{2n} + \sum_{p=0}^{n-1}\dfrac{1}{p + n}$$
Ce qui nous permet d'avoir :
$$\sum_{p=1}^{n}\dfrac{1}{p + n} = - \dfrac{1}{2n} + \dfrac{1}{n} \sum_{p=0}^{n-1} f \left(1 + p\dfrac{2-1}{n} \right)$$
On a alors l'encadrement suivant :
$$\dfrac{1}{2} \left( - \dfrac{1}{2n} + \dfrac{1}{n} \sum_{p=0}^{n-1} f \left(1 + p\dfrac{2-1}{n} \right) \right) \leqslant \sum_{p=0}^{n-1} \dfrac{1}{2p + 2n + 1} \leqslant \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{n} \sum_{p=0}^{n-1} f \left(1 + p\dfrac{2-1}{n} \right)$$
Soit :
$$- \dfrac{1}{4n} + \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{n} \sum_{p=0}^{n-1} f \left(1 + p\dfrac{2-1}{n} \right) \leqslant \sum_{p=0}^{n-1} \dfrac{1}{2p + 2n + 1} \leqslant \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{n} \sum_{p=0}^{n-1} f \left(1 + p\dfrac{2-1}{n} \right)$$
Par passage à la limite lorsque $$n \longrightarrow + \infty$$, on obtient :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( - \dfrac{1}{4n} + \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{n} \sum_{p=0}^{n-1} f \left(1 + p\dfrac{2-1}{n} \right) \right) \leqslant \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left(\sum_{p=0}^{n-1} \dfrac{1}{2p + 2n + 1} \right) \leqslant \dfrac{1}{2} \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( \dfrac{1}{n} \sum_{p=0}^{n-1} f \left(1 + p\dfrac{2-1}{n} \right) \right)$$
Comme $$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( - \dfrac{1}{4n} \right) = 0$$ on a donc :
$$\dfrac{1}{2}\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( \dfrac{1}{n} \sum_{p=0}^{n-1} f \left(1 + p\dfrac{2-1}{n} \right) \right) \leqslant \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left(\sum_{p=0}^{n-1} \dfrac{1}{2p + 2n + 1} \right) \leqslant \dfrac{1}{2} \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( \dfrac{1}{n} \sum_{p=0}^{n-1} f \left(1 + p\dfrac{2-1}{n} \right) \right)$$
En faisant appelle à une somme de $$Reimann$$, on a :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( \dfrac{1}{n} \sum_{p=0}^{n-1} f \left(1 + p\dfrac{2-1}{n} \right) \right) = \dfrac{1}{2-1} \int_1^2 f(x) \, dx = \int_1^2 \dfrac{1}{x} \, dx = \left[ \ln(x)\right]_1^2 = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2) - 0$$
Ainsi, on a :
$$\dfrac{1}{2}\ln(2) \leqslant \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left(\sum_{p=0}^{n-1} \dfrac{1}{2p + 2n + 1} \right) \leqslant \dfrac{1}{2}\ln(2)$$
Ce qui nous permet d'affirmer que :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left(\sum_{p=0}^{n-1} \dfrac{1}{2p + 2n + 1} \right) = \dfrac{1}{2}\ln(2)$$
Soit encore :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left(\sum_{k=n}^{2n-1} \dfrac{1}{2k + 1} \right) = \dfrac{1}{2}\ln(2)$$
On peut donc écrire ceci comme :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} u_n = \dfrac{1}{2}\ln(2)$$
Finalement :
$$\ell = \dfrac{1}{2}\ln(2)$$