La négation - Exercice 1

On a :
$$\neg (P \wedge \neg Q) \Longleftrightarrow (\neg P \vee \neg(\neg Q))$$
Or :
$$\neg(\neg Q) \Longleftrightarrow Q$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{ \neg (P \wedge \neg Q) \Longleftrightarrow (\neg P \vee Q) }}}$$

On a :
$$\neg (P \vee (Q \wedge R)) \Longleftrightarrow (\neg P \wedge \neg(Q \wedge R))$$
Or, on a :
$$(\neg(Q \wedge R)) \Longleftrightarrow (\neg Q \vee \neg R)$$
Finalement, on trouve que :
$${\color{red}{\boxed{ \neg (P \vee (Q \wedge R)) \Longleftrightarrow \big( \neg P \wedge (\neg Q \vee \neg R) \big) }}}$$

On a :
$$(P \Longleftrightarrow Q) \Longleftrightarrow \big( (P \Longrightarrow Q) \wedge (Q \Longrightarrow P) \big)$$
Ce qui s'écrit également :
$$(P \Longleftrightarrow Q) \Longleftrightarrow \big( (\neg P \vee Q) \wedge (\neg Q \vee P) \big)$$
On en déduit alors que :
$$\neg (P \Longleftrightarrow Q) \Longleftrightarrow \neg\big( (\neg P \vee Q) \wedge (\neg Q \vee P) \big)$$
Soit :
$$\neg (P \Longleftrightarrow Q) \Longleftrightarrow \big( \neg(\neg P \vee Q) \vee \neg(\neg Q \vee P) \big)$$
Soit encore :
$$\neg (P \Longleftrightarrow Q) \Longleftrightarrow \big( (\neg(\neg P) \wedge \neg Q) \vee (\neg(\neg Q) \wedge \neg P) \big)$$
Or on a $$(\neg(\neg P) \Longleftrightarrow P$$ et $$(\neg(\neg Q) \Longleftrightarrow Q$$. Finalement, on aboutit à :
$${\color{red}{\boxed{\neg (P \Longleftrightarrow Q) \Longleftrightarrow \big( P \wedge \neg Q) \vee (Q \wedge \neg P) \big) }}}$$

On a :
$$(P \Longrightarrow \neg Q) \Longleftrightarrow (\neg P \vee \neg Q)$$
Ainsi, on en duit par négation que :
$$(\neg (P \Longrightarrow \neg Q)) \Longleftrightarrow (\neg(\neg P \vee \neg Q))$$
Ce qui nous donne ;
$$(\neg (P \Longrightarrow \neg Q)) \Longleftrightarrow (\neg(\neg P) \wedge \neg(\neg Q))$$
Or on a $$(\neg(\neg P) \Longleftrightarrow P$$ et $$(\neg(\neg Q) \Longleftrightarrow Q$$. Finalement, on aboutit à :
$${\color{red}{\boxed{ \neg (P \Longrightarrow \neg Q) \Longleftrightarrow (P \wedge Q) }}}$$

D'après la question précédente, on a :
$$\neg (P \Longrightarrow \neg Q) \Longleftrightarrow (P \wedge Q)$$
Donc :
$$\neg (P \Longrightarrow Q) \Longleftrightarrow (P \wedge \neg Q)$$
Dans cette dernière relation, remplaçons $$Q$$ par $$(Q \Longrightarrow R)$$. On obtient alors :
$$\neg (P \Longrightarrow (Q \Longrightarrow R)) \Longleftrightarrow (P \wedge \neg (Q \Longrightarrow R))$$
De la relation issue de la question précédente, on tire également que :
$$\neg (Q \Longrightarrow R) \Longleftrightarrow (Q \wedge \neg R)$$. Donc, on peut donc écrire que :
$$\neg (P \Longrightarrow (Q \Longrightarrow R)) \Longleftrightarrow (P \wedge (Q \wedge \neg R))$$
Finalement, on trouve que :
$${\color{red}{\boxed{ \neg (P \Longrightarrow (Q \Longrightarrow R)) \Longleftrightarrow (P \wedge Q \wedge \neg R) }}}$$