Exercice 15 - Exercice 1

On a l'équation différentielle suivante :
$$x''(t) + 2a x'(t)+ \omega^2 \, x(t) = A \, \delta(t)$$
Prenons la transformée de Laplace des deux membres de cette équation différentielle :
$$TL_p\left[ x''(t) + 2a x'(t) + \omega^2 \, x(t) \right] = TL_p\left[ A \, \delta(t) \right]$$
Par linéarité, on a alors :
$$TL_p\left[ x''(t) \right] + 2a \, TL_p\left[ x'(t) \right] + \omega^2 \, TL_p\left[ x(t) \right] = A \, TL_p\left[ \delta(t) \right]$$
Adoptons la notation usuelle, à savoir $$X(p) = TL_p\left[ x(t) \right]$$. On a alors :
$$p^2 X(p) - px(0) - x'(0) + 2a \, \left( p X(p) - x(0) \right) + \omega^2 \, X(p) = A 1$$
En tenant compte des conditions initiales, on obtient :
$$p^2 X(p) - p0 - 0 + 2a \, \left( p X(p) - 0 \right) + \omega^2 \, X(p) = A 1$$
Soit :
$$p^2 X(p) + 2ap X(p) + \omega^2 \, X(p) = A$$
En factorisant, on obtient :
$$\left( p^2 + 2ap + \omega^2 \right) X(p) = A$$
Soit encore :
$$\left( p^2 + 2ap + a^2 + \omega^2 - a^2\right) X(p) = A$$
Nous remarquons ainsi l'apparition de l'identité remarquable $$p^2 + 2ap + a^2 = (p+a)^2$$. D'où :
$$\left( (p+a)^2 + \omega^2 - a^2 \right) X(p) = A$$
Ainsi :
Nous remarquons ainsi l'apparition de l'identité remarquable $$p^2 + 2ap + a^2 = (p+a)^2$$. D'où :
$$X(p) = \dfrac{A}{(p+a)^2 + \omega^2 - a^2}$$
Nous allons préféré écrire cela sous la forme suivante
$$X(p) = \dfrac{A}{(p+a)^2 + \sqrt{\omega^2 - a^2}^2}$$
Ou encore :
$$X(p) = \dfrac{A}{\sqrt{\omega^2 - a^2}} \times \dfrac{\sqrt{\omega^2 - a^2}}{(p+a)^2 + \sqrt{\omega^2 - a^2}^2}$$
Or, d'après les tables de correspondances de la transformation de Laplace, on sait que pour $$(\alpha \,;\, \beta) \in \mathbb{R}^2$$, on a :
$$TL_p\left[ e^{-\beta t}\sin(\alpha t) \right] = \dfrac{\alpha}{(p + \beta)^2 + \alpha^2}$$
En posant $$\beta = a$$ et $$\alpha = \sqrt{\omega^2 - a^2}$$, on obtient :
$$TL_p\left[ e^{-a t}\sin \left(\sqrt{\omega^2 - a^2} \, t \right) \right] = \dfrac{\sqrt{\omega^2 - a^2}}{(p+a)^2 + \sqrt{\omega^2 - a^2}^2}$$
De fait, nous sommes conduits à pouvoir écrire que :
$$X(p) = \dfrac{A}{\sqrt{\omega^2 - a^2}} \times TL_p\left[ e^{-a t}\sin \left(\sqrt{\omega^2 - a^2} \, t \right) \right]$$
Soit :
$$TL_p\left[ x(t) \right] = \dfrac{A}{\sqrt{\omega^2 - a^2}} \times TL_p\left[ e^{-a t}\sin \left(\sqrt{\omega^2 - a^2} \, t \right) \right]$$
Puis, par linéarité, on obtient immédiatement :
$$TL_p\left[ x(t) \right] = TL_p\left[ \dfrac{A}{\sqrt{\omega^2 - a^2}} \times e^{-a t}\sin \left(\sqrt{\omega^2 - a^2} \, t \right) \right]$$
On en déduit donc que :
$$x(t) = \dfrac{A}{\sqrt{\omega^2 - a^2}} \, e^{-a t}\sin \left(\sqrt{\omega^2 - a^2} \, t \right)$$
Afin de faire apparaitre explicitement le caractère causal de la solution $$x$$ recherchée, nous allons introduire l'échelon unité $$\mathcal{U}(t)$$. Finalement, on obtient :
$$x(t) = \dfrac{A}{\sqrt{\omega^2 - a^2}} \, e^{-a t}\sin \left(\sqrt{\omega^2 - a^2} \, t \right) \mathcal{U}(t)$$