Cas de l'équivalence - Exercice 2

Commençons par constater que, pour tout $$x$$ réel, les deux termes $$\sqrt{|\, x - 3 \,|}$$ et $$|\, x - 1 \,|$$ sont positifs ou nuls.
En élevant au carré, on a :
$$\sqrt{|\, x - 3 \,|} = |\, x - 1 \,| \Longleftrightarrow \sqrt{|\, x - 3 \,|}^2 = |\, x - 1 \,|^2$$
Soit :
$$\sqrt{|\, x - 3 \,|} = |\, x - 1 \,| \Longleftrightarrow |\, x - 3 \,| = (x-1)^2$$
Ainsi, en tenant compte des rappels ci-dessus, on trouve que :
$$\sqrt{|\, x - 3 \,|} = |\, x - 1 \,| \Longleftrightarrow \bigg( \bigg( (x - 3 \geqslant 0) \Longrightarrow \big(x - 3 = (x-1)^2\big) \bigg) \vee \bigg( (x - 3 < 0) \Longrightarrow \big(x - 3 = -(x-1)^2\big) \bigg) \bigg)$$
Ce qui nous donne :
$$\sqrt{|\, x - 3 \,|} = |\, x - 1 \,| \Longleftrightarrow \bigg( \bigg( (x - 3 \geqslant 0) \Longrightarrow \big(x - 3 = x^2 - 2x + 1\big) \bigg) \vee \bigg( (x - 3 < 0) \Longrightarrow \big(x - 3 = -x^2+2x-1\big) \bigg) \bigg)$$
Soit encore :
$$\sqrt{|\, x - 3 \,|} = |\, x - 1 \,| \Longleftrightarrow \bigg( \bigg( (x - 3 \geqslant 0) \Longrightarrow \big(x^2 - 3x + 4 = 0\big) \bigg) \vee \bigg( (x - 3 < 0) \Longrightarrow \big(x^2-x-2 = 0\big) \bigg) \bigg)$$
Concernant le trinôme du second degré $$x^2 - 3x + 4$$, son discriminant est $$-7 < 0$$. Donc l'équation $$x^2 - 3x + 4 = 0$$ n'admet pas de solution réelle.
Puis, concernant le trinôme du second degré $$x^2 - x - 2$$, son discriminant est $$9 > 0$$. Donc l'équation $$x^2 - x - 2 = 0$$ admet deux solutions réelles distinctes, qui sont $$x = -1$$ et $$x=2$$.
Par conséquent, on trouve finalement que :
$$\sqrt{|\, x - 3 \,|} = |\, x - 1 \,| \Longleftrightarrow \big( (x = - 1) \vee ( x = 2 ) \big)$$
En conclusion, les solutions réelles de l'équation initiale $$\sqrt{|\, x - 3 \,|} = |\, x - 1 \,|$$ sont $$x = - 1$$ et $$x = 2$$.