Avec la négation - Exercice 1

On a :
$$\begin{array}{c} \neg \big( \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \, \big((x \in \mathbb{R}^{+\star}) \wedge (y \in \mathbb{R}^+)\big) \Longrightarrow (\exist n \in \mathbb{N}, \, nx > b) \big) \\ \Longleftrightarrow \\ \exist (x,y) \in \mathbb{R}^2, \, \neg \bigg( \big((x \in \mathbb{R}^{+\star}) \wedge (y \in \mathbb{R}^+)\big) \Longrightarrow (\exist n \in \mathbb{N}, \, nx > b) \bigg) \end{array}$$
Or, pour deux assertions $$P$$ et $$Q$$, on sait que $$\neg (P \Longrightarrow Q) \Longleftrightarrow (P \wedge \neg Q)$$. Donc, on a alors :
$$\begin{array}{c} \exist (x,y) \in \mathbb{R}^2, \, \neg \bigg( \big((x \in \mathbb{R}^{+\star}) \wedge (y \in \mathbb{R}^+)\big) \Longrightarrow (\exist n \in \mathbb{N}, \, nx > b) \bigg) \\ \Longleftrightarrow \\ \exist (x,y) \in \mathbb{R}^2, \, \bigg( \big((x \in \mathbb{R}^{+\star}) \wedge (y \in \mathbb{R}^+)\big) \wedge \neg (\exist n \in \mathbb{N}, \, nx > b) \bigg) \\ \Longleftrightarrow \\ \exist (x,y) \in \mathbb{R}^2, \, \bigg( \big((x \in \mathbb{R}^{+\star}) \wedge (y \in \mathbb{R}^+)\big) \wedge (\forall n \in \mathbb{N}, \, nx \leqslant b) \bigg) \\ \Longleftrightarrow \\ \exist (x,y) \in \mathbb{R}^2, \, \bigg((x \in \mathbb{R}^{+\star}) \wedge (y \in \mathbb{R}^+) \wedge (\forall n \in \mathbb{N}, \, nx \leqslant b) \bigg) \\ \end{array}$$
Et de manière parfaitement équivalente, et plus simple, on a :
$$\begin{array}{c} \exist (x,y) \in \mathbb{R}^2, \, \bigg((x \in \mathbb{R}^{+\star}) \wedge (y \in \mathbb{R}^+) \wedge (\forall n \in \mathbb{N}, \, nx \leqslant b) \bigg) \\ \Longleftrightarrow \\ \exist x \in \mathbb{R}^{+\star}, \, \exist y \in \mathbb{R}^+, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, nx \leqslant y \\ \end{array}$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{ \begin{array}{c} \neg \big( \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \, \big((x \in \mathbb{R}^{+\star}) \wedge (y \in \mathbb{R}^+)\big) \Longrightarrow (\exist n \in \mathbb{N}, \, nx > b) \big) \\ \Longleftrightarrow \\ \exist x \in \mathbb{R}^{+\star}, \, \exist y \in \mathbb{R}^+, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, nx \leqslant y \end{array} }}}$$

On a :
$$\neg \big( \exist x \in \mathbb{R}^\star, \, \exist y \in \mathbb{R}, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, nx \leqslant y \big) \Longleftrightarrow \bigg( \forall x \in \mathbb{R}^\star, \, \neg\big( \exist y \in \mathbb{R}, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, nx \leqslant y \big)\bigg)$$
Mais aussi :
$$\bigg( \forall x \in \mathbb{R}^\star, \, \neg\big( \exist y \in \mathbb{R}, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, nx \leqslant y \big)\bigg) \Longleftrightarrow \bigg( \forall x \in \mathbb{R}^\star, \, \forall y \in \mathbb{R}, \, \neg \big( \forall n \in \mathbb{N}, \, nx \leqslant y \big)\bigg)$$
On a également :
$$\bigg( \forall x \in \mathbb{R}^\star, \, \forall y \in \mathbb{R}, \, \neg \big( \forall n \in \mathbb{N}, \, nx \leqslant y \big)\bigg) \Longleftrightarrow \bigg( \forall x \in \mathbb{R}^\star, \, \forall y \in \mathbb{R}, \, \exist n \in \mathbb{N}, \, nx > y \bigg)$$
Et finalement :
$${\color{red}{\boxed{\neg \big( \exist x \in \mathbb{R}^\star, \, \exist y \in \mathbb{R}, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, nx \leqslant y \big) \Longleftrightarrow \big( \forall x \in \mathbb{R}^\star, \, \forall y \in \mathbb{R}, \, \exist n \in \mathbb{N}, \, nx > y \big) }}}$$
$${\color{blue}{\blacklozenge\,\, \bf{Remarque :}}}$$
L'assertion initiale proposée dans cette question, à savoir $$\exist x \in \mathbb{R}^\star, \, \exist y \in \mathbb{R}, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, nx \leqslant y$$ est la négation trouvée lors de la question $$1$$ précédente. On aurait donc pu directement écrire que :
$${\color{red}{\boxed{\neg \big( \exist x \in \mathbb{R}^\star, \, \exist y \in \mathbb{R}, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, nx \leqslant y \big) \Longleftrightarrow \bigg( \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \, \big((x \in \mathbb{R}^{+\star}) \wedge (y \in \mathbb{R}^+)\big) \Longrightarrow (\exist n \in \mathbb{N}, \, nx > b) \bigg) }}}$$

On a :
$$\neg \big( \forall x \in \mathbb{E}, \, \exist y \in \mathbb{E}, \, x \times y = 1 \big) \Longleftrightarrow \bigg( \exist x \in \mathbb{E}, \, \neg \big( \exist y \in \mathbb{E}, \, x \times y = 1 \big) \bigg)$$
Mais on a également :
$$\bigg( \exist x \in \mathbb{E}, \, \neg \big( \exist y \in \mathbb{E}, \, x \times y = 1 \big) \bigg) \Longleftrightarrow \bigg( \exist x \in \mathbb{E}, \, \forall y \in \mathbb{E}, \, x \times y \neq 1 \bigg)$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{ \neg \big( \forall x \in \mathbb{E}, \, \exist y \in \mathbb{E}, \, x \times y = 1 \big) \Longleftrightarrow \big( \exist x \in \mathbb{E}, \, \forall y \in \mathbb{E}, \, x \times y \neq 1 \big) }}}$$

Cette assertion est fausse dans $$\mathbb{R}$$, à cause des cas possible $$x = 0$$ et, ou, $$y=0$$.
En revanche, dans $$\mathbb{R}^\star$$ cette assertion est vraie car les cas $$x = 0$$ et, ou, $$y=0$$ sont alors impossibles car exclus.