Démonstration par l'absurde - Exercice 3

Raisonnons par l'absurde.
Supposons que l'ensemble $$\mathcal{P}$$ des nombres premiers est fini et montrons qu'on arrive à une contradiction.
Comme $$\mathcal{P}$$ est fini et non vide, $$\mathcal{P}$$ a un plus grand élément. Notons par $$n \in \mathbb{N}$$ ce plus grand élément de $$\mathcal{P}$$.
Posons $$p = 1 + n!$$ . Comme $$p > n > 2$$. Comme $$n$$ est le plus grand élément de $$\mathcal{P}$$ cela implique que $$p$$ n'est pas un nombre premier.
De part la définition d'un nombre premier, $$p$$ admet donc un diviseur $$d \in \mathbb{N}$$ qui est premier. Ce diviseur $$d$$ est forcément différent de $$2$$, $$3$$, $$5$$, $$7$$, $$11$$, $$13$$, $$17$$, $$19$$, $$\cdots$$, $$n$$ car chacun de ces entiers naturels divise le nombre $$n !$$ et de fait ne divise pas $$1 + n!$$.
Ainsi, sous l'hypothèse initiale, on constate que ce diviseur premier $$d$$ est nécessairement supérieur à $$n$$.
Ce qui est en contradiction avec la définition de $$n$$, à savoir $$n = \max(\mathcal{P})$$.
L'hypothèse initiale "l'ensemble $$\mathcal{P}$$ des nombres premiers est fini" est donc fausse.
En conclusion l'ensemble $$\mathcal{P}$$ est donc infini. $${\color{blue}{\blacksquare}}$$
$${\color{blue}{\bf{\blacktriangleright \,\, Remarque :}}}$$
La démonstration ci-dessus est due à $$Euclide$$. Il existe plusieurs autres démonstrations de ce théorème. Citons celle d'$$Euler \, (1737)$$, de $$Polya \, (1920)$$, ou d'$$Erdos$$ en $$1938$$.
Aucune n'est plus simple que celle d'Euclide. Certes Euler a le mérite de montrer, pour la première fois, que l'Analyse permet de démontrer des résultats sur des nombres entiers.
Cette première incursion de l'Analyse dans l'Arithmétique se mua au $$19^{i\acute{e}me}$$ en une véritable invasion pour créer la branche des mathématiques que l'on appelle aujourd'hui la théorie analytique des nombres.