Raisonnement par récurrence - Exercice 7

Soit $$n$$ un entier naturel non nul.
Notons par $$P(n)$$ la propriété associée à la formule suivante : $$\sum^{2n-1}_{k=0}{\frac{{\left(-1\right)}^k}{k+1}}=\sum^{2n}_{k=n+1}{\frac{1}{k}}$$
$${\color{green}{\bf{\blacktriangleright \,Etape \,\, 1 : L'initialisation}}}$$
Soit $$n=1$$, on a :
D'une part : $$\sum^{2\times 1-1}_{k=0}{\frac{{\left(-1\right)}^k}{k+1}}=\sum^1_{k=0}{\frac{{\left(-1\right)}^k}{k+1}}$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$
D'autre part : $$\sum^{2\times 1}_{k=1+1}{\frac{1}{k}}=\sum^2_{k=2}{\frac{1}{k}}=\frac{1}{2}$$
$${\color{blue}{\bf{\blacktriangleright \blacktriangleright \,Etape \,\, 2 : La \,\, transmission}}}$$
Dans cette deuxième étape de la démonstration, nous allons supposer que la propriété $$P(n)$$ est vraie, et sous cette vérité, démontrer que la propriété $$P(n+1)$$ est également vraie. Autrement dit, nous allons démontrer que $$P(n) \Longrightarrow P(n+1)$$.
Nous voulons donc démontrer que $$\sum^{2\times \left(n+1\right)-1}_{k=0}{\frac{{\left(-1\right)}^k}{k+1}}=\sum^{2\times \left(n+1\right)}_{k=n+1+1}{\frac{1}{k}}$$ autrement dit $$\sum^{2n+1}_{k=0}{\frac{{\left(-1\right)}^k}{k+1}}=\sum^{2n+2}_{k=n+2}{\frac{1}{k}}$$
Nous avons déterminer l'expression de $$P(n+1)$$, et vérifions sa vérité. On a alors :
$$\sum^{2n+1}_{k=0}{\frac{{\left(-1\right)}^k}{k+1}}=\red{\sum^{2n-1}_{k=0}{\frac{{\left(-1\right)}^k}{k+1}}}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}$$ . D'après l'hypothèse de récurrence, on a : $$\red{\sum^{2n-1}_{k=0}{\frac{{\left(-1\right)}^k}{k+1}}}=\purple{\sum^{2n}_{k=n+1}{\frac{1}{k}}}$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;=\purple{\sum^{2n}_{k=n+1}{\frac{1}{k}}}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;=\left(\left(\purple{\sum^{2n}_{k=n+2}{\frac{1}{k}}}\right)+\purple{\frac{1}{n+1}}\right)+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;=\left(\left(\pink{\sum^{2n}_{k=n+2}{\frac{1}{k}}}\right)+\pink{\frac{1}{2n+1}}\right)+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2n+2}$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;=\pink{\sum^{2n+1}_{k=n+2}{\frac{1}{k}}}+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2n+2}$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;=\sum^{2n+1}_{k=n+2}{\frac{1}{k}}+\frac{2}{2\left(n+1\right)}-\frac{1}{2n+2}$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;=\sum^{2n+1}_{k=n+2}{\frac{1}{k}}+\frac{2}{2n+2}-\frac{1}{2n+2}$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;=\sum^{2n+1}_{k=n+2}{\frac{1}{k}}+\frac{1}{2n+2}$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;=\sum^{2n+1}_{k=n+2}{\frac{1}{k}}+\frac{1}{2\left(n+1\right)}$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;=\sum^{2n+2}_{k=n+2}{\frac{1}{k}}$$
On constate alors que la propriété $$P({\color{blue}{n+1}})$$ est donc bien vérifiée. On a donc bien démontré que $$P(n) \Longrightarrow P(n+1)$$.
$${\color{red}{\bf{\blacktriangleright \blacktriangleright \blacktriangleright \,Etape \,\, 3 : La \,\, conclusion}}}$$
En vertu des axiomes de la récurrence la propriété $$P(n) : \sum^{2n-1}_{k=0}{\frac{{\left(-1\right)}^k}{k+1}}=\sum^{2n}_{k=n+1}{\frac{1}{k}}$$ est vraie pour tout entier naturel $$n \neq 0$$. $${\color{red}{\blacksquare}}$$