Exercice 13 - Exercice 1

On a l'équation différentielle suivante :
$$y''(x) + a^2 \, y(x) = f(x)$$
Prenons la transformée de Laplace des deux membres de cette équation différentielle :
$$TL_p\left[ y''(x) + a^2 \, y(x) \right] = TL_p\left[ f(x) \right]$$
Par linéarité, on a alors :
$$TL_p\left[ y''(x) \right] + a^2 \, TL_p\left[ y(x) \right] = TL_p\left[ f(x) \right]$$
Adoptons les notations usuelles, à savoir $$Y(p) = TL_p\left[ y(x) \right]$$ et $$F(p) = TL_p\left[ f(x) \right]$$. On a alors :
$$p^2 Y(p) - p \, y(0) - y'(0) + a^2Y(p) = F(p)$$
En tenant compte des conditions initiales, on obtient :
$$p^2 Y(p) - p \, 1 - (-2) + a^2Y(p) = F(p)$$
Soit :
$$p^2 Y(p) - p + 2 + a^2Y(p) = F(p)$$
En factorisant, on a alors :
$$\left( p^2 + a^2 \right) Y(p) - p + 2 = F(p)$$
Soit encore :
$$\left( p^2 + a^2 \right) Y(p) = p - 2 + F(p)$$
De fait, on obtient :
$$Y(p) = \dfrac{p}{p^2 + a^2} - 2\dfrac{1}{p^2 + a^2} + \dfrac{1}{p^2 + a^2}F(p)$$
Que nous allons écrire comme :
$$Y(p) = \dfrac{p}{p^2 + a^2} - \dfrac{2}{a}\dfrac{a}{p^2 + a^2} + \dfrac{1}{a}\dfrac{a}{p^2 + a^2}F(p)$$
Mais, on sait que $$Y(p) = TL_p\left[ y(x) \right]$$ $$F(p) = TL_p\left[ f(x) \right]$$. On a alors :
$$TL_p\left[ y(x) \right] = \dfrac{p}{p^2 + a^2} - \dfrac{2}{a}\dfrac{a}{p^2 + a^2} + \dfrac{1}{a}\dfrac{a}{p^2 + a^2} \times TL_p\left[ f(x) \right]$$
En faisant usage des tables de correspondances relatives à la transformation de Laplace, on a alors :
$$TL_p\left[ y(x) \right] = TL_p\left[ \cos(ax) \right] - \dfrac{2}{a}TL_p\left[ \sin(ax) \right] + \dfrac{1}{a} TL_p\left[ \sin(ax) \right] \times TL_p\left[ f(x) \right]$$
Par linéarité de la transformation de Laplace, nous pouvons écrire que :
$$TL_p\left[ y(x) \right] = TL_p\left[ \cos(ax) - \dfrac{2}{a} \sin(ax) \right] + \dfrac{1}{a} TL_p\left[ \sin(ax) \right] \times TL_p\left[ f(x) \right]$$
En introduisant maintenant le produit de convolution, on obtient :
$$TL_p\left[ y(x) \right] = TL_p\left[ \cos(ax) - \dfrac{2}{a} \sin(ax) \right] + \dfrac{1}{a} TL_p\left[ \int_0^x \sin(at) f(x-t) \, \mathrm{d}t \right]$$
Par linéarité, à nouveau, on peut donc écrire que :
$$TL_p\left[ y(x) \right] = TL_p\left[ \cos(ax) - \dfrac{2}{a} \sin(ax) + \dfrac{1}{a} \int_0^x \sin(at) f(x-t) \, \mathrm{d}t \right]$$
Ce qui implique que :
$$y(x) = \cos(ax) - \dfrac{2}{a} \sin(ax) + \dfrac{1}{a} \int_0^x \sin(at) f(x-t) \, \mathrm{d}t$$
Finalement, en faisant explicitement apparaitre le caractère causal de la fonction $$y$$ recherchée, au travers de l'introduction de l'échelon unité $$\mathcal{U}(x)$$, on trouve que :
$$y(x) =\left( \cos(ax) - \dfrac{2}{a} \sin(ax) + \dfrac{1}{a} \int_0^x \sin(at) f(x-t) \, \mathrm{d}t \right) \mathcal{U}(x)$$