Une inégalité. - Exercice 1

On a :
$$\int_a^b \dfrac{1}{x} \, dx = \int_a^b 1 \times \dfrac{1}{x} \, dx$$;
Appliquons l'inégalité de $$Cauchy-Schwarz$$. On a alors :
$$\left( \int_a^b 1 \times \dfrac{1}{x} \, dx \right)^2 \leqslant \int_a^b 1^2 \, dx \times \int_a^b \left( \dfrac{1}{x} \right)^2 \, dx$$
Soit :
$$\left( \int_a^b \dfrac{1}{x} \, dx \right)^2 \leqslant \int_a^b 1 \, dx \times \int_a^b \dfrac{1}{x^2} \, dx$$
Donc :
$$\left( \int_a^b \dfrac{1}{x} \, dx \right)^2 \leqslant [x]_a^b \times \left[-\dfrac{1}{x} \right]_a^b$$
Ce qui nous conduit à :
$$\left( \int_a^b \dfrac{1}{x} \, dx \right)^2 \leqslant (b-a) \times \left[\dfrac{1}{x} \right]_b^a$$
Soit encore :
$$\left( \int_a^b \dfrac{1}{x} \, dx \right)^2 \leqslant (b-a) \times \left(\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}\right)$$
En réduisant au même dénominateur, on obtient :
$$\left( \int_a^b \dfrac{1}{x} \, dx \right)^2 \leqslant (b-a) \times \left(\dfrac{b-a}{ab} \right)$$
D'où :
$$\left( \int_a^b \dfrac{1}{x} \, dx \right)^2 \leqslant \dfrac{(b-a)^2}{ab}$$
La fonction racine carré conserve l'ordre sur $$\mathbb{R}^+$$ car elle y est strictement croissante. Ainsi :
$$\sqrt{\left( \int_a^b \dfrac{1}{x} \, dx \right)^2} \leqslant \sqrt{\dfrac{(b-a)^2}{ab} }$$
Comme, par hypothèse, $$a$$ et $$b$$ sont deux nombres réels strictement positifs tels que $$a < b$$, on en déduit que $$\forall x \in [a \,;\, b], \, \dfrac{1}{x} > 0$$ et $$ab >0$$. Finalement, on a :
$$\int_a^b \dfrac{1}{x} \, dx \leqslant \dfrac{b-a}{\sqrt{ab}}$$