Une technique simple - Exercice 1

On a :
$$0 \leqslant x \leqslant 1 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 0 \leqslant x^2 \leqslant 1 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 1 \leqslant 1 + x^2 \leqslant 2$$
La fonction logarithme népérien est croissante sur l'intervalle $$[1\,;\,2]$$, donc elle conserve l'ordre sur cet intervalle. Ainsi :
$$\ln(1) \leqslant \ln\big(1 + x^2\big) \leqslant \ln(2) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 0 \leqslant \ln\big(1 + x^2\big) \leqslant \ln(2)$$
Donc, en multipliant par le terme positif $$x^n$$ (car $$x \in [0 \,;\, 1]$$), on a :
$$0 \leqslant x^n \ln\big(1 + x^2\big) \leqslant x^n\ln(2)$$
Donc, par intégration :
$$\int_0^1 0 \, dx \leqslant \int_0^1 x^n \ln\big(1 + x^2\big) \, dx \leqslant \int_0^1 x^n\ln(2) \, dx$$
D'où :
$$0 \leqslant I_n \leqslant \ln(2) \int_0^1 x^n \, dx$$
Avec :
$$\int_0^1 x^n \, dx = \left[ \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 = \dfrac{1^{n+1}}{n+1} - \dfrac{0^{n+1}}{n+1} = \dfrac{1}{n+1} - \dfrac{0}{n+1} = \dfrac{1}{n+1} - 0 = \dfrac{1}{n+1}$$
Donc, on a :
$$0 \leqslant I_n \leqslant \ln(2) \dfrac{1}{n+1}$$
Or, on a $$\lim_{n \longrightarrow + \infty} 0 = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( \ln(2) \dfrac{1}{n+1} \right) = \ln(2) \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( \dfrac{1}{n+1} \right)= 0$$. D'après le théorème de l'encadrement, on en déduit que :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} I_n = 0$$
Finalement :
$$\ell = 0$$