La différence symétrique (2) - Exercice 1

Ceci résulte de la définition de la différence symétrique.
En effet, on a la figure suivante :

Ce qui nous permet de conclure que :
$${\color{red}{\boxed{A \Delta B = \complement_A^{A \cap B} \,\cup \, \complement_A^{A \cap B} }}}$$

L'ensemble $$\big( A \Delta B \big) \Delta C$$ représente les éléments qui appartiennent à $$A$$, $$B$$ ou $$C$$ mais n'appartenant pas à $$A \cap B$$, ni à $$A \cap C$$, ni à $$B \cap C$$.
De même, l'ensemble $$A \Delta \big( B \Delta C \big)$$ représente les éléments qui appartiennent à $$A$$, $$B$$ ou $$C$$ mais n'appartenant pas à $$B \cap C$$, ni à $$A \cap C$$, ni à $$A \cap B$$.
Autrement dit, les deux ensembles $$\big( A \Delta B \big) \Delta C$$ et $$A \Delta \big( B \Delta C \big)$$ représentent les parties rouges de la figure suivante :

On a donc bien l'égalité :
$${\color{red}{\boxed{\big( A \Delta B \big) \Delta C = A \Delta \big( B \Delta C \big) }}}$$

On a :
$$A \Delta X = A \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \complement_A^{A \cap X} \cup \complement_X^{A \cap X} = A$$
Ce qui implique que :
$$\complement_X^{A \cap X} \subset A$$.
De plus, par définition d'un ensemble complémentaire par rapport à un autre, on a :
$$X = \complement_X^{A \cap X}\cup (A \cap X) \,\,\,$$ et $$\,\,\, \complement_X^{A \cap X}\cap (A \cap X) = \emptyset$$
Or, on sait que $$\complement_X^{A \cap X} \subset A$$ et $$(A \cap X) \subset A$$. On en déduit donc que :
$$\complement_X^{A \cap X} \cup (A \cap X) \subset A$$
C'est-à-dire que :
$$X \subset A$$
Ainsi, on en déduit immédiatement que :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} A \cap X & = & X \\ \complement_X^{A \cap X} & = & \emptyset \\ \end{array} \right.$$
Donc l'équation $$\complement_A^{A \cap X} \cup \complement_X^{A \cap X} = A$$ prend la forme suivante :
$$\complement_A^{X} \cup \emptyset = A$$
Soit encore :
$$\complement_A^{X} = A$$
Ce qui implique automatiquement que $$X = \emptyset$$.
Finalement on a :
$${\color{red}{\boxed{ \big( A \Delta X = X \Delta A = A \big) \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \big(X = \emptyset \big) }}}$$

On a :
$$\complement_A^{A \cap A'} \cup \complement_{A'}^{A \cap A'}= \emptyset$$
Ce qui implique que :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \complement_{A}^{A \cap A'} & = & \emptyset \\ \complement_{A'}^{A \cap A'} & = & \emptyset \\ \end{array} \right.$$
On en déduit alors que :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} A \cap A' & = & A \\ A \cap A' & = & A' \\ \end{array} \right.$$
De ceci on peut donc conclure que :
$${\color{red}{\boxed{ A = A' }}}$$