Nombre de parties d'un ensemble fini - Exercice 1

Analysons les premières situations possibles. Souvenons nous que l'ensemble vide $$\emptyset$$ est une partie de tout ensemble $$E$$, donc $$\{ \emptyset \} \in \mathscr{P}(E)$$.
$${\color{blue}{\bullet \,\, Cas \,\, n=0 :}}$$
Dans ce cas l'ensemble $$E$$ s'identifie à l'ensemble vide $$\emptyset$$.
Donc $$E = \{ \emptyset \}$$.
Dans ce cas, il n'y a qu'une seule partie $$\{ \emptyset \}$$.
$${\color{blue}{\bullet \bullet \,\, Cas \,\, n=1 :}}$$
Dans ce cas l'ensemble $$E$$ est constitué d'un élément $$a$$.
Donc $$E = \{ a \}$$.
Dans ce cas, il y a deux parties possibles $$\{ \emptyset \}$$ et $$\{ a \}$$.
$${\color{blue}{\bullet \bullet \bullet \,\, Cas \,\, n=2 :}}$$
Dans ce cas l'ensemble $$E$$ est constitué de deux éléments $$a$$ et $$b$$.
Donc $$E = \{ a \,;\, b \}$$.
Dans ce cas, il y a quatre parties possibles $$\{ \emptyset \}$$, $$\{ a \}$$, $$\{ b \}$$ et $$\{ a \,;\, b \}$$.
$${\color{blue}{\bullet \bullet \bullet \bullet \,\, Cas \,\, n=3 :}}$$
Dans ce cas l'ensemble $$E$$ est constitué de trois éléments $$a$$, $$b$$ et $$c$$.
Donc $$E = \{ a \,;\, b \,;\, c \}$$.
Dans ce cas, il y a huit parties possibles $$\{ \emptyset \}$$, $$\{ a \}$$, $$\{ b \}$$, $$\{ c \}$$, $$\{ a \,;\, b \}$$, $$\{ a \,;\, c \}$$, $$\{ b \,;\, c \}$$, et $$\{ a \,;\, b \,;\, c \}$$.
$${\color{blue}{\bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \,\, Cas \,\, n=4 :}}$$
Dans ce cas l'ensemble $$E$$ est constitué de quatre éléments $$a$$, $$b$$, $$c$$ et $$d$$.
Donc $$E = \{ a \,;\, b \,;\, c \,;\, d\}$$.
Dans ce cas, il y a seize parties possibles $$\{ \emptyset \}$$, $$\{ a \}$$, $$\{ b \}$$, $$\{ c \}$$, $$\{ d \}$$, $$\{ a \,;\, b \}$$, $$\{ a \,;\, c \}$$, $$\{ a \,;\, d \}$$, $$\{ b \,;\, c \}$$, $$\{ b \,;\, d \}$$, $$\{ c \,;\, d \}$$, $$\{ a \,;\, b \,;\, c \}$$, $$\{ a \,;\, b \,;\, d \}$$, $$\{ a \,;\, c \,;\, d \}$$, $$\{ b \,;\, c \,;\, d \}$$ et $$\{ a \,;\, b \,;\, c \,;\, d \}$$.
On constate alors que :
$${\color{red}{\bullet \,\, Si \,\, n=0}}$$ alors il y a $${\color{red}{2^0 = 1}}$$ partie dans $$\mathscr{P}(E)$$ ;
$${\color{red}{\bullet \bullet \,\, Si \,\, n=1}}$$ alors il y a $${\color{red}{2^1 = 2}}$$ parties dans $$\mathscr{P}(E)$$ ;
$${\color{red}{\bullet \bullet \bullet \,\, Si \,\, n=2}}$$ alors il y a $${\color{red}{2^2 = 4}}$$ parties dans $$\mathscr{P}(E)$$ ;
$${\color{red}{\bullet \bullet \bullet \bullet \,\, Si \,\, n=3}}$$ alors il y a $${\color{red}{2^3 = 8}}$$ parties dans $$\mathscr{P}(E)$$ ;
$${\color{red}{\bullet \bullet \bullet \bullet \,\, Si \,\, n=4}}$$ alors il y a $${\color{red}{2^4 = 16}}$$ parties dans $$\mathscr{P}(E)$$.
On constate alors qu'il semble que le nombre de parties différentes issues de l'ensemble $$E$$, tel que $$\mathrm{card}(E) = n$$, soit donné par le nombre entier naturel $$2^n$$. Ainsi, la question est la suivante : connaissant le nombre de partie d'un ensemble $$E$$, à $$n$$ éléments distincts, quel est le nombre de parties possible d'un autre ensemble $$\mathcal{E}$$ qui construit à partir de $$E$$ auquel on a rajouter un seul élément, noté $$\alpha$$ ?
Ainsi $$\mathcal{E} = \{ \{ E \} \,;\, \alpha\}$$.
Donc $$\mathscr{P}(\mathcal{E})$$ est constitué des parties $$\mathscr{P}(E)$$, donc ne faisant pas apparaître l'élément $$\alpha$$, auxquelles il faut ajouter toutes celles faisant apparaître l'élément $$\alpha$$. Or, à chaque parties de $$\mathscr{P}(E)$$ on peut venir greffer l'élément $$\alpha$$ (comme dans un arbre, pour lequel à chaque fois il y a deux choix pour une partie de $$\mathscr{P}(E)$$ : on rajoute ou pas $$\alpha$$). Donc, à partir de $$\mathscr{P}(E)$$, on multiplie par $$2$$ afin d'obtenir $$\mathscr{P}(\mathcal{E})$$. Comme $$\mathrm{card}(E) = n$$ alors $$\mathrm{card}(\mathcal{E}) = n+1$$, et donc $$\mathscr{P}(\mathcal{E})$$ contient $$2\times 2^n = 2^{n+1}$$ parties différentes.
On peut donc conclure que :
$${\color{red}{\boxed{{\bf{Si}} \,\, \mathrm{card}(E) = n \,\, {\bf{alors}} \,\, \mathscr{P}(E) \,\, {\bf{contient}} \,\, 2^n \,\, {\bf{parties \,\, différentes}}.}}}$$
Autrement écrit :
$${\color{red}{\boxed{ \mathrm{card}\big(\mathscr{P}(E) \big) = 2^{\,\mathrm{card}(E)} }}}$$