Exercice 20 - Exercice 1

On a le système différentiel $$(\mathcal{S})$$ suivant :
$$(\mathcal{S}) : \,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} x'(t) & = & x(t) + 5y(t) \\ y'(t) & = & x(t) - 3y(t) \\ \end{array} \right.$$
Prenons la transformation de Laplace, membres à membres, des deux équations constitutives de ce système différentiel. On a alors :
$$(\mathcal{S}) : \,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} pX(p) - x(0) & = & X(p) + 5Y(p) \\ pY(p) - y(0) & = & X(p) - 3Y(p) \\ \end{array} \right.$$
En tenant compte des deux conditions initiales, on obtient :
$$(\mathcal{S}) : \,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} pX(p) - 1 & = & X(p) + 5Y(p) \\ pY(p) - 2 & = & X(p) - 3Y(p) \\ \end{array} \right.$$
Soit :
$$(\mathcal{S}) : \,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} pX(p) - X(p) & = & 1 + 5Y(p) \\ pY(p) + 3Y(p) & = & X(p) + 2 \\ \end{array} \right.$$
Soit encore :
$$(\mathcal{S}) : \,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} (p-1)X(p) & = & 1 + 5Y(p) \\ (p+3)Y(p) & = & X(p) + 2 \\ \end{array} \right.$$
D'où :
$$(\mathcal{S}) : \,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} (p-1)X(p) - 5Y(p) & = & 1 \\ -X(p) + (p+3)Y(p) & = & 2 \\ \end{array} \right.$$
Que nous allons écrire comme :
$$(\mathcal{S}) : \,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} (p-1)X(p) - 5Y(p) & = & 1 \\ X(p) - (p+3)Y(p) & = & -2 \\ \end{array} \right.$$
Ainsi, avec la première équation, on en déduit que :
$$Y(p) = \dfrac{1}{5}(p-1)X(p) - \dfrac{1}{5}$$
De fait, on a :
$$X(p) - (p+3)\left( \dfrac{1}{5}(p-1)X(p) - \dfrac{1}{5} \right) = -2$$
En développant, on a :
$$X(p) - \dfrac{1}{5}(p-1)(p+3)X(p) + \dfrac{1}{5}(p+3) = -2$$
Ce qui nous donne :
$$\left( 1 - \dfrac{1}{5}(p-1)(p+3)\right)X(p) = -2 - \dfrac{1}{5}(p+3)$$
D'où :
$$\dfrac{1}{5}\left( 5 - (p-1)(p+3)\right)X(p) = \dfrac{1}{5} \left(-10 - (p+3) \right)$$
En simplifiant :
$$\left( 5 - (p-1)(p+3)\right)X(p) = -10 - (p+3)$$
Ce qui nous donne :
$$\left( 5 - p^2 - 3p + p+3 \right)X(p) = -p - 13$$
Ce qui va s'écrire comme :
$$\left( - p^2 - 2p + 8 \right)X(p) = -p - 13$$
Et aussi :
$$\left( p^2 + 2p - 8 \right)X(p) = p + 13$$
D'où :
$$X(p) = \dfrac{p + 13}{p^2 + 2p - 8}$$
Or, le polynôme $$p^2 + 2p - 8$$ admet deux racines réelles différentes qui sont $$2$$ et $$-4$$. Ainsi, on a la factorisation $$p^2 + 2p - 8 = (p-2)(p+4)$$. Ainsi, on obtient :
$$X(p) = \dfrac{p + 13}{(p-2)(p+4)}$$
Nous allons réaliser une décomposition en éléments simples. Avec $$A$$ et $$B$$ deux nombres réels, on a :
$$\dfrac{p + 13}{(p-2)(p+4)} = \dfrac{A}{p-2} + \dfrac{B}{p+4}$$
De fait :
$$\dfrac{p + 13}{p+4} = A\dfrac{p-2}{p-2} + \dfrac{B(p-2)}{p+4} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{p + 13}{p+4} = A + \dfrac{B(p-2)}{p+4}$$
Posons $$p=2$$, on a alors :
$$\dfrac{2 + 13}{2+4} = A + \dfrac{B(2-2)}{2+4} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{15}{6} = A + \dfrac{B(0)}{6} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{15}{6} = A + 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{5}{2} = A$$
On peut donc écrire que :
$$\dfrac{p + 13}{p-2} = \dfrac{5}{2}\dfrac{p+4}{p-2} + B$$
De fait :
Posons $$p=-4$$, on a alors :
$$\dfrac{-4 + 13}{-4-2} = \dfrac{5}{2}\dfrac{-4+4}{p-2} + B \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{9}{-6} = \dfrac{5}{2}\dfrac{0}{p-2} + B \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, -\dfrac{3}{2} = B$$
On arrive donc à l'écriture suivante :
$$\dfrac{p + 13}{(p-2)(p+4)} = \dfrac{5}{2}\dfrac{1}{p-2} - \dfrac{3}{2} \dfrac{1}{p+4}$$
Et ainsi :
$$X(p) = \dfrac{5}{2}\dfrac{1}{p-2} - \dfrac{3}{2} \dfrac{1}{p+4}$$
Ce qui nous permet d'écrire, à l'aide des tables de correspondances, que :
$$x(t) = \dfrac{5}{2} e^{2t} - \dfrac{3}{2} e^{-4t}$$
Mais, on sait que $$Y(p) = \dfrac{1}{5}(p-1)X(p) - \dfrac{1}{5}$$. D'où :
$$Y(p) = \dfrac{1}{5}(p-1)\dfrac{p + 13}{p^2 + 2p - 8} - \dfrac{1}{5}$$
Soit :
$$5Y(p) = \dfrac{(p-1)(p + 13)}{p^2 + 2p - 8} - 1 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 5Y(p) = \dfrac{(p-1)(p + 13)}{p^2 + 2p - 8} - \dfrac{p^2 + 2p - 8}{p^2 + 2p - 8}$$
Soit encore :
$$5Y(p) = \dfrac{p^2 + 12p - 13}{p^2 + 2p - 8} - \dfrac{p^2 + 2p - 8}{p^2 + 2p - 8} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 5Y(p) = \dfrac{10p - 5}{p^2 + 2p - 8}\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, Y(p) = \dfrac{2p - 1}{p^2 + 2p - 8}$$
Soit :
$$Y(p) = \dfrac{2p - 1}{(p-2)(p+4)}$$
Nous allons réaliser une décomposition en éléments simples. Avec $$a$$ et $$b$$ deux nombres réels, on a :
$$\dfrac{2p - 1}{(p-2)(p+4)} = \dfrac{a}{p-2} + \dfrac{b}{p+4}$$
De fait :
$$\dfrac{2p - 1}{p+4} = a\dfrac{p-2}{p-2} + \dfrac{b(p-2)}{p+4} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{2p - 1}{p+4} = a + \dfrac{b(p-2)}{p+4}$$
Posons $$p=2$$, on a alors :
$$\dfrac{2\times 2 - 1}{2+4} = a + \dfrac{b(2-2)}{2+4} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{3}{6} = a + \dfrac{b0}{6} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{3}{6} = a \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{1}{2} = a$$
D'où :
$$\dfrac{2p - 1}{(p-2)(p+4)} = \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{p-2} + \dfrac{b}{p+4}$$
On a donc :
$$\dfrac{2p - 1}{p-2} = \dfrac{1}{2}\dfrac{p+4}{p-2} + b\dfrac{p+4}{p+4} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{2p - 1}{p-2} = \dfrac{1}{2}\dfrac{p+4}{p-2} + b$$
Posons $$p=-4$$, on a alors :
$$\dfrac{2(-4) - 1}{-4-2} = \dfrac{1}{2}\dfrac{-4+4}{-4-2} + b \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{-9}{-6} = \dfrac{1}{2}\dfrac{0}{-4-2} + b \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{9}{6} = b \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{3}{2} = b$$
Donc on obtient :
$$\dfrac{2p - 1}{(p-2)(p+4)} = \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{p-2} + \dfrac{3}{2} \dfrac{1}{p+4}$$
Ce qui implique que :
$$Y(p) = \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{p-2} + \dfrac{3}{2} \dfrac{1}{p+4}$$
Ce qui nous permet d'écrire, à l'aide des tables de correspondances, que :
$$y(t) = \dfrac{1}{2} e^{2t} + \dfrac{3}{2} e^{-4t}$$
Finalement, les solution du système différentiel $$(\mathcal{S})$$ sont :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} x(t) & = & \dfrac{1}{2} \left( 5 e^{2t} - 3 e^{-4t} \right) \\ & & \\y(t) & = & \dfrac{1}{2} \left( e^{2t} + 3 e^{-4t} \right) \\ \end{array} \right.$$