Autour des racines n-ième des nombres complexes - Exercice 4

15 min
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Question 1

Soit nn un nombre entier naturel non nul.
Soit kk un entier naturel, qui peut prendre uniquement nn valeurs, tel que 0⩽k⩽n−10 \leqslant k \leqslant n-1. On note par ωk=ei 2kπn=cos⁡(2kπn)+i sin⁡(2kπn)\omega_k = e^{i \, \frac{2k\pi}{n}} = \cos\left(\dfrac{2k\pi}{n}\right) + i \, \sin\left(\dfrac{ 2k\pi}{n}\right) la (k+1)(k+1)-ième racine nn-ième de l'unité.
On note ω1=ω\omega_1 = \omega.
Démontrer que ωk=ωk\omega_k = \omega^k

Correction
On a :
ω1=ω\omega_1 = \omega
Donc :
ei 2πn=ωe^{i \, \frac{2\pi}{n}} = \omega
Ce qui nous permet d'écrire que :
ωk=(ei 2πn)k=ei 2kπn=ωk\omega^k = \left( e^{i \, \frac{2\pi}{n}} \right)^k = e^{i \, \frac{2k\pi}{n}} = \omega_k
Finalement :
ωk=ωk{\color{red}{\boxed{ \omega_k = \omega^k}}}
Question 2

Déterminer la valeur de la somme SnS_n est nn racines nn-ième de l'unité.

Correction
On a :
Sn=ω0+ω1+⋯+ωk+⋯+ωn−1=∑k=0n−1ωk=∑k=0n−1ωk=∑k=0n−1(ei 2πn)kS_n = \omega_0 + \omega_1 + \cdots + \omega_k + \cdots + \omega_{n-1} = \sum_{k = 0}^{n-1} \omega_k = \sum_{k = 0}^{n-1} \omega^k = \sum_{k = 0}^{n-1} \left( e^{i \, \frac{2\pi}{n}} \right)^k
Il s'agit de la somme des nn premiers termes d'une suite geˊomeˊtrique{\color{red}{\textbf{suite géométrique}}} de raison ω=ei 2πn\omega = e^{i \, \frac{2\pi}{n}}, et dont le premier terme est ω0=ω0=(ei 2πn)0=1\omega_0 = \omega^0 = \left( e^{i \, \frac{2\pi}{n}} \right)^0 = 1. On a alors :
Sn=ω0×1−ωn1−ω=1×1−ωn1−ω=1−ωn1−ω=1−(ei 2πn)n1−ω=1−(ei 2nπn)1−ω=1−ei 2π1−ωS_n = \omega_0 \times\dfrac{1 - \omega^n}{1 - \omega} = 1 \times\dfrac{1 - \omega^n}{1 - \omega} = \dfrac{1 - \omega^n}{1 - \omega} = \dfrac{1 - \left( e^{i \, \frac{2\pi}{n}} \right)^n}{1 - \omega} = \dfrac{1 - \left( e^{i \, \frac{2n\pi}{n}} \right)}{1 - \omega} = \dfrac{1 - e^{i \, 2\pi}}{1 - \omega}
Or, on sait que ei 2π=ei 0=e0=1e^{i \, 2\pi} = e^{i\,0} = e^0 = 1
Ce qui nous permet d'écrire que :
Sn=1−11−ωS_n = \dfrac{1 - 1}{1 - \omega}
Finalement :
Sn=0{\color{red}{\boxed{ S_n = 0}}}
Ainsi, la somme des  n  racines  n−ieˋme de l’uniteˊ est toujours nulle.{\color{red}{\textbf{Ainsi, la somme des}} \,\, n \,\, \color{red}{\textbf{racines}} \,\, n-\color{red}{\textbf{ième de l'unité est toujours nulle.}}}

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