Exercice 9 - Exercice 1

On a l'équation différentielle ordinaire suivante :
$$f''(t) + 3\, f'(t) + 2 \, f(t) = 10 \sin(t)$$
Prenons la transformée de Laplace des deux membres de l'équation précédente. On a alors :
$$TL_p \left[ f''(t) + 3\, f'(t) + 2 \, f(t) \right] = TL_p \left[ 10 \sin(t) \right]$$
Par linéarité, on a :
$$TL_p \left[ f''(t) \right] + 3 \, TL_p \left[ f'(t) \right] + 2 \, TL_p \left[ f(t) \right] = 10 \, TL_p \left[ \sin(t) \right]$$
On adopte la notation usuelle $$F(p) = TL_p \left[ f(t) \right]$$. De fait, on a : $$p^2 F(p) - p f(0) - f'(0) + 3 \, \left( p F(p) - 0 \right) + 2 \, F(p) = 10 \, \dfrac{1}{p^2 + 1}$$
En tenant compte des conditions initiales, on obtient :
$$p^2 F(p) - p 0 - 1 + 3 \, \left( p F(p) - 0 \right) + 2 \, F(p) = 10 \, \dfrac{1}{p^2 + 1}$$
Soit :
$$p^2 F(p) - 1 + 3p \, F(p) + 2 \, F(p) = 10 \, \dfrac{1}{p^2 + 1}$$
Soit encore :
$$\left( p^2 + 3p + 2 \right) F(p) = \dfrac{10}{p^2 + 1} + 1$$
Donc :
$$\left( p^2 + 3p + 2 \right) F(p) = \dfrac{10}{p^2 + 1} + \dfrac{p^2 + 1}{p^2 + 1}$$
D'où :
$$\left( p^2 + 3p + 2 \right) F(p) = \dfrac{p^2 + 11}{p^2 + 1}$$
Or, le polynôme du second degré $$p^2 + 3p + 2$$ admet deux racines réelles distinctes qui sont $$-1$$ et $$-2$$. De fait, on a :
$$p^2 + 3p + 2 = (p-(-1)) (p-(-2)) = (p+1) (p+2)$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$(p+1) (p+2) F(p) = \dfrac{p^2 + 11}{p^2 + 1}$$
Ainsi :
$$F(p) = \dfrac{p^2 + 11}{(p+1) (p+2) (p^2 + 1)}$$
Nous allons réaliser une décomposition en éléments simples. Avec $$A$$, $$B$$, $$C$$ et $$D$$ qui sont quatre nombres réels, on a :
$$\dfrac{p^2 + 11}{(p+1) (p+2) (p^2 + 1)} = \dfrac{A}{p+1} + \dfrac{B}{p+2} + \dfrac{Cp+D}{p^2 + 1}$$
Donc :
$$\dfrac{p^2 + 11}{(p+2) (p^2 + 1)} = A\dfrac{p+1}{p+1} + \dfrac{B(p+1)}{p+2} + \dfrac{(Cp+D)(p+1)}{p^2 + 1}$$
En simplifiant :
$$\dfrac{p^2 + 11}{(p+2) (p^2 + 1)} = A + \dfrac{B(p+1)}{p+2} + \dfrac{(Cp+D)(p+1)}{p^2 + 1}$$
Posons maintenant $$p=-1$$. On a donc :
$$\dfrac{(-1)^2 + 11}{(-1+2) ((-1)^2 + 1)} = A + \dfrac{B(-1+1)}{-1+2} + \dfrac{(C(-1)+D)(-1+1)}{(-1)^2 + 1}$$
Soit :
$$\dfrac{12}{2} = A + \dfrac{B(0)}{1} + \dfrac{-C+D)(0)}{2}$$
On trouve immédiatement que $$A = 6$$. Donc on a :
$$\dfrac{p^2 + 11}{(p+1) (p+2) (p^2 + 1)} = 6\dfrac{1}{p+1} + \dfrac{B}{p+2} + \dfrac{Cp+D}{p^2 + 1}$$
Puis, on a aussi :
$$\dfrac{p^2 + 11}{(p+1) (p^2 + 1)} = 6\dfrac{p+2}{p+1} + B\dfrac{p+2}{p+2} + \dfrac{(Cp+D)(p+2)}{p^2 + 1}$$
En simplifiant :
$$\dfrac{p^2 + 11}{(p+1) (p^2 + 1)} = 6\dfrac{p+2}{p+1} + B + \dfrac{(Cp+D)(p+2)}{p^2 + 1}$$
Posons maintenant $$p=-2$$. On a donc :
$$\dfrac{(-2)^2 + 11}{(-2+1) ((-2)^2 + 1)} = 6\dfrac{-2+2}{-2+1} + B + \dfrac{(C(-2)+D)(-2+2)}{(-2)^2 + 1}$$
Soit :
$$\dfrac{15}{-5} = 6\dfrac{0}{-1} + B + \dfrac{(-2C+D)(0)}{5}$$
On trouve alors que $$B = -\dfrac{15}{5} = -3$$. Ainsi, on obtient :
$$\dfrac{p^2 + 11}{(p+1) (p+2) (p^2 + 1)} = 6\dfrac{1}{p+1} - 3\dfrac{1}{p+2} + \dfrac{Cp+D}{p^2 + 1}$$
Dans cette expression, posons $$p=0$$, on a alors :
$$\dfrac{0^2 + 11}{(0+1) (0+2) (0^2 + 1)} = 6\dfrac{1}{0+1} - 3\dfrac{1}{0+2} + \dfrac{C0+D}{0^2 + 1}$$
Soit :
$$\dfrac{11}{2} = 6\dfrac{1}{1} - 3\dfrac{1}{2} + \dfrac{D}{1} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{11}{2} = 6 - \dfrac{3}{2} + D \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{11}{2} = \dfrac{9}{2} + D \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{11}{2} - \dfrac{9}{2} = D \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{11-9}{2} = D$$
On trouve que $$D = \dfrac{2}{2} = 1$$. On a alors :
$$\dfrac{p^2 + 11}{(p+1) (p+2) (p^2 + 1)} = 6\dfrac{1}{p+1} - 3\dfrac{1}{p+2} + \dfrac{Cp+1}{p^2 + 1}$$
Dans cette expression, posons $$p=1$$, on a alors :
$$\dfrac{1^2 + 11}{(1+1) (1+2) (1^2 + 1)} = 6\dfrac{1}{1+1} - 3\dfrac{1}{1+2} + \dfrac{C1+1}{1^2 + 1}$$
Soit :
$$\dfrac{12}{12} = 6\dfrac{1}{2} - 3\dfrac{1}{3} + \dfrac{C+1}{2} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 1 = 3 - 1 + \dfrac{C+1}{2} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 1 = 2 + \dfrac{C+1}{2} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 1 - 2 = \dfrac{C+1}{2}$$
Soit encore :
$$-1 = \dfrac{C+1}{2} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, -2 = C + 1 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, -2 - 1 = C \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, -3 = C$$
On obtient donc :
$$\dfrac{p^2 + 11}{(p+1) (p+2) (p^2 + 1)} = 6\dfrac{1}{p+1} - 3\dfrac{1}{p+2} + \dfrac{-3p+1}{p^2 + 1}$$
Ainsi :
$$F(p) = 6\dfrac{1}{p+1} - 3\dfrac{1}{p+2} + \dfrac{-3p+1}{p^2 + 1}$$
Que nous allons écrire comme :
$$F(p) = 6\dfrac{1}{p+1} - 3\dfrac{1}{p+2} - 3\dfrac{p}{p^2 + 1^2} + \dfrac{1}{p^2 + 1^2}$$
Dès lors, on a :
$$TL_p \left[ f(t) \right] = 6 \, TL_p \left[ e^{-t} \right] - 3 \, TL_p \left[ e^{-2t} \right] - 3 \, TL_p \left[ \cos(t) \right] + TL_p \left[ \sin(t) \right]$$
par linéarité :
$$TL_p \left[ f(t) \right] = TL_p \left[ 6 \, e^{-t} - 3 \,e^{-2t} - 3 \, \cos(t) + \sin(t) \right]$$
On a alors :
$$f(t) = 6 \, e^{-t} - 3 \,e^{-2t} - 3 \, \cos(t) + \sin(t)$$
Ainsi de faire explicitement apparaître lez caractère causal de la fonction numérique univariée recherchée $$f$$, nous allons faire apparaitre l'echelon unité $$\mathcal{U}(t)$$. On obtient finalement :
$$f(t) = \left( 6 \, e^{-t} - 3 \,e^{-2t} - 3 \, \cos(t) + \sin(t) \right) \mathcal{U}(t)$$