Exercice 10 - Exercice 1

Prenons la transformée de Laplace de cette équation différentielle. On a alors :
$$TL_p\left[ f''(x) + \omega_0^2 f(x) \right] = TL_p\left[ C_0 \sin(\omega x) \right]$$
Par linéarité, on obtient :
$$TL_p\left[ f''(x) \right] + \omega_0^2 \, TL_p\left[ f(x) \right] = C_0 \, TL_p\left[ \sin(\omega x) \right]$$
Notons $$F(p) = TL_p\left[ f(x) \right]$$. On a alors :
$$p^2 F(p) - p f(0) - f'(0) + \omega_0^2 \, F(p) = C_0 \, \dfrac{\omega}{p^2 + \omega^2}$$
En tenant compte des conditions initiales, on a :
$$p^2 F(p) - p f_0 - v_0 + \omega_0^2 \, F(p) = C_0 \omega \, \dfrac{1}{p^2 + \omega^2}$$
Soit :
$$p^2 F(p) + \omega_0^2 \, F(p) = p f_0 + v_0 + \dfrac{C_0 \omega}{p^2 + \omega^2}$$
En factorisant :
$$\left( p^2 + \omega_0^2 \right) F(p) = \dfrac{(p f_0 + v_0)(p^2 + \omega^2)}{p^2 + \omega^2} + \dfrac{C_0 \omega}{p^2 + \omega^2}$$
Soit :
$$\left( p^2 + \omega_0^2 \right) F(p) = \dfrac{(p f_0 + v_0)(p^2 + \omega^2) + C_0 \omega}{p^2 + \omega^2}$$
Soit encore :
$$F(p) = \dfrac{(p f_0 + v_0)(p^2 + \omega^2) + C_0 \omega}{(p^2 + \omega_0^2) (p^2 + \omega^2)}$$
Ce qui va également s'écrire comme :
$$F(p) = \dfrac{(p f_0 + v_0)(p^2 + \omega^2)}{(p^2 + \omega_0^2) (p^2 + \omega^2)} + \dfrac{C_0 \omega}{(p^2 + \omega_0^2) (p^2 + \omega^2)}$$
En développant le numérateur du premier terme du second membre, on obtient :
$$F(p) = \dfrac{f_0 \, p^3 + v_0 \, p^2 + f_0 \omega^2 \, p + v_0 \omega^2}{(p^2 + \omega_0^2) (p^2 + \omega^2)} + \dfrac{C_0 \omega}{(p^2 + \omega_0^2) (p^2 + \omega^2)}$$
Nous allons écrire cela comme :
$$F(p) = \dfrac{f_0 \, p^3 }{(p^2 + \omega_0^2) (p^2 + \omega^2)} + \dfrac{v_0 \, p^2 }{(p^2 + \omega_0^2) (p^2 + \omega^2)} + \dfrac{f_0 \omega^2 \, p }{(p^2 + \omega_0^2) (p^2 + \omega^2)} + \dfrac{v_0 \omega^2 + C_0 \omega}{(p^2 + \omega_0^2) (p^2 + \omega^2)}$$
On a également l'écriture suivante :
$$F(p) = f_0\dfrac{p^3 }{(p^2 + \omega_0^2) (p^2 + \omega^2)} + v_0 \dfrac{p^2 }{(p^2 + \omega_0^2) (p^2 + \omega^2)} + f_0 \omega^2\dfrac{ p }{(p^2 + \omega_0^2) (p^2 + \omega^2)} + \left( v_0 \omega + C_0 \right) \omega\dfrac{1}{(p^2 + \omega_0^2) (p^2 + \omega^2)}$$
Grace à la table présente dans les rappels de cours, nous pouvons écrire ceci comme :
$$TL_p\left[ f(x) \right] = f_0 \, TL_p\left[ \dfrac{\omega_0^2 \, \cos(\omega_0x) - \omega^2 \, \cos(\omega x)}{\omega_0^2 - \omega^2} \right] + v_0 \, TL_p\left[ \dfrac{\omega_0 \, \sin(\omega_0x) - \omega \, \sin(\omega x)}{\omega_0^2 - \omega^2} \right] \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+ f_0 \omega^2 \, TL_p\left[ \dfrac{\cos(\omega x) - \cos(\omega_0x)}{\omega_0^2 - \omega^2} \right] + \left( v_0 \omega + C_0 \right) \omega \, TL_p\left[ \dfrac{\omega_0 \, \sin(\omega x) - \omega \, \sin(\omega_0x)}{\omega_0 \omega \, (\omega_0^2 - \omega^2)} \right]$$
Que nous allons écrire sous la forme suivante :
$$TL_p\left[ f(x) \right] = f_0 \, TL_p\left[ \dfrac{\omega_0^2 \, \cos(\omega_0x) - \omega^2 \, \cos(\omega x)}{\omega_0^2 - \omega^2} \right] + \dfrac{v_0}{\omega_0} \, TL_p\left[ \dfrac{\omega_0^2 \, \sin(\omega_0x) - \omega_0 \omega \, \sin(\omega x)}{\omega_0^2 - \omega^2} \right] \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + f_0 \, TL_p\left[ \dfrac{\omega^2 \, \cos(\omega x) - \omega^2 \, \cos(\omega_0x)}{\omega_0^2 - \omega^2} \right] + \dfrac{v_0 \omega + C_0}{\omega_0^2} \, TL_p\left[ \dfrac{ \omega_0^2 \, \sin(\omega x) - \omega_0 \omega \, \sin(\omega_0x)}{ \omega_0^2 - \omega^2} \right]$$
Soit encore :
$$TL_p\left[ f(x) \right] = f_0 \, TL_p\left[ \dfrac{\omega_0^2 \, \cos(\omega_0x) - \omega^2 \, \cos(\omega x)}{\omega_0^2 - \omega^2} \right] + \dfrac{v_0 \omega_0}{\omega_0^2} \, TL_p\left[ \dfrac{\omega_0^2 \, \sin(\omega_0x) - \omega_0 \omega \, \sin(\omega x)}{\omega_0^2 - \omega^2} \right] \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + f_0 \, TL_p\left[ \dfrac{\omega^2 \, \cos(\omega x) - \omega^2 \, \cos(\omega_0x)}{\omega_0^2 - \omega^2} \right] + \dfrac{v_0 \omega + C_0}{\omega_0^2} \, TL_p\left[ \dfrac{ \omega_0^2 \, \sin(\omega x) - \omega_0 \omega \, \sin(\omega_0x)}{ \omega_0^2 - \omega^2} \right]$$
En associant les termes verticalement, on obtient :
$$TL_p\left[ f(x) \right] = f_0 \, TL_p\left[ \dfrac{\omega_0^2 \, \cos(\omega_0x) - \omega^2 \, \cos(\omega x) +\omega^2 \, \cos(\omega x) - \omega^2 \, \cos(\omega_0x)}{\omega_0^2 - \omega^2} \right] \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \dfrac{v_0 \omega_0}{\omega_0^2} \, TL_p\left[ \dfrac{\omega_0^2 \, \sin(\omega_0x) - \omega_0 \omega \, \sin(\omega x)}{\omega_0^2 - \omega^2} \right] + \dfrac{v_0 \omega + C_0}{\omega_0^2} \, TL_p\left[ \dfrac{ \omega_0^2 \, \sin(\omega x) - \omega_0 \omega \, \sin(\omega_0x)}{ \omega_0^2 - \omega^2} \right]$$
Or, on a :
$$\dfrac{\omega_0^2 \, \cos(\omega_0x) - \omega^2 \, \cos(\omega x) +\omega^2 \, \cos(\omega x) - \omega^2 \, \cos(\omega_0x)}{\omega_0^2 - \omega^2} = \dfrac{\omega_0^2 \, \cos(\omega_0x) - \omega^2 \, \cos(\omega_0x)}{\omega_0^2 - \omega^2} = \dfrac{\left( \omega_0^2 - \omega^2 \right) \cos(\omega_0x)}{\omega_0^2 - \omega^2}$$
Donc :
$$\dfrac{\omega_0^2 \, \cos(\omega_0x) - \omega^2 \, \cos(\omega x) +\omega^2 \, \cos(\omega x) - \omega^2 \, \cos(\omega_0x)}{\omega_0^2 - \omega^2} = \cos(\omega_0x)$$
Ainsi :
$$TL_p\left[ f(x) \right] = f_0 \, TL_p\left[ \cos(\omega_0x) \right] + \dfrac{v_0 \omega_0}{\omega_0^2} \, TL_p\left[ \dfrac{\omega_0^2 \, \sin(\omega_0x) - \omega_0 \omega \, \sin(\omega x)}{\omega_0^2 - \omega^2} \right] + \dfrac{v_0 \omega }{\omega_0^2} \, TL_p\left[ \dfrac{ \omega_0^2 \, \sin(\omega x) - \omega_0 \omega \, \sin(\omega_0x)}{ \omega_0^2 - \omega^2} \right] \\ + \dfrac{C_0}{\omega_0^2} \, TL_p\left[ \dfrac{ \omega_0^2 \, \sin(\omega x) - \omega_0 \omega \, \sin(\omega_0x)}{ \omega_0^2 - \omega^2} \right]$$
Donc :
$$TL_p\left[ f(x) \right] = f_0 \, TL_p\left[ \cos(\omega_0x) \right] + v_0 \, TL_p\left[ \dfrac{\omega_0 \, \sin(\omega_0x) - \omega \, \sin(\omega x)}{\omega_0^2 - \omega^2} \right] + v_0 \, TL_p\left[ \dfrac{ \omega \, \sin(\omega x) - \dfrac{\omega^2}{\omega_0} \, \sin(\omega_0x)}{ \omega_0^2 - \omega^2} \right] \\ + \dfrac{C_0}{\omega_0^2} \, TL_p\left[ \dfrac{ \omega_0^2 \, \sin(\omega x) - \omega_0 \omega \, \sin(\omega_0x)}{ \omega_0^2 - \omega^2} \right]$$
Par linéarité, on a :
$$TL_p\left[ f(x) \right] = TL_p\left[ f_0 \, \cos(\omega_0x) \right] + TL_p\left[ \dfrac{v_0}{\omega_0^2 - \omega^2} \left( \omega_0 \, \sin(\omega_0x) - \omega \, \sin(\omega x) + \omega \, \sin(\omega x) - \dfrac{\omega^2}{\omega_0} \, \sin(\omega_0x) \right) \right] \\ + \dfrac{C_0}{\omega_0^2} \, TL_p\left[ \dfrac{ \omega_0^2 \, \sin(\omega x) - \omega_0 \omega \, \sin(\omega_0x)}{ \omega_0^2 - \omega^2} \right]$$
En simplifiant :
$$TL_p\left[ f(x) \right] = TL_p\left[ f_0 \, \cos(\omega_0x) \right] + TL_p\left[ \dfrac{v_0}{\omega_0^2 - \omega^2} \left( \omega_0 \, \sin(\omega_0x) - \dfrac{\omega^2}{\omega_0} \, \sin(\omega_0x) \right) \right] \\ + \dfrac{C_0}{\omega_0^2} \, TL_p\left[ \dfrac{ \omega_0^2 \, \sin(\omega x) - \omega_0 \omega \, \sin(\omega_0x)}{ \omega_0^2 - \omega^2} \right]$$
Et on a :
$$\dfrac{v_0}{\omega_0^2 - \omega^2} \left( \omega_0 \, \sin(\omega_0x) - \dfrac{\omega^2}{\omega_0} \, \sin(\omega_0x) \right) = \dfrac{v_0 \sin(\omega_0x)}{\omega_0^2 - \omega^2} \left( \omega_0 \, - \dfrac{\omega^2}{\omega_0} \right) = \dfrac{v_0 \sin(\omega_0x)}{\omega_0^2 - \omega^2} \left( \dfrac{\omega_0^2 - \omega^2}{\omega_0} \right) = \dfrac{v_0}{\omega_0} \sin(\omega_0x)$$
De fait, on obtient :
$$TL_p\left[ f(x) \right] = TL_p\left[ f_0 \, \cos(\omega_0x) \right] + TL_p\left[ \dfrac{v_0}{\omega_0} \sin(\omega_0x) \right] + \dfrac{C_0}{\omega_0^2} \, TL_p\left[ \dfrac{ \omega_0^2 \, \sin(\omega x) - \omega_0 \omega \, \sin(\omega_0x)}{ \omega_0^2 - \omega^2} \right]$$
De même :
$$TL_p\left[ f(x) \right] = TL_p\left[ f_0 \, \cos(\omega_0x) \right] + TL_p\left[ \dfrac{v_0}{\omega_0} \sin(\omega_0x) \right] + C_0 \, TL_p\left[ \dfrac{ \sin(\omega x) - \dfrac{\omega}{\omega_0} \, \sin(\omega_0x)}{ \omega_0^2 - \omega^2} \right]$$
Mais également :
$$TL_p\left[ f(x) \right] = TL_p\left[ f_0 \, \cos(\omega_0x) \right] + TL_p\left[ \dfrac{v_0}{\omega_0} \sin(\omega_0x) \right] + TL_p\left[ \dfrac{ C_0 }{ \omega_0^2 - \omega^2} \left( \sin(\omega x) - \dfrac{\omega}{\omega_0} \, \sin(\omega_0x) \right) \right]$$
En regroupant, par linéarité, les trois termes présents, on obtient :
$$TL_p\left[ f(x) \right] = TL_p\left[ f_0 \, \cos(\omega_0x) + \dfrac{v_0}{\omega_0} \sin(\omega_0x) + \dfrac{ C_0 }{ \omega_0^2 - \omega^2} \left( \sin(\omega x) - \dfrac{\omega}{\omega_0} \, \sin(\omega_0x) \right) \right]$$
Donc, on en déduit que :
$$f(x) = f_0 \, \cos(\omega_0x) + \dfrac{v_0}{\omega_0} \sin(\omega_0x) + \dfrac{ C_0 }{ \omega_0^2 - \omega^2} \left( \sin(\omega x) - \dfrac{\omega}{\omega_0} \, \sin(\omega_0x) \right)$$

Afin de faire explicitement apparaître le caractère causal de la solution $$f$$ recherchée, nous allons introduire, à cet usage, l'échelon unitaire $$\mathcal{U}(t)$$. Finalement, on obtient l'expression recherchée, à savoir :
$$f(x) = \left( f_0 \, \cos(\omega_0x) + \dfrac{v_0}{\omega_0} \sin(\omega_0x) + \dfrac{ C_0 }{ \omega_0^2 - \omega^2} \left( \sin(\omega x) - \dfrac{\omega}{\omega_0} \, \sin(\omega_0x) \right) \right) \mathcal{U}(t)$$
On constate que si le forcagen est absent, à savoir que $$C_0 = 0$$, on retrouve bien le résultat de l'oscillateur harmonique classique que nous avons déjà établit dans un exercice précédent. Ceci est pleinement rassurant sur la cohérence et la justesse du résultat.